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- 2021-04-17 发布
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1．如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有( )．
A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
解析 折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.
答案 A
2．方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是( )．
A．R B．∅
C．(－6,6) D．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
解析 (转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝，原方程的实根是曲线y＝x3＋a
与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．[来源:Zxxk.Com]
若交点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，
因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)；
所以结合图象可得：或
⇒a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D.
答案 D
3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是( )
A．a2＋2a＋2b－3＝0
B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2a＋2b＋5＝0
D．a2－2a－2b＋5＝0
解析 即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，
将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.
答案 C
4．设a>2，A＝＋，B＝＋，则A、B的大小关系是( )
A．A>B B．AB2，选A.[来源:学科网ZXXK]
答案 A
5．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )
A．ln2 B．－ln2
C. D.
解析 f′(x)＝ex－ae－x，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f′(0)＝0，故只能是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标是x0，则ex0－e－x0＝，即2(ex0)2－3ex0－2＝0，即(ex0－2)(2ex0＋1)＝0，只能是ex0＝2，解得x0＝ln2.正确选项为A.
答案 A
二．填空题。（本部分共2道填空题）
1．某高中共有学生2
000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务，相关信息如下表：
年级
高一
高二
高三
男生(人数)
a
310
b
女生(人数)
c
d
200
抽样人数
x
15[来源:学+科+网Z+X+X+K]
10
则x＝________.
解析 可得b＝200，设在全校抽取n名学生参加社区服务，则有＝.[来源:Zxxk.Com]
∴n＝50.∴x＝50－15－10＝25.
答案 25
2．函数f(x)＝x2－2ln x的最小值为________．
解析 由f′(x)＝2x－＝0，得x2＝1.又x＞0，所以x＝1.因为0＜x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1.
答案 1
三．解答题。（本部分共1道解答题）
已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，
b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解析 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a
－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.