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- 2021-04-17 发布
秘密★启用前
2019年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ）
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2. 在复平面内，复数对应的点到直线的距离是( )
A． B．
C． D．1
3. 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在/以下空气质量为一级，在/空气量为二级，超过/为超标．如图是某地5月1日至10日的（单位：/)的日均值折线图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 这天中有天空气质量为一级
B. 从日到日日均值逐渐降低
C. 这天中日均值的中位数是
D. 这天中日均值最高的是5月日
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中同时具有性质:“①最小正周期是,②图象关于对称,③在上是增函数”的函数是( )
A. B.
C. D.
6. 执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（ ）
数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）
A．7 B．20
C．22 D．54
7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
8.多项式 的展开式中的系数为（ ）
A． B．4864
C． D．1280
9．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=（ ）
A． B．
C． D．
12. 在四面体中，△为等边三角形，边长为， ,则四面体为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，满足，且，则______________．
14．若实数满足,则的最大值为______________．
15. 已知函数，则关于的不等式的解集为______________．
16．某工厂现将一棱长为的四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______________．
三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，若数列的前项和为，证明：．
18．（本小题满分12分）
正方体的棱长为1，是边的中点，点在正方体内部或正方体的面上，且满足：面。
（Ⅰ）求动点的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；
（Ⅱ）设直线与动点的轨迹所在平面所成的角记为，求．
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19．（本小题满分12分）
为了迎接2019年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了500名学生的数学考试成绩，统计如下表所示：
成绩
人数
30
120
210
100
40
（Ⅰ）计算各组成绩的频率，并填写在表中；
成绩
人数
30
120
210
100
40
频率
（Ⅱ）已知本次质检数学测试的成绩，其中近似为样本的平均数，近似为样本方差，
若该省有10万考生，试估计数学成绩在的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）
（Ⅲ）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在的人数为，求的分布列以及数学期望.
参考数据：若，则，，.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线截椭圆形成的弦长为，且椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若点，且，则当取得最小值时，求直线的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数有两个不同的零点
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若，是曲线上两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. （本小题满分10分）
已知函数.
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）若关于x的不等式在上无解，求实数的取值范围.
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