2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷） 35页

2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分. 1．（4 分）﹣2019 的相反数是（　　） A． B．2019 C．﹣2019 D．﹣ 2．（4 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 3．（4 分）计算： ﹣ ＝（　　） A． B．2 C．3 D．4 4．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是 中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4 分）x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 2a+4b＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6 6．（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（　　） A．110° B．120° C．135° D．140° 7．（4 分）化简： ﹣ ＝（　　） A．a﹣1 B．a+1 C． D． 8．（4 分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则 ＝（　　） A．2 B． C．3 D． 9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六 只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？ 设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将四边形 ABCD 先向下平移，再向右平移得 到四边形 A1B1C1D1，已知 A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则 B1 的坐标为（　　 ） A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1） 11．（4 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，则下列结论正 确的是（　　） A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 12．（4 分）如图，边长为 的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC 于点 M，则 OM＝（　　 ） A． B． C． ﹣1 D． ﹣1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 13．（4 分）因式分解：a3+2a2+a＝　 　． 14．（4 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝　 　°． 15．（4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y＝ （k＞0）的图象上，S 矩形 OABC ＝6，则 k＝　 　． 16．（4 分）如图，矩形 ABCD，∠BAC＝60°，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别 交 AB，AC 于点 M，N 两点，再分别以点 M，N 为圆心，以大于 MN 的长作半径作弧交 于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE＝1，则矩形 ABCD 的面积等于　 　． 三、解答题：本大题共 12 小题，共 86 分. 17．（5 分）计算：|﹣2|﹣（ +1）0+（﹣2）2﹣tan45°． 18．（5 分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）． 19．（5 分）解不等式组： ． 20．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF． 21．（6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣ 国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选 手须在每个环节中各选一道题目． 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A1，A2，A3，A4 表示） ； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 B1，B2，B3 表示）． （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果； （2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率 ． 22．（7 分）如图，AC＝8，分别以 A、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交 于点 B 和 D．依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O． （1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由； （2）求 BD 的长． 23．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过等边 三角形 BOC 的顶点 B，OC＝2，点 A 在反比例函数图象 上，连接 AC，OA． （1）求反比例函数 y＝ （k≠0）的表达式； （2）若四边形 ACBO 的面积是 3 ，求点 A 的坐标． 24．（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级 1 班和 2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析． 小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一 分数段 班级 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 八年级 1 班 7 5 10 3 分析数据： 表二 统计量 班级 平均数 中位数[来源:Z,xx,k.Com] 众数 极差 方差 八年级 1 班 78 　 　 85 36 105.28 小丽用同样的方法对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下： 表三 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级 2 班 75 76 73 44 146.80 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知八年级 1 班学生的成绩在 80≤x＜90 这一组的数据如下： 85，87，88，80，82，85，83 ，85，87，85 根据上述数据，将表二补充完整； （2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由． 25．（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了 探究，过程如下： 问题提出： 如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热 的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 方案设计： 如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 AC 的遮阳蓬 CD． 数据收集： 通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 DA 与遮阳蓬 CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳 光线 DB 与遮阳蓬 CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度 AB＝2m． 问题解决： 根据上述方案及数据，求遮阳蓬 CD 的长． （结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59， sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49） 26．