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- 2021-04-17 发布
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数学试题（理科）
第Ⅰ卷选择题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
,所以，故选A.
考点：集合的运算.
2.已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设幂函数为代入点计算得到，再代入数据计算得到答案.
【详解】设幂函数为代入点，得到
故选：
【点睛】本题考查了求幂函数的解析式，意在考查学生的计算能力.
3.函数f(x)=的定义域是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数解析式可得，从而得解.
【详解】由题意得，∴，解得x∈，
故选C.
【点睛】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．求函数定义域的注意点：
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化。
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。
(3)定义域一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
4.下列给出函数与的各组中，是同一个关于x的函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A项中函数的定义域不同，B项的解析式不同，即对应法则不同，D项的定义域不同，0的0次方没有意义，只有C项符合条件.
考点：两个函数表示同一个函数的条件.
5.设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵当时，，且f（x）是定义在R上的奇函数，故选B．
考点：函数的奇偶性．
6.函数与在同一坐标系中的图像只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
就和分类讨论即可.
【详解】当时，是增函数，是减函数，且前者图像恒过定点，后者图像恒过定点，故A正确，B、D错误；
当时，是减函数，是增函数，故C错.
综上，选A.
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像和性质，属于基础题.
7.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. y=-x（） B. （）
C. （且） D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除；根据单调性排除得到答案.
【详解】A. y=-x（），函数为奇函数且为减函数，满足；
B. （），函数不是奇函数，排除；
C. （且），函数为偶函数，排除；
D. （），函数单调递增，排除.
故选：
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
8.已知f（x-1）=x2+4x-5，则f（x）的表达式是（ ）
A. x2+6x B. x2+8x+7 C. x2+2x-3 D. x2+6x-10
【答案】A
【解析】
求函数解析式，可以采用换元法。设 ，则 ， ，将 换成 ，即 。
故答案选A。
9.若函数=的定义域为,则函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为=的定义域为,所以,所以函数=的定义域是.选C.
10.三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据单调性依次判断每个数与0,1大小关系得到答案.
【详解】；；.即
故选：
【点睛】本题考查了利用单调性判断数的大小关系，与0,1作比较是解题的关键.
11.已知函数f（x）=2x﹣x2，则函数f（x）的零点的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
试题分析：可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．
解：由题意可知：
要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，
只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．
画出函数y=2x，y=x2的图象
由图象可得有3个交点，如第一象限的A（2，4），B（4，16）及第二象限的点C．
故选：C．
考点：根的存在性及根的个数判断．
12.定义在上的偶函数在上递减，且，则满足的的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
因为偶函数在上递减，
由偶函数性质可得，在上递增，
因为，
所以当时，或，
解得．
故选．
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题（把答案填在题中横线上）
13.函数且的图象恒过定点________.
【答案】
【解析】
令x=1,则y=,所以函数且图象恒过定点.
14.若函数在区间（－∞，2上是减函数，则实数的取值范围是__________
【答案】（－∞，－
【解析】
【分析】
因为函数y=x2+(2a－1)x+1在（－∞，2上是减函数，则说明对称轴x=
【详解】
请在此输入详解！
【点睛】
请在此输入点睛！
15.函数的单调递增区间是__________．
【答案】
【解析】
函数有：,解得或.
即函数的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)，
令,则，
∵为减函数，
在(−∞,−3)上为减函数,在(1,+∞)为增函数，
∴函数的单调递增区间为，
故答案为.
16.若是（-∞,+∞）上的减函数,则a的取值范围是__
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的单调性即可得到结果
【详解】函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴a∈（0，1），并且3a﹣1＜0，解得a，
3a﹣1+4a≥0，解得a，
∴a∈
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合===.
(1)求.
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据数轴求集合交集（2）由得,先考虑空集的情况，再结合数轴列对应不等式关系，最后根据并集求实数的取值范围.
试题解析：(1)==,
.
(2)①,
当时,即.
②当时,
.
综上所述,取值范围是,即.
18.化简:(1).
(2).
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据对数运算法则 进行化简求值（2）根据指数幂运算法则 进行化简求值
试题解析：(1)==;
(2)===.
19.已知函数的图象过点（0，-2），（2，0）
（1）求与的值;
（2）求时，的最大值与最小值
【答案】（1） ； （2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】
（1）直接将图象所过的点代入解析式，得出，解出a,b即可；（2）根据函数单调递增，利用单调性求其最值即可．
【详解】（1）由已知可得点在函数图像上
，又不符合题意
（2）由（1）可得在其定义域上是增函数在区间上单调递增，
所以最小值为，最大值为.
【点睛】本题主要考查了指数型函数的图象和性质，涉及运用单调性求函数的最值，属于基础题．
20.停车场预计“十·一”国庆节这天将停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．根据预计，解答下面的问题：
(1)写出国庆节这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
(2)如果国庆节这天停放的小车辆次占停车总辆次的65%～85%，请你估计国庆节这天该停车场收费金额的范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】（1）依题得
（2）
而在上为减函数，
,
即
答：估计国庆节这天该停车场收费金额的范围是[6900,8100]
21.设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f（x）的图象是顶点为P（3，4）且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的值域和单调区间．
【答案】（1）见解析；（2）．单调增区间为和．单调减区间为和．
【解析】
【分析】
（1）先计算的解析式为，根据函数为偶函数得到函数的解析式为，画出函数图像得到答案.
（2）根据函数图像直接得到值域和单调区间.
【详解】（1）当时，，代入点得到，
当时，，为定义在上的偶函数
则 画出函数图像，如图所示：
（2）根据图像知：
函数有最大值为，故值域为；
函数单调增区间为和，单调减区间为和.
【点睛】本题考查了函数的解析式，图像，值域，单调区间，画出函数图像是解题的关键.
22.已知函数 （ x Î R ,且 e 为自然对数的底数）．
⑴ 判断函数 f ( x) 的单调性与奇偶性；
⑵是否存在实数 t ，使不等式对一切的 x Î R 都成立？若存在，求出 t 的值，若 不存在说明理由．
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
【分析】
(1)利用函数奇偶性和单调性的定义证明函数的奇偶性和单调性.(2)由函数的奇偶性和单调性得到对一切的x∈R都成立,再利用判别式得解.
【详解】函数定义域为R,关于原点对称, ,
则,则f(x)是奇函数.
以下证明f(x)在R上单调递增:
任取x1,x2∈R,令x1