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- 2021-04-17 发布
大庆四中2018～2019学年度第二学期第二次检测高二年级
数学（文科）试题
考试时间：120分钟 分值：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2.复数的共轭复数是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，在其定义域上是减函数的为 （ ）
A． B． C． D．
4.设函数，则 （ ）
A． B． C． 16 D．
5.执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A． B．
C． D．
6.已知函数是定义在
上的奇函数.若，则a+b的值为 （ ）
A． B． 2 C． 3 D．
7.已知，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于 （ ）
A. B. C. D.
9．已知函数f（x）的导函数为，且满足关系式，则的值
等于 （ ）
A． B． C． D．
10. 若函数的值域是，则函数的值域是 （ ）
A． B． C． D.
11．已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，若，则实数的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．已知函数在区间上单调递增 ，则的取值范围为___________
14. 函数的定义域为_______________
15. 若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是__________
16. 已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是______________ .
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10.
(Ⅰ ) 求；
(Ⅱ ) 求在[-4,3]上的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知直线的极坐标方程为（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同），圆的参数方程为（为参数）
(Ⅰ) 当时，求圆心到直线的距离；
(Ⅱ) 若直线被圆截的弦长为，求的值.
19．（本小题满分12分）
在直角坐标系中,圆C的参数方程为（为参数），以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. 直线l的极坐标方程是.
(Ⅰ) 求圆C的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
(Ⅱ) 射线与圆C的交点为O、P ，与直线的交点为Q,求线段PQ的长.
20．（本小题满分12分）
某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y,
(1,2,1)
z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B
发生的概率.
21．（本小题满分12分）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，点P是曲线上的动点.点M满足 (O为极点). 设点M的轨迹为曲线. 以极点O为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线的参数方程是为参数）.
(Ⅰ) 求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
(Ⅱ) 设直线交两坐标轴于两点，求面积的最大值．
22.（本小题满分12分）
已知函数． (Ⅰ) 求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；
(Ⅱ) 证明：当时,
大庆四中2018～2019学年度第二学期第二次检测高二年级
数学（文科）试题答案
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
C
D
C
A
B
A
B
B
D
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13、 14、 15、 16、
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
17.若函数f（x）在x＝1处有极值为10，则 ⇒或 ，当 时，f'（x）＝3x2+8x﹣11，△＝64+132＞0，所以函数有极值点；
当 时，f′（x）＝3（x﹣1）2≥0，所以函数无极值点；所以
（2）f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f'（x）＝3x2+8x﹣11，
由f′（x）＝0得所以令f′（x）＞0得；令所以f（x）在上单调递增，上单调递减．
f(-4)= 60, f(1)=10, 所以最小值为10
18.(1）由化为直角坐标方程为：，
化为直角坐标方程为，圆心为，
圆心到直线的距离为；
（2）由已知得，，或（舍）
所以，a=0
19. 解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2＝1，
∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．直线的直角坐标方程为:y+x＝3，
（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．
设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．
∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．
∴|PQ|＝2．
20.（1）该批产品的一等品率约为0.6．
（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：
（A1，A2），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A7），（A1，A9），
（A2，A4），（A2，A5），（A2，A7），（A2，A9），（A4，A5），
（A4，A7），（A4，A9），（A5，A7），（A5，A9），（A7，A9），共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5， A7，
则事件B发生的所有可能结果为：（A1，A2），（A1，A5），（A1，A7），（A2，A5），（A2，A7），（A5，A7），共6种．所以P（B）＝＝．
21.解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线
的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.
（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，
22.（1）因为，
所以，
所以，所以曲线在点处的切线方程为。
（2）因为，
所以，
因为，
所以，所以，
令，或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增。
当时，，，
所以，即；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要证，即证，
令，（），
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
，所以在上恒成立。
故综上所述，当时，