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm ，点 D 为 BC 的中点，BE＝DE ，将∠BDE 绕点 D 顺时针旋转 α 度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线 AB 于 M、N 两点，设 B、M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距离为 ycm． 小涛根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整． （1）列表：下表的已知数据是 B，M 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，分别得到 了 y 与 x 的几组对应值： x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/m 　 　2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 　 　3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87 请你通过计算，补全表格； （2）描点、连线，在平面直角坐标系 xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y） ，并画出函数 y 关于 x 的图象． （3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：　 　． （4）解决问题：当 MN＝2BM 时，BM 的长度大约是　 　cm ．（保留两位小数）． 27．（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在 Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到 AC＝DE，BC＝AE． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下： 【模型应用】 如图，在 Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一 定的角度得到 AD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接 DO 交⊙O 于点 F． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB．求证：FG2＝GO•GB． 28．（12 分）二次函数 y＝ax2+bx+2 的图象交 x 轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MN⊥x 轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数 y＝ax2+bx+2 的表达式； （2）连接 BD，当 t＝ 时，求△DNB 的面积； （3）在直线 MN 上存在一点 P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此 时点 D 的坐标； （4）当 t＝ 时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点 Q 的坐标． 2019 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分. 1．（4 分）﹣2019 的相反数是（　　） A． B．2019 C．﹣2019 D．﹣ 【考点】14：相反数．菁优网版权所有 【分析】根据相反数的概念求解可得． 【解答】解：﹣2019 的相反数为 2019， 故选：B． 【点评】本题主要考查相反数，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个 数叫做互为相反数． 2．（4 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠1＝80°，则∠2＝（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有 【分析】先利用对顶角相等得到∠3＝80°，然后根据平行线的性质，利用∠1+∠2＝180 °可计算出∠2 的度数． 【解答】解：如图，∵∠1＝80°， ∴∠3＝80°， ∵a∥b， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣80°＝100°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角 互补；两直线平行，内错角相等． 3．（4 分）计算： ﹣ ＝（　　） A． B．2 C．3 D．4 【考点】78：二次根式的加减法．菁优网版权所有 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【解答】解： ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二 次根式加减运算顺序． 4．（4 分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是 中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴 对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案． 【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形， 不是中心对称图形，故此选项错误； B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图 形，故此选项错误． C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转 180°能与原 图形重合，是中心对称图形，故此选项正确； D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转 180°不能与原图形重合，∴此图形是 轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问 题的关键． 5．（4 分）x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 2a+4b＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6 【考点】A3：一元二次方程的解．菁优网版权所有 【分析】先把 x＝1 代入方程 x2+ax+2b＝0 得 a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算 2a+4b 的值． 【解答】解：把 x＝1 代入方程 x2+ax+2b＝0 得 1+a+2b＝0， 所以 a+2b＝﹣1， 所以 2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解． 6．（4 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（　　） A．110° B．120° C．135° D．140° 【考点】M6：圆内接四边形的性质．菁优网版权所有 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数． 【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠C+∠A＝180°， ∴∠C＝180°﹣40°＝140°．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 故选：D． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的 任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 7．（4 分）化简： ﹣ ＝（　　） A．a﹣1 B．a+1 C． D． 【考点】6B：分式的加减法．菁优网版权所有 【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝a﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则． 8．（4 分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则 ＝（　　） A．2 B． C．3 D． 【考点】S7：相似三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对 应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． 9．（4 分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六 只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？ 