- 1.55 MB
- 2021-04-17 发布
2019-2020学年度双鸭山市第一中学高二上学期数学（理）期中考卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题
1.“m＝﹣2”是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析】
求出直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直，
则2（6﹣m）+（m﹣2）（2﹣m）＝0，
得12﹣2m﹣m2+4m﹣4＝0，
即m2﹣2m﹣8＝0，
得（m+2）（m﹣4）＝0，
得m＝4或m＝﹣2，
则m＝﹣2是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂线的等价条件求出m的范围是解决本题的关键．
2.已知命题：，，命题：若，则，则以下命题正确的为（ ）
A. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”
B. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”
C. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”
D. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”
【答案】B
【解析】
【分析】
根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。即可选出答案。
【详解】的否定为“，”，的否命题为“若，则”
故选：B
【点睛】本题考查命题的否定与否命题，注意区分命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。属于基础题。
3.设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是()
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线过且与线段相交，则可转化为点在直线异侧或在直线上，
从而可得，再由二次不等式的解法即可得解.
【详解】解：由题意可设直线方程为，即，
由直线与线段相交，则点在直线的异侧或在直线上，
由点与直线的位置关系可得即，
解得或，
故选A.
【点睛】本题考查了点与直线的位置关系及二次不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.
4.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，将目标函数化为斜截式，通过平移得到过点C（2，0）时取得最小值.
【详解】
目标函数可化简为：y=2x-4+z,根据图像得到当目标函数过点C（2，0）时取得最小值，代入得到.
故答案为：C.
【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、
斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
5.抛物线的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.
【详解】因为可化为，
所以，且焦点在轴负半轴，
因此焦点坐标为
故选C
【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
6.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】椭圆的离心率，
即，，
所以双曲线的渐近线为．故选A．
考点：椭圆与双曲线的几何性质．
7.如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，出现平分，即弦上中点，使用点差法，求出弦所在直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线方程，最后整理为一般方程的形式。
【详解】设该弦与椭圆的两个交点分别为， ，点为中点，
，利用点差法可得，，即
由中点公式可得，，，即
为，即，故选B
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中弦的直线方程，题目中被点平分是解题关键，遇到弦中点要考虑点差法求解。
8. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,
∴xP=3,yP==2,
因此S△POF=×2×=2.故选C.
9.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可知是直角三角形，且,斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点,所以，在中，利用同角的三角函数之间的关系，求出的值，然后求出的值，利用双曲线的定义，可求出曲线的离心率。
【详解】因为，所以是直角三角形，且,由意可知，所以有，
，由双曲线定义可知：
，故本题B。
【点睛】本题考查了双曲线定义以及离心率。
10.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得由题得，解方程即得解.
【详解】由题得
由题得，
所以，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
12.已知某椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设是椭圆上的任意一点，且面积的最大值为，若已知，，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设，因此面积为，从而，，
当且仅当时取等号，选B.
考点：椭圆方程，椭圆定义，基本不等式求最值
【思路点睛】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.（2）注意数形结合，画出合理草图.
第II卷（非选择题)
二、填空题
13.过两圆与的交点和点的圆的方程是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设过两圆交点的圆系方程，代入即可求得结果.
【详解】设所求圆的方程为：
将代入得：
所求圆的方程为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查过两圆交点的圆系方程的求解问题，属于基础题.
