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- 2021-04-17 发布
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黑龙江省牡丹江市五县市2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法表示A，解出B，通过“交”运算得到答案.
【详解】
集合，，则
【点睛】
本题主要考查集合的运算，属于基础题.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分子分母同时乘以分母共轭复数即得结果.
【详解】
根据题意，得，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，难度不大.
3．已知，，，若，则（ ）
A．-5 B．5 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】
【分析】
通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.
【详解】
由于，故，解得，于是，，
所以.故选A.
【点睛】
本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.
4．角的终边上一点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，注意讨论的正负．
【详解】
的终边上一点，
则，
，
所以.
故应选D.
【点睛】
本题考查三角函数的定义，解题时要注意分类讨论，即按参数的正负分类．
5．已知满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域，通过截距式可求得最大值.
【详解】
作出可行域，求得，，,通过截距式可知在点C取得最大值，于是.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果.
6．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
表示出双曲线的离心率，建立不等式可得2b范围.
【详解】
∵双曲线，
∴a2＝1，可得a＝1，c，
∵双曲线的离心率大于2，
∴2，解之得b，
双曲线的虚轴长：，
故选：B．
【点睛】
本题给出双曲线方程，在已知离心率的情况下求双曲线的虚轴长，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
7．在等差数列中，，，则的前10项和为（ ）
A．-80 B．-85 C．-88 D．-90
【答案】A
【解析】
【分析】
用待定系数法可求出通项，于是可求得前10项和.
【详解】
设的公差为，则，，所以，，前10项和为.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，求和公式，比较基础.
8．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.
【详解】
由得，故或，由，故或，故使的概率为.
【点睛】
本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）
A．-4 B．-7 C．-22 D．-32
【答案】A
【解析】
【分析】
模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i＝6时不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S的值．
【详解】
解：由题意，模拟执行程序，可得
i＝2，
满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+4，i＝3
满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+4﹣9，i＝4
满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S＝S+4﹣9+16，i＝5
满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S＝S+4﹣9+16﹣25，i＝6
不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25＝﹣18，
故解得：S＝﹣4．
故选：A．
点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S的表达式是解题的关键，属于基础题．
10．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积.
【详解】
由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为
【点睛】
本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力.
11．已知函数的图象如图所示，则函数的对称中心坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：由图象可知又，又，.
，又，所以，由，得，则的对称中心坐标为.
考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像的性质.
【方法点睛】
根据，的图象求解析式的步骤：
1．首先确定振幅和周期，从而得到与；2．求的值时最好选用最值点求，峰点：，； 谷点：，，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与轴的交点)：，；降零点(图象下降时与轴的交点)：，．
12．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，点是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
通过作DH垂直BC，可知为直线与底面所成角，于是可求得答案.
【详解】
如图，过D作DH垂直BC于点H，连接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故为直线与底面所成角，而，,故，
故选C.
【点睛】
本题主要考查线面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度一般.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
【答案】4860
【解析】
【分析】
通过二项式定理通项公式即可得到答案.
【详解】
解：在的展开式中，通项公式为Tr+1•（﹣2）r•36﹣r•x6﹣2r，
令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得 x2的系数为•4•34＝4860，
故答案为：4860．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14．已知等比数列是递减数列，是的前项和，若是方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可知，于是可知，从而利用求和公式得到答案.
【详解】
∵是方程的两根，且，∴，，则公比，因此.
【点睛】
本题主要考查等比数列的基本量的相关计算，难度很小.
15．直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点，若，则整数__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离可求出d，再利用勾股定理求得答案.
【详解】
解：可得直线直线ax﹣ay﹣1＝0的斜率为1．
圆心（2，0）到直线距离，
∵|CD|＝1，∴|AB||CD|，
∴，整数a＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大.
16．已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.
【详解】
当时，，
可理解为函数与直线的交点问题（如图）
令，有，设切点的坐标为，
则过点的切线方程为，
将点坐标代入可得：，
整理为：，
解得：或，得或，
故，而，两点之间的斜率为，
故.
【点睛】
本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力，
分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，是中点，求的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）通过正弦定理和余弦定理即可得到答案；
（2）在中使用余弦定理即可得到的长.