设一只雀的重量为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有 【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列 出相应的方程组． 10．（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将四边形 ABCD 先向下平移，再向右平移得 到四边形 A1B1C1D1，已知 A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则 B1 的坐标为（　　 ） A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1） 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有 【分析】根据 A 和 A1 的坐标得出四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再向右平移 6 个单 位得到四边形 A1B1C1D1，则 B 的平移方法与 A 点相同，即可得到答案． 【解答】解：由 A（﹣3，5），A1（3，3）可知四边形 ABCD 先向下平移 2 个单位，再 向右平移 6 个单位得到四边形 A1B1C1D1， ∵B（﹣4，3）， ∴B1 的坐标为（2，1）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移， 纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减． 11．（4 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，则下列结论正 确的是（　　） A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】分别计算自变量为 1 和 2 对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【解答】解：当 x＝1 时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2； 当 x＝2 时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7； 所以 2＞y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其 解析式． 12．（4 分）如图，边长为 的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC 于点 M，则 OM＝（　　 ） A． B． C． ﹣1 D． ﹣1 【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 【分析】根据正方形的性质得到 AB＝AD＝BC＝CD＝ ，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝ 90°，OD＝OC，求得 BD＝ AB＝2，得到 OD＝BO＝OC＝1，根据折叠的性质得到 DE ＝DC＝ ，DF⊥CE，求得 OE＝ ﹣1，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝ ，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC， ∴BD＝ AB＝2， ∴OD＝BO＝OC＝1， ∵将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处， ∴DE＝DC＝ ，DF⊥CE， ∴OE＝ ﹣1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°， ∴∠ODM＝∠ECO， 在△OEC 与△OMD 中， ， △OEC≌△OMD（ASA）， ∴OM＝OE＝ ﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质， 正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 13．（4 分）因式分解：a3+2a2+a＝　a（a+1）2　． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 【分析】先提取公因式 a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式 ：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【解答】解：a3+2a2+a， ＝a（a2+2a+1），…（提取公因式） ＝a（a+1）2．…（完全平方公式） 故答案为：a（a+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方 公式进行二次分解因式． 14．（4 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝　70　°． 【考点】KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B 的度数． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70°． 故答案为 70． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底 角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 15．（4 分）如图，矩形 OABC 的顶点 B 在反比例函数 y＝ （k＞0）的图象上，S 矩形 OABC ＝6，则 k＝　6　． 【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数 图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】因为过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积 S 是个定值，即 S＝ |k|． 【解答】解：根据题意，知 S＝|k|＝6，k＝±6， 又因为反比例函数位于第一象限，k＞0， 所以 k＝6， 故答案为 6． 【点评】主要考查了反比例函数 y＝ 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想， 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义． 16．（4 分）如图，矩形 ABCD，∠BAC＝60°，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别 交 AB，AC 于点 M，N 两点，再分别以点 M，N 为圆心，以大于 MN 的长作半径作弧交 于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE＝1，则矩形 ABCD 的面积等于　3 　． 【考点】KM：等边三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠BAD＝90°，求得∠ACB＝30°，由作图知，AE 是∠BAC 的平分线，得到∠BAE＝∠CAE＝30°，根据等腰三角形的性质得到 AE＝CE， 过 E 作 EF⊥AC 于 F，求得 EF＝BE＝1，求得 AC＝2CF＝2 ，解直角三角形得到 AB＝ ，BC＝3，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， 由作图知，AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， 过 E 作 EF⊥AC 于 F， ∴EF＝BE＝1， ∴AC＝2CF＝2 ， ∴AB＝ ，BC＝3， ∴矩形 ABCD 的面积＝AB•BC＝3 ， 故答案为：3 ． 【点评】本题主要考查矩形的性质，作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线 的定义和性质及直角三角形 30°角所对边等于斜边的一半． 三、解答题：本大题共 12 小题，共 86 分. 17．（5 分）计算：|﹣2|﹣（ +1）0+（﹣2）2﹣tan45°． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣1＝4． 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握绝对值性质、零指数幂的规定、 乘方定义和三角函数值． 18．（5 分）化简：a（1﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）． 【考点】4A：单项式乘多项式；4F：平方差公式．