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- 2021-04-17 发布
2019-2020学年度上学期高二年级10月月考数学卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.
【详解】由题意得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.
2.等差数列中，，则( ).
A. 110 B. 120 C. 130 D. 140
【答案】B
【解析】
【分析】
直接运用等差数列的下标关系即可求出的值.
【详解】因为数列是等差数列，所以，
因此，故本题选B.
【点睛】本题考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力.
3.已知，，的实部与虚部相等，则（）
A. -2 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.
【详解】设 （），则 即
.故选C.
【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.
4.已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）
A. 31 B. 32 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.
【详解】因为与的等差中项为，所以，
因此有，故本题选A.
【点睛】本题考查了等差中项性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，
5.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由对数的运算性质可得，又由对数的运算性质可得，计算可得答案．
【详解】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，
则有，
则；
故选：．
【点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．
6.已知是等比数列， 则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵是等比数列，，，∴q3=，则q=，
∵=q2=
∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列
∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=．
故选：B
点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵等差数列{an}中，，
∴，
∴，
故选B．
8.已知数列满足：，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式子变形为结合等差数列的通项公式的求法得到结果.
【详解】数列满足：，,
是以为首项为公差的等差数列，
故答案为：B.
【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.
9.已知在等差数列中，则项数为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的性质和题意可得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn240，代入可得答案．
【详解】由等差数列的性质可得S918，
解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，
而Sn16n＝240，解得n＝15，
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，利用性质整体代入是解决问题的关键，属于基础题．
10.已知是等差数列的前项和，为数列的公差，且，有下列四个命题：①；②；③；④数列中的最大项为，其中正确命题的序号是( )
A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的前项和的性质可得正确的选项．
【详解】由得，，则，，
所以，所以，①正确；
，故②正确；，故③错误；
因为，，故数列中最大项为，故④错误．
综上，选B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
11.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）
A. 220 B. 216 C. 212 D. 208
【答案】B
【解析】
由题意，在函数的图象上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形
的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，，故选B.
12.数列为1,1，2,1，1，2,3,1,1，2,1,1,2,3,4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是，，， ,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，,如此继续，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据数列的构成，结合归纳推理的方法，得到，进而可得出结果.
【详解】由数列的构造方法可知，可得，即，
故.
故选A
【点睛】本题考查数列的综合问题，考查运算求解和推理论证能力，属于常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在数列中，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.
【详解】令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
数列为周期为的周期数列
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.
14.在数列中，，，则是这个数列的第______________项．
【答案】
【解析】
【分析】
在等式两边取倒数，可得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，再令，解出的值即为所求结果.
【详解】在等式两边取倒数得，
所以且，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，，，令，得，
因此，是这个数列的第项，故答案为：.
【点睛】本题考查数列通项的求法，解题的关键就是利用倒数法求解，另外要熟悉等差数列定义的应用，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题.
15.设等差数列的前项和为，，，则取得最小值的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出数列的首项和公差，求出的表达式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等号成立时的值，于此可得出答案。
【详解】设等等差数列的公差为，则，解得，
所以，，
所以，，
等号成立，当且仅当时，等号成立，但，
由双勾函数的单调性可知，当或时，取最小值，
当时，；当时，，
，因此，当时，取最小值，故答案为：。
【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题。
16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．
【答案】361
【解析】
【分析】
将按照奇偶分别计算：当 为偶数时，；当为奇数时，，
计算得到答案.
【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，
当为偶数时，，
当为奇数时，，，，
，，，，
解法二：当时，，
当时，，
【点睛】本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
17.已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1 ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；
（2）由（1）知，，利用错位相减法即可得到数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，所以，解得.
所以.
由及等比中项的性质，得，
又显然必与同号，所以.
所以.又公比为正数，解得.
所以.
（2）由（1）知，，
则 ①.
②.
①-②，得
.
所以.
【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
18.已知，，动点满足.设动点的轨迹为.
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；
（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）动点M的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
（2）；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）由，化简可得：，即轨迹是以为圆心，2为半经的圆；(2)设过点的直线为，利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得的取值范围，从而得出动点与定点连线的斜率的最小值；（3）假设存在以线段为直径的圆经过，联立方程，得，再利用，求出的的值，验证是否成立即可.
【详解】（1），化简可得：，
所以动点M的轨迹方程为.
轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为.
∴，即.
（3）假设存在，联立方程得，得，
即.
设，则，，
由题意知，
∴.
∴，得，且满足，
∴存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时.
【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
19.已知递增的等差数列前项和为，若 ，.
（1）求数列的通项公式.
（2）若，且数列前项和为，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意求出等差数列的首项和公差，进而可得通项公式；（2）由（1）并结合题意可得，然后分为奇数和偶数两种情况可求得数列的前项和为．
【详解】（1）由，且解得，
∴公差，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
∴．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
综上可得．
【点睛】解答本题时注意两点：一是对于等差数列的计算问题，可转化为基本量（首项、公差）的问题来处理；二是在求和时，对于通项中含有或或的情形，在解题时要注意分为是奇数和偶数两种情况求解．
20.已知函数，，数列满足，，.
（1）求证；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求中的最大项.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）将化简后可得要求证的递推关系.
（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.
（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.
【详解】（1）证明： 由，，
，得
又，∴
（2）∵，即，
∴ 是公比为 的等比数列.
又 ，∴.
（3）由（2）知，
因为，所以，
所以，
令 ，则，又因为
且，所以
所以中最大项为.
【点睛】数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.
21.已知数列中，，当时，其前项满足
（1）证明：是等差数列，求的表达式；
（2）设，求的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；根据等差数列通项公式求得，进而得到；（2）由（1）得到，采用裂项相消法求得结果.
【详解】（1）当时，
，即：
，又
数列是以为首项，为公差的等差数列
（2）由（1）知：
【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.
22.正项数列的前项和满足.
（I）求的值；
（II）证明：当，且时，；
（III）若对于任意的正整数，都有成立，求实数的最大值.
【答案】（I）；（II）见解析；（III）的最大值为1
【解析】
【分析】
（I）直接令中的n=1即得的值；（II）由题得时，，化简即得证；（III）用累加法可得：，再利用项和公式求得，再求的范围得解.
【详解】（I）
（II）因为，
所以时，，
化简得：；
（III）因为，
用累加法可得：，
由，得，
当时，上式也成立,因为，
则，所以是单调递减数列，
所以，又因为，所以，即，的最大值为1.
【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.