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- 2021-04-17 发布
第五章 数 列
第28讲 数列的概念与简单表示法
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2016·全国卷Ⅲ，17
2016·浙江卷，13
2015·江苏卷，11
2015·四川卷，16
数列的概念和简单表示法在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an，或者利用递推关系构造等差或等比数列求通项an.
分值：5分
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
按照__一定顺序__排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的__项__.
(2)数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数__有限__
无穷数列
项数__无限__
按项与项间的大
小关系分类
递增数列
an＋1__>__an
其中n∈N*
递减数列
an＋1__<__an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是__列表法__、__图象法__和__通项公式法__.
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与__序号n__之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}表达的意义相同．( × )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
(4)在数列{an}中，如果对于任意正整数m，n，都有am＋n＝amn＋1，则当a1＝1时，a2＝2.( √ )
(5)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1则可以写出数列{an}的任何一项．( √ )
解析 (1)错误．数列{an}是表示按照一定顺序排列的一列数，为a1，a2，a3，…，an，而集合{a1，a2，a3，…，an}只表明该集合中有n个元素，数列中的项有顺序，集合中的元素没有顺序．
(2)正确．根据数列的前几项归纳出数列的通项公式不一定唯一，可以有多个，有的数列没有通项公式．
(3)正确．根据数列的前n项和的定义可知．
(4)正确．在am＋n＝amn＋1中，令m＝n＝1得a2＝a1＋1＝1＋1＝2.
(5)正确．在已知递推公式中，令n＝1得a2＝，而a2＝1，解得a1＝1，同理可得an＝1.
2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( D )
A．不是数列中的项
B．只是数列中的第2项
C．只是数列中的第6项
D．是数列中的第2项或第6项
解析 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项，故选D．
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝( D )
A． B．
C． D．
解析 ∵a1a2a3·…·an＝n2，∴a1a2a3·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝＝(n≥2)，∴a3＝，a5＝，
∴a3＋a5＝＋＝＋＝.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝____.
解析 由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列的通项公式是__an＝__.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.
故an＝
一 由数列的前几项求数列的通项公式
求数列的通项公式应关注四个特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号的特征．再依据这些特征进行归纳、化归、联想求出通项公式．
【例1】 (1)已知n∈N*，给出4个表达式：
①an＝②an＝，③an＝，
④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( A )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
(2)写出下面各数列的一个通项公式．
①3,5,7,9，…；
②，，，，，…；
③－1，，－，，－，，…；
④3,33,333,3 333，….
解析 (1)检验知①②③都是所给数列的通项公式．
(2)①各项式减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
②每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.
③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝
④将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．
二 由递推公式求通项公式
由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
【例2】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；
(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解析 (1)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘，得an＝···…···a1＝＝.
(2)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋(3·2－1)＋(3·1－1)＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合上式，
∴an＝n2＋.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，首项为a1＋1＝2，
∴an＋1＝2×3n－1.∴an＝2×3n－1－1.
三 an与Sn的关系及其应用
数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
画龙点睛：若S0＝0，则an不用分段函数的形式表示；若S0≠0，则an一定是用分段函数的形式表示．
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
解析 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
【例4】 (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解析 (1)由题意得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
1．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( C )
A．3(3n－2n) B．3n＋2
C．3n D．3·2n－1
解析 解得代入选项逐一检验，只有C符合．
2．在数列1,2，，，，…中，2 是这个数列的第________项( C )
A．16 B．24
C．26 D．28
解析 设题中数列为{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C．
3．(2016·浙江卷)设数列的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__1__，S5＝__121__.
解析 ∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.
4．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．
解析 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.
(2)由(1)得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
由|Tn－1|<，得<，即2n>1 000.
因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.
于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.
易错点 忽略数列是特殊的函数
错因分析：忽视了数列的通项an及前n项和Sn都可看作是定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题．
【例1】 已知数列中，an＝n2＋λn，且为递增数列，求实数λ的取值范围．
解析 方法一 函数f(n)＝n2＋λn的图象开口向上，过点(0,0)．
∵an＝n2＋λn，∴只要a2＞a1即成立，
∴4＋2λ＞1＋λ，解得λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．
方法二 ∵an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋λ＋1，∴由2n＋λ＋1＞0，得λ＞－2n－1对一切n∈N*恒成立．
∵n＝1时，－2n－1最大为－3，∴λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．
方法三 函数f(n)＝n2＋λn图象的对称轴是n＝－，如图，只需－＜，则λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．
【跟踪训练1】 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解析 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
得1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
知5<<6，即－10