菁优网版权所有 【分析】先去括号，再注意到（a+1）（a﹣1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并 同类项即可 【解答】解： 原式＝a﹣2a2+2（a2﹣1） ＝a﹣2a2+2a2﹣2 ＝a﹣2 【点评】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的 关键． 19．（5 分）解不等式组： ． 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解： 解不等式①得：x＜6， 解不等式②得：x＞2， 所以，不等式组的解集为 2＜x＜6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是 解此题的关键． 20．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】要证明 AC∥DF，只要证明∠ACB＝∠DFE 即可，要证明∠ACB＝∠DFE，只 要证明△ABC≌△DEF 即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解 决． 【解答】证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BC＝EF， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴AC∥DF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题 意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答． 21．（6 分）2019 年 5 月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强﹣﹣ 国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选 手须在每个环节中各选一道题目． 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 A1，A2，A3，A4 表示） ； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 B1，B2，B3 表示）． （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果； （2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率 ． 【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）利用画树状图展示所有 12 种等可能的结果数； （2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数； （2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为 2， 所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率＝ ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n ，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的 概率． 22．（7 分）如图，AC＝8，分别以 A、C 为圆心，以长度 5 为半径作弧，两条弧分别相交 于点 B 和 D．依次连接 A、B、C、D，连接 BD 交 AC 于点 O． （1）判断四边形 ABCD 的形状并说明理由； （2）求 BD 的长． 【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L9：菱形的判定．菁优网版权所有 【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形 ABCD 为菱形； （2）根据菱形的性质得 OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出 OB ，从而得到 BD 的长． 【解答】解：（1）四边形 ABCD 为菱形； 由作法得 AB＝AD＝CB＝CD＝5， 所以四边形 ABCD 为菱形； （2）∵四边形 ABCD 为菱形， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD， 在 Rt△AOB 中，OB＝ ＝3， ∴BD＝2OB＝6．[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组 邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了菱形的性质． 23．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝ （k≠0）的图象经过等边 三角形 BOC 的顶点 B，OC＝2，点 A 在反比例函数图象上，连接 AC，OA． （1）求反比例函数 y＝ （k≠0）的表达式； （2）若四边形 ACBO 的面积是 3 ，求点 A 的坐标． 【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数 图象上点的 坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式；KK：等边三角形的性质． 菁优网版权所有 【分析】（1）作 BD⊥OC 于 D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得 OD＝1，BD＝ ，进而求得三角形 BOD 的面积，根据系数 k 的几何意义即可求得 k＝ ，从而求得反比 例函数的表达式； （2）求得三角形 AOC 的面积，即可求得 A 的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点 A 的坐标． 【解答】解：（1）作 BD⊥OC 于 D， ∵△BOC 是等边三角形， ∴OB＝OC＝2，OD＝ OC＝1， ∴BD＝ ＝ ， ∴S△OBD＝ OD×BD＝ ， S△OBD＝ |k|， ∴|k|＝ ， ∵反比例函数 y＝ （k≠0）的图象在一三象限， ∴k＝ ， ∴反比例函数的表达式为 y＝ ； （2）∵S△OBC＝ OC•BD＝ ＝ ， ∴S△AOC＝3 ﹣ ＝2 ， ∵S△AOC＝ OC•yA＝2 ， ∴yA＝2 ， 把 y＝2 代入 y＝ ，求得 x＝ ， ∴点 A 的坐标为（ ，2 ）． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数 k 的几何意义，反 比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解 析式． 24．（7 分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级 1 班和 2 班本门课程的期末成绩进行了调查分析． 小佳对八年级 1 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，过程如下： 收集、整理数据： 表一 分数段 班级 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 八年级 1 班 7 5 10 3 分析数据： 表二 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级 1 班 78 　80　 85 36 105.28 小丽用同样的方法对八年级 2 班全班学生（25 名）的成绩进行分析，数据如下：[来源:学科网 ZXXK] 表三 统计量 班级 平均数 中位数 众数 极差 方差 八年级 2 班 75 76 73 44 146.80 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知八年级 1 班学生的成绩在 80≤x＜90 这一组的数据如下： 85，87，88，80，82，85，83，85，87，85 根据上述数据，将表二补充完整； （2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由． 【考点】V7：频数（率）分布表；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W6： 极差；W7：方差．菁优网版权所有 【分析】（1）根据中位数的定义找出第 13 个数，然后确定 80≤x＜90 这一组中最小的 数即可； （2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级 1 班学生的成绩更为优异． 【解答】解：（1）共有 25 个数据，第 13 个数落在 80≤x＜90 这一组中，此组最小的数 为第 13 个数， 所以八年级 1 班学生的成绩的中位数为 80； 故答案为 80； （2）八年级 1 班学生的成绩更为优异． 