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- 2021-04-17 发布
第十节 导数的应用——函数的零点
一 考查热点：利用导数研究函数的零点是高考考查的新热点，主要考查函数零点的个数、零点存在的范围、根据零点情况求解参数以及讨论与零点相关的问题。
二 要点小结：
1. 用导数 判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。
2. 要证明一个函数存在零点，可用“函数零点的存在性定理”证明；若要证明一个函数“有且只有一个”零点，可在函数存在零点的基础上再证明函数为单调函数。
三 典例分析
例1. （2014陕西）设函数.
（1） 当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2） 讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
例2 . （2014新课标2）已知函数，曲线在点
处的切线与轴交点的横坐标为.
（1） 求；
（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.
四 真题演练
1. (2015北京)设函数，．
（I）求的单调区间和极值；
（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
2.（2016北京）设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
3.（2016新课标1）已知函数.
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点，求的取值范围.
第十节 例题1. （1）由题设，当时，，易得函数的定义域为，当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；当时，取得极小值，的极小值为2
(2)函数，令，得
设，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；[ :学| | Z|X|X|K]
所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为，又，结合y=的图像（如图），可知
① 当时，函数无零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
（2） 对任意恒成立等价于恒成立
设，在上单调递减
在恒成立，恒成立
（对，仅在时成立），的取值范围是
例2：解：（I）=，.曲线
在点（0,2）处的切线方程为。由题设得，所以a=1.
（Ⅱ）由（I）知， 设，由题设知. 当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根。当时，令，则。 ，在单调递减，在单调递增，所以 ，所以在没有实根.
综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。
演练 1. 解：（Ｉ）由（k>0）得 .由=0解得 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.
（II）由（I）知，在区间上的最小值.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点.当>e时，在区间上单调递减，且>< 所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
2. 解：（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，，所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（III）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同
所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．
3. (I)
(i)设，则当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln(-2a)<1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又，取b满足b<0且，
则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则所以有一个零点.
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.
[ :学 ]