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- 2021-04-17 发布
§10.3 二项式定理
最新考纲
考情考向分析
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)
二项展开式的通项公式
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1.
C＝C＋C.
(2)C＝C.
(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．
(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
概念方法微思考
1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．
2．二项展开式形式上有什么特点？
提示 二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－rbr是二项展开式的第r项．( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为Can－rbr.( × )
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.( × )
题组二 教材改编
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
答案 B
解析 Tr＋1＝C(2x)r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.
3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．120
答案 B
解析 二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C＝20.
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
题组三 易错自纠
5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
答案 D
解析 (x－y)n二项展开式第m项的通项公式为
Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，
所以系数为C(－1)m－1.
6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 由二项式定理知，an＝C(n＝1,2,3，…，11)．
又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，
所以a6＝C，则k的最大值为6.
7．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．
答案 6
解析 二项展开式的通项是Tr＋1＝C(x)4－r·(－y)r＝(－1)rC，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
例1 (1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
答案 C
解析 因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.
故选C.
(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．
答案 160x6
解析 因为(x2－4)5的展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r，
令10－2r＝6，得r＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·Cx6＝160x6.
(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．
答案 12
解析 方法一 (x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，
其展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝C(x2＋x)4－ryr，
因为要求x3y2的系数，所以r＝2，
所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2.
因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，
所以x3y2的系数是6×2＝12.
方法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，
在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，
故x3y2的系数是C·C·C＝12.
命题点2 求参数
例2 (1)(2018·大连调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 D
解析 由题意得10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝Cx10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.
(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为( )
A．±2 B. C．－2 D．±
答案 A
解析 6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Crx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4.
故C·4＝，即4＝，解得a＝±2，故选A.
思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
答案 C
解析 因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，
x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.
所以x3y3的系数为80－40＝40.
故选C.
(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，
∴r＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题
例3 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
答案 3
解析 设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)(2018·沈阳质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
答案 1或－3
解析 令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
答案 255
解析 n展开式的第r＋1项为
Tr＋1＝C(x2)n－r·r
＝C(－1)rx2n－3r，
当r＝5时，2n－3r＝1，∴n＝8.
对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.
又当x＝0时，a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝255.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)方法一 ∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
方法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
题型三 二项式定理的应用
例4 (1)设a∈Z且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 D
解析 512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，
∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，
∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.
(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017等于( )
A．i B．－i
C．－1＋i D．－1－i
答案 C
解析 x＝＝＝－1＋i，
Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017
＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.
思维升华 (1)逆用二项式定理的关键
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路
①观察除式与被除式间的关系；
②将被除式拆成二项式；
③结合二项式定理得出结论．
跟踪训练3 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
答案 B
解析 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，
∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋＋…＋＝________.
答案 －1
解析 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，
∴0＝1＋＋＋…＋，
即＋＋…＋＝－1.
1．在6的展开式中，常数项为( )
A．－240 B．－60 C．60 D．240
答案 D
解析 6的展开式中，通项公式为Tr＋1＝C(x2)6－rr＝(－2)rCx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，故常数项为T5＝(－2)4C＝240，故选D.
2．(2018·沈阳联考)5的展开式中x3项的系数为( )
A．80 B．－80 C．－40 D．48
答案 B
解析 5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r，令5－2r＝3，得r＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)·25－1·C＝－80，故选B.
3．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
答案 D
解析 (2x－y)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝2时，T3＝240x4y2，当r＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.
4．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )
A．21 B．35 C．45 D．28
答案 B
解析 ∵Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，∴x4的二项式系数为C＝35，故选B.
5．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15 C．15 D．20
答案 C
解析 设展开式中的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r＝C·(－1)r·212x－2rx·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，
∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，
∴T5＝C·(－1)4＝15.
6．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为( )
A．－4 B. C．4 D.
答案 C
解析 ∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，
∴x4项的系数为4a－1＝15，∴a＝4.
7．若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为( )
A．560 B．－560 C．280 D．－280
答案 A
解析 取x＝1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二项式7的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)7－r·r＝C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C·(－2)4＝560，故选A.
8．若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为( )
A．22 018－1 B．82 018－1 C．22 018 D．82 018
答案 B
解析 由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.
9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝______.(用数字作答)
答案 10
解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，
它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，
T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
10．若6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.
答案 0
解析 6的展开式的通项为Tr＋1＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3，
∴6的展开式中x3项的系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，
∴log2a＋log2b＝log2(ab)＝log21＝0.
11．9192除以100的余数是________．
答案 81
解析 9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C＝k×100＋92×90＋1＝k×100＋82×100＋81(k为正整数)，
所以9192除以100的余数是81.
12．(2018·沈阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝____.(用数字作答)
答案 364
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，
∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.
令x＝0，得a0＝1，
∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
13．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )
A．45 B．60 C．120 D．210
答案 C
解析 因为f(m，n)＝CC，
所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
14．(2018·大连模拟)已知n(n∈N＋)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p＋64q的最小值为________．
答案 16
解析 显然p＝2n.令x＝1，得q＝.所以p＋64q＝2n＋≥2＝16，当且仅当2n＝，即n＝3时取等号，此时p＋64q的最小值为16.
15.5的展开式中常数项是________．
答案 －1 683
解析 5表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x,2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
16．若n展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项．
解 易求得展开式前三项的系数为1,2C，4C.
由题意得1＋2C＋4C＝163，可得n＝9.
(1)设展开式中的有理项为Tr＋1，
由Tr＋1＝C()9－rr＝2rC，
又∵0≤r≤9，∴r＝2,6.
故有理项为T3＝22C·＝144x3，
T7＝26·C·＝5 376.
(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则
∴≤r≤，又∵r∈N，∴r＝6，
故展开式中系数最大的项为T7＝5 376.