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理得：
由余弦定理得：
又，所以
（2）由，，，得：
所以
在中，，所以
【点睛】
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，意在考查学生的转化能力，
分析能力及计算能力，难度不大.
18．甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球.
(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;
(2)现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为,求的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由独立事件的概率公式即可得到答案；
（2）的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算概率，于是得到分布列和数学期望.
【详解】
（1）由题意，抽到红球是偶数的概率为，抽到黑球是偶数的概率为
因为两次抽取是相互独立事件，
所以由独立事件的概率公式，得抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为
（2）由题意，的所有可能取值为0,1,2,3
故的分布列为
0
1
2
3
故的数学期望为
【点睛】
本题主要考查相互独立事件的概率计算，分布列以及数学期望，意在考查学生的分析能力，转化能力及计算能力.
19．如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）要证平面，可证平面即可，通过勾股定理可证明
，再利用线面垂直可证，于是得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积公式即得答案.
【详解】
（1）证明：在梯形中，∵，设
又∵，∴
∴
∴，则
∵平面，平面
∴，而
∴平面
∵，∴平面
（2）分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系
设
则，，，，
∴，，
设为平面的一个法向量，
由，得，取，则
∵是平面的一个法向量，
∴
∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查线面垂直证明，二面角的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.
20．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上不同的三点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接用待定系数法可得方程；
（2）设三点坐标分别为，，，设出直线方程，联立椭圆，求证为常数即可.
【详解】
（1）由题意椭圆的焦距为2，且过点，
所以，，
解得，，
所以椭圆的标准方程为
（2）设三点坐标分别为，，，
设直线斜率分别为，则直线方程为
由方程组消去，
得
由根与系数关系可得：
故
同理可得：
又
故
则
从而
即两点的横坐标之和为常数
【点睛】
本题主要考查椭圆的相关计算，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度较大.
21．已知函数（是自然对数的底数）.
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若关于的不等式恒成立，求的最大值.
【答案】（1）最大值为-1，最小值为（2）1
【解析】
【分析】
（1）先求出导函数，代入即可求得，于是可知函数在区间上的单调性，于是得到最值；
（2）不等式可化为，分和两种情况讨论即得答案.
【详解】
（1）由，有，得，故
则，令，得，故函数的增区间为，减区间为
由，，，
，
得：
故函数在区间上的最大值为-1，最小值为
（2）不等式可化为
令，则
①当时，，函数在区间上单调递减，由，则当时，，此时不可能恒成立，不符合题意；
②当时，函数的增区间为，减区间为，故有
得，故
令，则
∴时，，时，
∴在上是增函数，在上是减函数，
∴
∴当时，取最大值1
【点睛】
本题主要考查利用导函数求原函数的最值，利用导函数研究含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，转化能力，计算能力，分类讨论能力，难度较大.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与直线平行，且过坐标原点，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和圆的极坐标方程；
（2）设直线和圆相交于点、两点，求的周长．
【答案】（1）直线的极坐标方程为。圆C的极方程为;（2）.
【解析】
【分析】
（1）先将直线和圆的参数方程化为普通方程，进而可得其极坐标方程；
（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，可求出关于的方程，由，即可求出结果.
【详解】
（I）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的斜率为1，因为直线与直线平行，且过坐标原点，所以直线的直角坐标方程为，所以直线的极坐标方程为
因为圆C的参数方程为（为参数），
所以圆C的普通方程为，
即，
所以圆C的极方程为
（Ⅱ）把直线m的极坐标方程代入中得，
，
所以
所以△ABC的周长为
【点睛】
本题主要考查参数方程与极坐标方程，属于基础题型.
23．已知定义在上的函数.
（1）若的最大值为3，求实数的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）-1或3（2）
【解析】
【分析】
（1）由绝对值不等式得,于是令可得答案；
（2）先计算，再分和两种情况可得到答案.
【详解】
（1）由绝对值不等式得
令，得或
解得或
解得不存在，
故实数的值为-1或3
（2）
由于，则，当时，
由得，当时，
由得，此种情况不存在，
综上可得：的取值范围为
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力，对学生的分类讨论的能力要求较高，难度较大.