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- 2021-04-17 发布
静宁一中2018-2019学年度第二学期高二级期末试题（卷）
数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，1，2，3，，，2，，，3，，则（ ）
A．， B．， C． ，1， D．，2，
3．已知平面向量，的夹角为，，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
4．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是，最大值是1
B．的最小正周期是，最大值是
C．的最小正周期是，最大值是
D．的最小正周期是，最大值是1
5．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A．55
B．45
C．66
D．36
7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象大致是（ ）
9．在中，，，，则的面积为（ ）
A．15 B． C．40 D．
10．.函数在上的最小值为（ ）
A． -2 B．0 C． D．
11．法国机械学家莱洛． 发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若是第四象限角，，则_____．.
14．在正方体中，，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
15．若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．
16．已知函数，且，则_____．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设是等比数列的前项和，若，，求．
频率
组距
0.20
0.10
2a
a
0
199
219
239
259
279
299
18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：，经统计，其高度均在区间，内，将其按，，，，，，，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为及以上的树苗为优质树苗．
31 cm
（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
试验区
试验区
合计
优质树苗
20
非优质树苗
60
合计
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表：
将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，并说明理由．
下面的临界值表仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中．
19． （本小题满分12分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）中，
平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：；
（2）若，，为的中点，求三棱锥的体积．
20．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
21．已知椭圆：的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
选考题:共10分，请考生在第22、23题中选定一题作答
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数.
（1）解不等式：；
（2）已知．且对于，恒成立，求实数的取值范围．
2019年高二数学试卷（文科）答案
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答数
A
C
C
B
D
A
C
A
B
D
B
C
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13. ; 14.; 15. 8; 16.16
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.【解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，
解得，， ∴．
(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，
∴，或．
18.【解】（1）由频率分布直方图知，，解得，
计算，
估计这批树苗的平均高度为；
（2）优质树苗有，根据题意填写列联表，
试验区
试验区
合计
优质树苗
10
20
30
非优质树苗
60
30
90
合计
70
50
120
计算观测值，
没有的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系．
19.【解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，
又∵平面，∴，∵平面，且平面，∴，
又∵平面，平面,, ∴平面，又∵平面，∴； …………………… 5分
（2）在直三棱柱 中，，
∵平面，其垂足落在直线上，∴，
在中， ,,，，
在中，， …………………… 8分
由（1）知平面，平面，从而，，
∵为的中点，，…………………… 10分
∴．…………………… 12分
20【解析】（1），，
（1），又（1），即切线的斜率，切点为，
曲线在点处的切线方程；
（2）令，，则，
令，则．
当时，，函数在上为增函数，故（1）；
从而，当时，（1）．
即函数在上为增函数，故（1）．
因此，在上恒成立，必须满足．
实数的取值范围为，．
21.【解】（Ⅰ）由题意可得，解得，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，
，解得或，
设，，
又，，
∴，
∵坐标原点在以为直径的圆内，
∴，
∴ ，
解得或.
故直线斜率的取值范围为.
选考题:共10分，请考生在第22、23题中选定一题作答
选修4-4：坐标系与参数方程
22.【解】（Ⅰ）由，，，得
即所求曲线的直角坐标方程为：
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得
由是的中点知，
即[来源:Z,xx,k.Com]
所以直线的斜率为.
选修4-5：不等式选讲
23.【解析】（1），
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得．
所以不等式的解集为．
（2）∵，∴
∴对于，恒成立等价于：对，，即
∵
∴，∴