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- 2021-04-17 发布
总复习：空间向量在立体几何中的应用
【考纲要求】
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.
2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.
【知识网络】
【考点梳理】
空间向量在立体几何中的应用401056 知识要点】
考点一：立体几何中垂直和平行命题
对于垂直问题，一般是利用进行证明；
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
考点二：立体几何中有关角的求解
利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
考点三：立体几何中有关距离的计算
设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
考点四：利用平面法向量求角
设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（注意：线线角的范围[00,900]）
线面角的求法：
设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：
设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）
考点五：利用法向量求空间距离
⑴ 点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量。
⑵ 直线与平面之间的距离：
，其中，是平面的法向量。
⑶ 两平行平面之间的距离：
，其中， 是平面的法向量。
【典型例题】
类型一：利用空间向量证明有关平行或垂直
例1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点
（1）求证：AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明平面AED⊥平面A1FD1
【思路点拨】涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法
【解析】建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，
则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) ，D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)
(1)证明：
∴=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD⊥D1F
（2）解：=（2，0，1）， =（1，0，-2），| ，|
设AE与D1F的夹角为θ，
则cosθ=
所以，直线AE与D1F所成的角为90°.
（3）证明：由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，
又AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，
∵D1F平面A1FD1M
∴平面AED⊥平面A1FD1 。
【总结升华】用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0。
举一反三：
【变式1】已知斜三棱柱中，
，点是与的交点，
（1）用基向量表示向量；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值；
（3）判定平面平面
【解析】设
（1）
（2）由题意，可求得，
，，，
，
∴异面直线与所成的角的余弦值为
（3）取的中点，连结，则
∵，∴，
且，∴
∴，平面，
∴平面平面
类型二：利用空间向量求异面直线所成的角
例2（2015春 济南校级期中）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=．
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值．
【解析】解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AC=2，BC=，SB=，∴B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
=（2，，﹣2），=（﹣2，，0）．
（1）∵•=0，∴SC⊥BC．
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0，，0），•=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求．
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC．
（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，
连接SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角．
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求．
举一反三：
【变式1】（2018 崇明县一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）异面直线PD与AC所成角的余弦值．
（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解析】（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，
从而BC=AF=2，
延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．
在△PDE中，cos∠PDE=﹣
所以，异面直线PD与AC所成角余弦值为
（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，
∴底面梯形面积为
∵PA⊥平面ABCD，PA=1．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为
类型三：直线与平面所成的角
例3、如图AC⊥BD，∠DAC=30º，BC=3，AC=2，以AC为折痕将平面ADC折起，使二面角D—AC—B为60º，点D在平面ABC上的射影为点O，BF=2AF.
（1）求证：OF//平面ACD；
（2）求AB与平面CDA所成角的余弦.
【解析】（1）∵AC⊥CD，AC⊥BC，
∴AC⊥平面BCD，且
为二面角D—AC—B的平面角，即=60º，
∴ 平面ABC⊥平面BCD，
∴点D在平面ABC上的射影点O在BC上，且BC⊥DO，
在中，=60º，BC⊥DO，CD=2，
∴,
∵B0=2=2CO, BF=2AF，∴,
∴,
∵，，
∴OF//平面ACD
（2）连接OF，则OF⊥BC，建立直角坐标系，
则点，，，
，，，
设，且，则
，即，令，则，，
∴平面的法向量，设AB与平面CDA所成角为
∴，
∴AB与平面CDA所成角的余弦为。
举一反三：
【变式1】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。
试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以
又由的一个法向量.
设与所成的角为，
则
依题意有，解得.
故当时，直线。
类型四：有关二面角问题
例4. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为D1C1的中点，求二面角E—BD—C的正切值．
【解析】如图，建立坐标系，
则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
设平面DBE的方程为：（过原点D=0）
则
∴平面DBE的一个法向量为
又因为平面BCD的一个法向量为
二面角E—BD—C的余弦值为：
∴二面角E—BD—C的正切值为
举一反三：
【变式1】如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，
所以，且，
又为等腰三角形，故，且，
从而．
所以为直角三角形，,又．
所以平面．
（Ⅱ）取中点，连结，
由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为．
【变式1】平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小。
【解析】如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）证明：，，
设平面AGC的法向量为，
设平面BGC的法向量为，
∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量为
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量， 得
∴二面角B—AC—G的大小为
类型五：利用空间向量求空间距离
例5. 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离。
【解析】∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
设平面ABC的法向量=（x，y，z），
则，，
∴
即
令z=－2，则=（3，2，－2）
∴由点到平面的距离公式：
===，
∴点D到平面ABC的距离为。
【总结升华】求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉。
举一反三：
【变式1】已知正三棱柱—,，,是侧棱的中点。
（1） 求二面角的正切值；
（2）求点到平面的距离．
【解析】如图，建立空间直角坐标系．
则．
（1）设为平面的法向量．
由 得．
取
又平面的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的正切值为3．
（2）由（1）知：
点到平面的距离＝．
类型六：空间向量在立体几何中的综合应用
例6. 如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【解析】（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，
设平面的一个法向量为，
则，取，得
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的正切值为。
（Ⅲ）取平面的法向量取为，
则点A到平面的距离
∵，
∴。
举一反三：
【变式1】四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
D
B
C
A
S
【解析】（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
D
B
C
A
S
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，
与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的正弦值为．