2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章 微专题4　换底公式 3页

微专题 4 换底公式 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自 然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 一、换底公式的正用 例 1 (1)log29×log34 等于( ) A.1 4 B.1 2 C．2 D．4 考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 D 解析 log29×log34＝lg 9 lg 2 ×lg 4 lg 3 ＝2lg 3 lg 2 ×2lg 2 lg 3 ＝4. (2)已知 log152＝a，b＝log35，则 log12518＝________. 答案 ab＋a＋2 3b 解析 a＝log152＝ log32 log315 ＝ log32 log35＋1 ＝log32 b＋1 ， 所以 log32＝a(b＋1)＝ab＋a， log12518＝ log318 log3125 ＝log32×32 log353 ＝log32＋2 3log35 ＝ab＋a＋2 3b . 二、换底公式的逆用 例 2 计算：log5 2×log727 log5 1 3 ×log74 ＝________. 答案 －3 4 解析 原式＝log5 2 log5 1 3 ×log727 log74 ＝ 1 3 log 2 ×log427＝lg 2 lg1 3 ×lg 27 lg 4 ＝ 1 2lg 2 －lg 3 ×3lg 3 2lg 2 ＝－3 4. 三、换底公式的基本变形一：logab＝ 1 logba 例 3 已知 2a＝5b＝10，求1 a ＋1 b 的值． 解 ∵2a＝10，∴a＝log210， ∴1 a ＝ 1 log210 ＝lg 2， 5b＝10，∴b＝log510，∴1 b ＝ 1 log510 ＝lg 5. ∴1 a ＋1 b ＝lg 2＋lg 5＝1. 四、换底公式的基本变形二： log n m a b ＝m nlogab 例 4 已知 log1627＝a，则 log916＝________. 答案 3 2a 解析 ∵log1627＝a，∴ 4 3 2log 3 ＝a， ∴3 4log23＝a，∴log23＝4 3a， ∴log916＝ 2 4 3log 2 ＝4 2log32＝2log32＝2· 1 log23 ＝2× 3 4a ＝ 3 2a. 五、解对数方程 例 5 若 logab·logbc·logc3＝2，则 a 的值为________． 答案 3 解析 ∵logab·logbc·logc3＝lg b lg a·lg c lg b·lg 3 lg c ＝lg 3 lg a ＝2. ∴lg 3＝2lg a＝lg a2， ∴a2＝3，解得 a＝ 3，或 a＝－ 3(舍去)． 六、证明对数恒等式 例 6 证明：(ab)lg a＋lg b＝alg a·blg b·a2lg b. 证明 左边＝alg a＋lg b·blg a＋lg b ＝alg a·alg b·blg a·blg b， 又   lglg lglg lgloglg lglg lg .b ba ab baa bb bb b b b a           所以左边＝alg a·blg b·blg a·alg b ＝alg a·blg b·alg b·alg b ＝alg a·blg b·a2lg b＝右边． 即原等式成立．