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- 2021-04-17 发布
第三节 三角函数的图象与性质
[考纲传真] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( )
(2)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)y＝sin |x|是偶函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝cos的图象关于( )
A．原点对称 B.y轴对称
C．直线x＝对称 D.直线x＝－对称
A [函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，则图象关于原点对称，故选A.]
3．函数y＝tan 2x的定义域是( )
A. B.
C. D.
D [由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为.]
4．(2017·长沙模拟(一))函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是
( )
A. B.和
C. D.
C [令z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是，故选C.]
5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．
2 {x|x＝6kπ，k∈Z} [f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]
三角函数的定义域与值域
(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B.5
C.6 D.7
(2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
(1)B (2)∪ [(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.
(2)由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜，
∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.]
[规律方法] 1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．
[变式训练1] (1)已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2 B.3
C.＋2 D.2－
(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值.
【导学号：01772113】
(1)B [∵x∈，∴cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，
∴b－a＝3.]
(2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈，3分
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝，7分
∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.12分
三角函数的单调性
(1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,2]
(2)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．
(1)A (2)(k∈Z) [(1)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆，
所以解得≤ω≤.
(2)由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．]
[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．
2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
[变式训练2] (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．
(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
【导学号：01772114】
(1)(k∈Z) (2) [(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，
得－＜x＜＋(k∈Z)．
(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.]
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
☞角度1 奇偶性与周期性的判断
(1)(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B.①③④
C．①②③ D.①③
(2)函数y＝1－2sin2是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(1)C (2)A [(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由图象知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.
(2)y＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．]
☞角度2 求三角函数的对称轴、对称中心
(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是( )
A. B.
C. D.
A [由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|＜，
得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心的坐标为，故选A.]
☞角度3 三角函数对称性的应用
(1)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为
( )
A．－ B.－
C. D.
(1)A (2)B [(1)由题意得3cos
＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
(2)由x＝是f(x)图象的对称轴，
可得f(0)＝f，
即sin 0＋acos 0＝sin＋acos，
解得a＝－.]
[规律方法] 1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数周期的方法：
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)借助函数的图象．
[思想与方法]
1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再用换元法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
2．求三角函数值域(最值)的常用方法：
(1)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．
(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．
3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
[易错与防范]
1．
闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．
3．利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性．
4．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．