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- 2021-04-17 发布
2. 天体和卫星的运行
一、基础知识回顾
1．卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
(1)由G＝m，得v＝ ，则r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r，得ω＝ ，则r越大，ω越小．
(3)由G＝mr，得T＝2π ，则r越大，T越大．
2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G＝m.
3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．
二、知识规律
(1)一条黄金代换：GM＝gR2.
(2)两条基本思路．
①天体附近：G＝mg.
②环绕卫星：G＝m＝mrω2＝mr()2.
(3)两类卫星．
①近地卫星：G＝mg＝m.
②同步卫星：G＝m(R＋h)()2(T＝24 h)．
(4)双星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2
r1＋r2＝L
[例1] (多选)卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则( )
A．卫星A、B的运行周期的比值为＝
B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝
C．卫星A、B的运行加速度的比值为＝
D．卫星A、B至少经过时间t＝，两者再次相距最近
解析 由地球对卫星的引力提供向心力G＝mr知T＝2π∝，而rA＝4rB，所以卫星A、B的运行周期的比值为＝，A项错误；同理，由G＝m得v＝∝，所以卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝，B项正确；由G＝ma得a＝∝，所以卫星A、B的运行加速度的比值为＝，C项错误；由T＝2π及地球表面引力等于重力大小G＝mg知T＝2π，由于B为近地卫星，所以TB＝2π，当卫星A、B再次相距最近时，卫星B比卫星A多运行了一周，即t
＝2π，联立可得t＝，D项正确．
答案 BD
考向2 宇宙速度
[例2] 一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比( )
A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的2倍
C．星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍
D．星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍
解析 忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式＝mg，该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，所以同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍，故A、B错误；第一宇宙速度是近星的环绕速度，根据万有引力提供向心力，列出等式，有＝，解得v＝，该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，所以星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍，故C错误、D正确．
答案 D
解答卫星问题的三个关键点
1．若卫星做圆周运动：根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma分析，可得：v＝∝、ω＝∝、T＝ ∝、a＝∝，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．
2．若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解．可根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期．
3．注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM＝gR2的灵活应用．
三、针对训练
1．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
解析：选B.万有引力提供向心力，对同步卫星有：
＝mr，整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地
三颗同步卫星A、B、C如图所示分布
则有＝
解得T′≈＝4 h．选项B正确．
2． 2016年11月22日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号丙运载火箭成功将天链一号04星送入太空，天链一号04星是我国的第四颗地球同步卫星数据中继卫星．设地球的质量为M，自转角速度为ω，引力常量为G，则( )
A．天链一号04星的轨道只能是椭圆，不可能是圆
B．月球绕地球运动的角速度比天链一号04星绕地球运行的角速度大
C．天链一号04星的角速度为ω，线速度为
D．相同质量的同步卫星比近地卫星机械能小
解析：选C.A.天链一号04星的轨道只能是圆，不可能是椭圆，否则不可能与地球自转同步，故选项A错误；B.因同步卫星的周期为24小时，月球绕地球运行的周期为27天，由公式ω＝
可知，天链一号04星绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大，故选项B错误；C.根据万有引力提供向心力有G＝mω2r，解得天链一号04星的轨道半径r＝，则线速度v＝ωr＝·ω＝，故选项C正确；D.要将卫星发射到较高的轨道，发射时需要更多的能量，故卫星的高度越大，机械能就越大，即相同质量的同步卫星的机械能大，故选项D错误．
3．(多选)2017年4月12日19时04分，我国实践十三号卫星在西昌卫星发射中心由长征三号乙运载火箭成功发射．这是我国首颗高通量通信卫星，通信总容量达20 Gbps，超过我国已发射的通信卫星容量总和．假设这颗卫星运行在同步轨道(卫星的轨道半径是地球半径的n倍)上，由此可知( )
A．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的
B．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的
C．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的
D．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的
解析：选AD.卫星运行在轨道半径是地球半径n倍的圆形轨道上，所受万有引力F＝G，F＝ma，在地球表面，m0g＝G，联立解得＝，选项A正确、B错误；由G＝m，GM＝gR2，解得v＝，第一宇宙速度v1＝，＝，选项C错误、D正确．