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- 2021-04-17 发布
碑林区教育局2019-2020学年度第一学期教育质量监测
高一数学试题
（时间：120分钟满分120分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，则为（ ）
A. {0，4} B. {2，3，4} C. {0，2，4} D. {0，2，3，4}
【答案】A
【解析】
由题意可得：，则为{0，4}.
本题选择A选项.
2.设，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数特点，将代入对应的表达式即可
【详解】当时，，即
故选D
【点睛】本题考查分段函数中函数值的求法，属于基础题
3.连续函数在上单调，且，则方程在内（ ）
A. 有无数个实根 B. 必有唯一的实根 C. 必没有实根 D. 可能没有实根
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理，说明在区间至多存在一个零点，再结合单调性即可判断
【详解】，函数在至少有一个零点，又连续函数在上单调，故函数在上有且只有一个零点，即必有唯一的实根
故选B
【点睛】本题考查零点存在定理的判断与使用，要确定在固定区间的零点唯一性，需在零点存在的基础之上，确保函数单调，属于基础题
4.已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
将点代入幂函数解析式，求出，再将代入即可求解
【详解】设，将代入得，则，再将代入得
故选A
【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，具体函数值的求法，属于基础题
5.设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表所示（从上到下），则与相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据映射的定义先查表求得的值，再结合每个选项和表格对应关系判断即可
【详解】结合表格可知：，
对A，；
对B，；
对C，；
对D，，
故选D
【点睛】本题考查映射对应关系，表格的分析能力，属于基础题
6.已知，，，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可将三个数结合指数函数与对数函数特征辨析，判断三个数与0,1的大小关系，即可求解
【详解】由图像可知，；由指数函数的特点可知，，，故
故选B
【点睛】本题考查由指数函数和对数函数的特点比较大小关系，属于基础题
7.已知函数在区间上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数对称轴，再由单调区间确定对称轴和1的关系建立不等式求解即可
【详解】的对称轴为：，由在区间上单调递增可得，解得，
故选A
【点睛】本题考查由二次函数的单调区间和对称轴关系求解参数值，属于基础题
8.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
【此处有视频，请去附件查看】
9.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可先求出表达式，再根据复合函数同增异减的性质，求解单调减区间即可
【详解】函数与互为反函数，，
则，根据同增异减的性质，可设，，可知外层函数为增函数，则内层函数应在定义域内取对应的减区间，即或，应取
故选D
【点睛】本题考查由反函数性质求解析式，复合函数同增异减的性质，属于中档题
10.已知函数图像关于点中心对称，若函数与图像的交点为,，…，，则（ ）
A. 0 B. m C. 2m D. 3m
【答案】B
【解析】
【分析】
可先将化简，得函数对称中心也，再根据对称性求和即可
【详解】由，函数对称中心也为，故函数与图像的交点总是成对出现，设每一对对称点为，，，共有对点，则有，
，
故
故答案为B
【点睛】本题考查抽象函数的对称性，由题意找出对称中心同为是解题关键，为防止出错，还可借鉴草图加以理解，属于中档题
11.设函数，则的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分段函数用解析式分段讨论，最后合在一起就是值域.
【详解】等价于即或，此时
此时的取值范围是.
而 等价于即，此时
此时的取值范围是.
所以的值域是，故选D.
【点睛】此题考查了分段函数的性质，属于中档题.
12.已知函数，若，且，则abcd的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可先画出函数图像，结合可确定函数图像与（为常数）有四个交点，分步求解取值，结合对数函数和二次函数即可求解
【详解】
如图，由，即，
又关于对称，则可设，则，，
则
故选B
【点睛】本题考查分段函数图像的画法，对数的运算性质，二次函数的对称性，数形结合的思想，函数与方程的转化思想，属于难题
二、填空题：把答案填在题中的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域为____.
【答案】
【解析】
由题意得，解得定义域为．
14.若在上是增函数，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合增函数定义，需满足每段分段函数都为增函数，结合临界点处的不等关系，即可求解
【详解】由题可知，函数为增函数，则有，解得
故答案为
【点睛】本题考查由函数增减性求参数范围，易错点为忽略临界点处不等关系的建立，属于中档题
15.若定义域为的奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
可由题意画出拟合图像（不唯一），再由图像判断的区间即可
【详解】由题可知，函数为奇函数，在上是增函数，且，可画出拟合图像（不唯一），如图：
则对应的区间为：
故答案为
【点睛】本题考查由函数的奇偶性和增减性解不等式，数形结合的思想，属于中档题
16.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
【详解】根据题意，由于函数，对任意，
恒成立，，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为， 即可知满足即可成立故答案为．
【此处有视频，请去附件查看】
三、解答题：解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共52分）
17.化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）-45（2）0
【解析】
【分析】
（1）由指数运算性质，分数指数幂进行化简求值即可；
（2）结合对数运算性质和对数恒等式进行化简求值即可
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查指数与对数的运算性质，熟练运用分数指数幂，对数化简式、对数恒等式是基本要求，属于中档题
18.已知集合，，．
（1）求，；
（2）若集合，求实数a的取值范围；
（3）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）根据交集和并集运算求解即可；
（2）根据空集定义建立不等关系，即可求解；
（3）由可分为和两种情况求解；
【详解】（1），；
（2）若，则，即；
（3）若，则当时，由（2）可知；当时则满足，即
综上所述，
【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由包含关系求参数，属于基础题
19.设函数．
（1）用单调性定义证明函数在上单调递减；
（2）解不等式．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）结合定义证明即可；
（2）可将转化为，再结合单调性即可求解；
【详解】（1）设，则
，，，
即，故函数在为减函数；
（2），又函数为减函数，，解得
【点睛】本题考查函数增减性的证明，由函数的增减性解不等式，属于中档题
20.已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并进行证明；
（3）若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（2）奇函数；证明见详解（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据对数定义即可求解；
（2）先求，再判断与的关系；
（3）先判断函数增减性，再求解在的最大值，即不等式满足，将不等式转化为关于的一次函数，结合具体定义域即可求解
【详解】（1）函数的定义域满足，解得；
（2）函数为奇函数，证明如下：函数定义域关于原点对称，
，，函数为奇函数；
（3），设，
则，
，，，
同理可证 ，则，即函数在为增函数，
故当时，，
则，即当时恒成立，即解得或
【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，函数奇偶性的证明，双变量问题不等式的求解，解答双变量问题，一般需先求解一个变量对应函数的最值，再根据恒成立进行转化，属于难题
21.已知函数．
（1）用分段函数形式表示函数的解析式，并画出在上的大致图像；
（2）若关于x的方程恰有一个实数解，求出实数m的取值范围组成的集合；
（3）当时，求函数的值域．
【答案】（1），图像见详解；（2）或；（3
）答案不唯一，见详解
【解析】
【分析】
（1）根据去绝对值的方式求解分段函数即可；
（2）可采取数形结合，令，结合图像即可求解；
（3）当时，结合函数图形可知，应对函数定义域进行分类讨论，进一步求解值域即可
【详解】（1），函数图像如图所示：
（2），要使方程恰有一个实数解，即与图像有且仅有一个交点，如图：求得
需满足或
（3）因为，对进行分类讨论；
当时，，，值域为；
当时，，，值域为；
现需对临界点进行确定，当，即时，，令，解得
当时，，，
值域为；
当时，，，
值域为；
当时，，，
值域为；
【点睛】本题考查分数段函数解析式的求法，图像的画法，二次含参不等式值域的求法，涉及参数问题求值域时，分类讨论是解题的关键，属于难题