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- 2021-04-17 发布
南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若复数z满足(3－4i)z＝5，则z的虚部为( )
A. B.－ C.4 D.－4
2、已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈
p2：|a＋b|＞1⇔θ∈
p3：|a－b|＞1⇔θ∈
p4：|a－b|＞1⇔θ∈
其中的真命题是( )
A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4
3、已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为( )
A.[2，＋∞) B.(－∞，2] C.(－2，＋∞) D.(－∞，－2)
4、已知实数x、y满足则的取值范围为( )
A. B. C.∩[7，＋∞) D.∩[5，＋∞)
5、二项式的展开式中中的第二项的系数为－，则x2dx的值为( )
A.3 B. C.3或 D.3或－
6、若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.(－∞，－1] C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
7、将长和宽分别为8和6的矩形ABCD沿对角线BD折成120°的二面角，则此时三棱锥A—BCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
9、函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A.[0，1) B.(－1，1) C. D.(0，1)
10、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B. C. D.
11、已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1
12、函数与是一对反函数，若点P、Q分别是f(x)和g(x)图象上的点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 .
14、甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________.(用数字作答)
15、关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.
16、过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分10分）三男三女站成一排，
⑴男生彼此相邻，女生也彼此相邻的站法有多少种？
⑵男生彼此不相邻，女生也彼此不相邻的站法有多少种？
18、（本小题满分12分）已知函已知函数f(x)＝4sin3xcos x－2sin xcos x－cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；[来源]
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
19、（本小题满分12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，
∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.
(1)求证：EF⊥BC；
(2)求二面角E－BF－C的正弦值.
20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：
21、（本小题满分12分）已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点
(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，
若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.
22、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax＋＋c(a＞0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程
为y＝x－1.
(1)用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)＋(n≥1).
南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试
数学（理）参考答案
命题人：卓邦南 审题人：李雪峰
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1—5：AACBC 6—10：DCBDD 11—12：AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 14、24 15、 (－4，0) 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、解：⑴捆绑法：种…………………………5分
⑵插空法：先排男生种，有4个空；女生只能插前3个空或后3个空，有种
种……………………………………10分
18、解 f(x)＝2sin xcos x－cos 4x
＝－sin 2xcos 2x－cos 4x＝－sin 4x－cos 4x
＝－sin.…………………………………………3分
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.……6分
(2)因为0≤x≤，所以≤4x＋≤.
此时－≤sin≤1，
所以－≤－sin≤，即－≤f(x)≤.
所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－.…………12分
19、法一 (1)证明 由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂
直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0，0，0)， A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0).
因而E(0，，)，F，
所以＝，＝(0，2，0)，
因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC.………………6分
(2)解 平面BFC的一个法向量为n1＝(0，0，1).
设平面BEF的法向量n2＝(x，y，z)，
又＝，＝.
由得其中一个n2＝(1，－，1).
设二面角E－BF－C大小为θ，且由题意知θ为锐角，则
cos〈n1，n2〉＝＝，∴cos θ＝，
因此sin θ＝＝，即所求二面角的正弦值为.………………12分
20、(1)解 f′(x)＝x(x＋2)ex.
令f′(x)＝x(x＋2)ex＝0，则x1＝－2，x2＝0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
(－∞，－2)
－2
(－2，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，0)，单调递增区间为(－∞，－2)，(0，
＋∞).………………………………………………………………………………6分
(2)证明 由(1)知f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(－2，0)，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最大值＝f(－2)＝.
因为当x∈(－∞，－2]时，f(x)＞0，f(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最小值＝f(0)＝0.
所以f(x)最大值－f(x)最小值＝.
所以对∀x1，x2∈(－∞，0]，都有f(x1)－f(x2)≤f(x)最大值－f(x)最小值＝.…………12分
21、解 (1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.……………………5分
(2)法一 由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1) x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为＋＝1.…………………………………………12分
法二 由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，
代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝ |x1－x2|
＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故椭圆E的方程为＋＝1.
22、(1)解 f′(x)＝a－，则有解得………………3分
(2)解 由(1)知，f(x)＝ax＋＋1－2a.
令g(x)＝f(x)－ln x＝ax＋＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)，
则g(1)＝0，g′(x)＝a－－＝＝，
(ⅰ)当0＜a＜时，＞1.
若1＜x＜，则g′(x)＜0，g(x)是减函数，所以g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜ln x.
故f(x)≥ln x在[1，＋∞)上不成立.
(ⅱ)当a≥时，≤1. 若x＞1，则g′(x)＞0，g(x)是增函数，所以g(x)＞g(1)＝0，
即f(x)＞ln x，故当x≥1时，f(x)≥ln x.
综上所述，所求a的取值范围为.……………………7分
(3)证明 法一 由(2)知：当a≥时，有f(x)≥ln x(x≥1).
令a＝，有f(x)＝≥ln x(x≥1)， 且当x＞1时，＞ln x.
令x＝，有ln ＜＝，
即ln(k＋1)－ln k＜，k＝1，2，3，…，n.
将上述n个不等式依次相加得ln(n＋1)＜＋＋，
整理得1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)＋.…………………………12分
法二 用数学归纳法证明.
①当n＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋＜1，不等式成立.
②假设n＝k时，不等式成立，即
1＋＋＋…＋＞ln(k＋1)＋.
那么1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋1)＋＋＝ln(k＋1)＋.
由(2)知：当a≥时，有f(x)≥ln x(x≥1).
令a＝，有f(x)＝≥ln x(x≥1).
令x＝，得：≥ln ＝ln(k＋2)－ln(k＋1).
∴ln(k＋1)＋≥ln(k＋2)＋.
∴1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋2)＋.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.