14.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为___________
【答案】
【解析】
分析：由题意求得抛物线的焦点为（2,0），再求得双曲线的渐近线为，根据点到直线的距离公式可得所求．
详解：由抛物线可得其焦点为（2,0），
又双曲线的渐近线方程为，
∴所求距离为．
点睛：本题考查抛物线的焦点坐标、双曲线渐近线方程的求法和点到直线的距离，主要考查学生的运算能力，属容易题．
15.给出下列结论：
①若为真命题，则、均为真命题;
②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”;
③若命题，，则，；
④“”是“”的充分不必要条件.其中正确的结论有____.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据复合命题的真假判定方法，可得①错误；根据四种命题的概念，可得②正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可得③正确；根据充分条件和必要条件的判定，可得④正确。
【详解】对于①中，命题若为真命题，则至少有一个是真命题，所以不正确；
对于②中，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”是正确的；
对③中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为“，”是正确的；
对于④中，不等式的解集为或，所以“”是“”的充分不必要条件是正确的，
故正确的结论有②③④。
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记复合命题的真假判定方法，四种命题的概念，全称命题与存在性命题的关系，以及充要条件的判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。
16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首次按判断出为等腰三角形只可能，再利用直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，即可解出椭圆离心率的范围
【详解】为等腰三角形，只可能
即，
又因点在直线上，即
又因为椭圆
所以
故填
【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，是解本题的关键，属于中档题。
三、解答题
17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
（2）求顶点在原点，准线方程为的抛物线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意双曲线方程可设为,可得关于的方程组，进而求出双曲线的方程．
（2）根据抛物线的顶点在原点，准线方程为,可设抛物线方程为,从而可求得抛物线的方程．
【详解】（1）解:依题意，双曲线的焦点坐标是
故双曲线的方程可设为
又∵双曲线的离心率
∴
解得
∴双曲线的方程为
（2）解:∵抛物线的顶点在原点，准线方程为
∴可设抛物线方程为
∵
∴
∴抛物线方程为
【点睛】本题考查圆锥曲线的综合，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的相关性质，是基础题.解题时需要认真审题.
18.已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程
表示双曲线.
（1）若命题是真命题，求实数的范围；
（2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
由方程表示焦点在y轴上的椭圆，根据椭圆的几何性质可得，，求解不等式可得答案；由双曲线的几何性质求出为真命题的的范围，结合，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.
【详解】若命题p是真命题，则，解得；
若命题q为真命题，则，即．
命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．
当p真q假时，，得；
当p假q真时，，解得或．
实数m的取值范围时．
【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查椭圆与双曲线的性质，是中档题．解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
19.已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．
【答案】（1）或（2）．
【解析】
【分析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;
(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.
【详解】解: (1)由题意可得,直线与圆相切
当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意
当斜率存在时，设直线的方程为,即
∴,解得
∴直线的方程为
∴直线的方程为或
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为
圆心到直线的距离为
∴弦长为
【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求得c及2a，在△F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面积公式可得△F2PF1的面积．
【详解】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（），
因为点在椭圆上，所以， 解得，
所以，椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
在△F2PF1中，由余弦定理可得：
即
，则
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．
21.已知双曲线C：的焦距为4，且过点．
(1)求双曲线方程和其渐近线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1) 双曲线方程为，其渐近线方程为;（2）或
【解析】
【分析】
(1) 由题意得 ,解方程组即得双曲线的方程，再写出其渐近线方程.(2) 由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0得 ,解之即得实数的值，再利用数形结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】(1)由题意得 ,解得
∴双曲线方程为，其渐近线方程为.
(2)由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
由题意得 ,
∴k2＝7，∴k＝ .
当3－k2=0时，直线l与双曲线C的渐近线平行，即时，直线l与双曲线C只有一个公共点，∴或.
【点睛】(1)本题主要考查双曲线方程的求法，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是得到(3－k2)x2－4kx－7＝0后，要对3－k2分类讨论，否则漏解.
22.已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为．
（1）求动点M轨迹C方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义确定轨迹方程即可；
(2)当直线斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理和斜率公式可得k1+k2的值，当斜率不存在时，直接计算k1+k2的值，从而可以考查k1+k2是否为定值.
【详解】（1）由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1、F2为焦点，以为长轴长的椭圆．
由，得b=2．
故曲线C的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
由，
得（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），，．
从而．
当直线l的斜率不存在时，得，
得k1+k2=4．
综上，恒有k1+k2=4．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．