- 827.50 KB
- 2021-04-17 发布
2017-2018学年度第一学期期中考试
高二数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，使得”的否定是（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，都有 D．，都有
2.已知函数，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3.若焦点在轴的椭圆的离心率为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
4.命题“若，则”的逆否命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．或
6.已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.已知函数，则该函数的导函数等于（ ）
A． B．
C． D．
9.已知命题：对任意，；命题：存在实数，使函数（）有零点，则下列命题为真命题的是（ ）
A．且 B．或 C．且 D．且
10.若圆：经过双曲线的一个焦点，则圆心到该双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
11.若三次函数的导函数的图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
12已知点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点，的中点在轴上，则等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知双曲线的方程为，则渐近线方程为 ．
14.某物体作直线运动，其位移与时间的运动规律为（的单位为秒，的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为 米/秒．
15.已知抛物线的焦点在轴正半轴上且顶点在原点，若抛物线上一点（）到焦点的距离是，则抛物线的方程为 ．
16.给出下列命题：①，且，；②，使得；③若，，则；④当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知：方程表示双曲线；：过点的直线与椭圆恒有公共点，若为真命题，求实数的取值范围．
18.设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）设，证明：函数图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
19.已知直线：和抛物线．
（1）若直线与抛物线有两个不同的公共点，求的取值范围；
（2）当时，直线与抛物线相交于、两点，求的长．
20.设：实数满足；：实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
21.已知函数．
（1）证明：函数在区间上是减函数；
（2）当时，证明：函数只有一个零点．
22.设，是椭圆上的两点，若，且椭圆的离心率为，短轴长为2，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值．
2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷（文科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.②③④
三、解答题
17.解：若为真命题，得，∴．
若为真命题，得∴，
又为真命题，则，
所以的取值范围是．
18.解：（1）方程可化为．
当时，，
又，
于是解得
故．
（2）由题意知，．
设为函数图象上的任一点，
则过点的切线方程为，
令，则；令，则，
所以过点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为，
故函数图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6．
19.解：（1）由得，
，且，
解得且．
（2）时，设，，由（1）得，
，，所以，
所以．
20.解：（1）由，得，
当时，，即为真时，实数的取值范围是，
由，得，即为真时，实数的取值范围是，
若为真，则真且真，
所以实数的取值范围是．
（2）由，得，
是的充分不必要条件，即，且，
设，，则，
又，，
则，且，
所以实数的取值范围是．
21．证明：（1）显然函数的定义域为．
∴.
∵，，∴，，∴，
所以函数在上是减函数.
（2）当时，，其定义域是，
∴．
令，即，解得或.
∵，∴舍去.
当时，；当时，．
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴当时，函数取得最大值，其值为，
当时，，即，
∴函数只有一个零点．
22.解：（1）∵，∴．
又，
∴，，椭圆的方程为.
（2）由题意，设的方程为，由整理得，
∴，，
，
即，解得．