理由如下：八年级 1 班学生的成绩的平均数比 2 班高，1 班的中位数比 2 班的中位数大， 并且 1 班的众数为 85，比 2 班的众数大，1 班的方差比 2 班小，比较稳定． 【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平 均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性 越好．也考查了平均数、众数、中位数． 25．（7 分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了 探究，过程如下： 问题提出： 如图 1 是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热 的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 方案设计： 如图 2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 AC 的遮阳蓬 CD． 数据收集： 通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 DA 与遮阳蓬 CD 的夹角∠ADC 最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳 光线 DB 与遮阳蓬 CD 的夹角∠BDC 最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度 AB＝2m． 问题解决： 根据上述方案及数据，求遮阳蓬 CD 的长． （结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59， sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49） 【考点】T8：解直角三角形的应用．菁优网版权所有 【分析】根据正切的定义分别用 CD 表示出 BC、AC，根据题意列式计算即可． 【解答】解：在 Rt△DCB 中，tan∠BDC＝ ， 则 BC＝CD•tan∠BDC≈0.59CD， 在 Rt△DCA 中，tan∠ADC＝ ， 则 AC＝CD•tan∠ADC≈4.49CD， 由题意得，AC﹣BC＝AB，即 4.49CD﹣0.59CD＝2， 解得，CD≈0.5m， 答：遮阳蓬 CD 的长约为 0.5m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 26．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点 D 为 BC 的中点，BE＝DE ，将∠BDE 绕点 D 顺时针旋转 α 度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线 AB 于 M、N 两点，设 B、M 两点间的距离为 xcm，M，N 两点间的距离为 ycm． 小涛根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整． （1）列表：下表的已知数据是 B，M 两点间的距离 x 进行取点、画图、测量，分别得到 了 y 与 x 的几组对应值： x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/m 　 3　 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 　 　 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87 请你通过计算，补全表格； （2）描点、连线，在平面直角坐标系 xOy 中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y） ，并画出函数 y 关于 x 的图象． （3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：　0≤x≤1.65 时，y 随 x 最大而减小， 当 1.65＜x≤4.10 时，y 随 x 最大而增大　． （4）解决问题：当 MN＝2BM 时，BM 的长度大约是　1.33 或 4　cm．（保留两位小数） ． 【考点】E7：动点问题的函数图象．菁优网版权所有 【分析】（1）①当 x＝BM＝0 时，则 y＝MN＝BN＝ ＝3；②MD 2＝HD2+EH2＝ ，则 y＝MN＝MDtanα，即可求解； （2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势 ； （3）MN＝2BM，即 y＝2x，在上图中作直线 y＝2x，即可求解． 【解答】解：（1）①当 x＝BM＝0 时， 连接 AD，则 AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝4， cos∠ABD＝ ＝ ＝cosα，则 sinα＝ ， 则 y＝MN＝BN＝ ＝3； ②x＝BM＝ ， 在△MBD 中，BD＝4，BM＝ ， cos∠B＝ ＝cosα，tanα＝ ， 过点 M 作 MH⊥BD 于点 H， 则 BH＝BMcosα＝ ，则 MH＝ ， MD2＝HD2+EH2＝ ， 则 BD2＝BM2+MD2， 故∠BMD＝90°， 则 y＝MN＝MDtanα＝（DBsinα）tanα＝ ； 故：答案为 3， ； （2）描点出如下图象， （3）从图象可以看出：0≤x≤1.65 时，y 随 x 最大而减小， 当 1.65 ＜x≤4.10 时，y 随 x 最大而增大（数值是估值，不唯一）； （4）方法一： MN＝2BM，即 y＝2x， 在上图中作直线 y＝2x， 直线与曲线交点的横坐标 1.33 和 4 故答案为：1.33 或 4． 方法二： 如图 3，DN 与 CA 的延长线交于点 H． 设 BM＝x，MN＝2x EN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x ∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质） ∠NDB＝∠MDB+∠NDM ∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C ∴△MDB∽△DHC ∴ ＝ ∴ ，CH＝ ，HA＝HC﹣AC＝ ﹣6 又∵△HAN∽△DEN ∴ ＝ ∴ ＝ 3x3﹣16x+16＝0 解得 x1＝4，x2＝ ． 故答案为：1.33 或 4． 【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难 点于，弄懂 x、y 代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据． 27．（10 分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】 如图，在 Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到 AC＝DE，BC＝AE． 我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下： 【模型应用】 如图，在 Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一 定的角度得到 AD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接 DO 交⊙O 于点 F． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）连接 FC 交 AB 于点 G，连接 FB．求证：FG2＝GO•GB． 【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点 O 在 AB 上，AB 为⊙O 直径， 故只需证 AD⊥AB 即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC 可证得∠DAE+∠ BAC＝90°，而 E、A、C 在同一直线上，用 180°减去 90°即为∠BAD＝90°，得证． （2）依题意画出图形，由要证的结论 FG2＝GO•GB 联想到对应边成比例，所以需证△ FGO∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF 为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG 为圆周 角，所对的弧为弧 BC，故连接 OC 后有∠BFG＝ ∠BOC，问题又转化为证∠FOG＝ ∠BOC．把 DO 延长交 BC 于点 H 后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠BOH＝ ∠ BOC．只要 OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH＝ ∠BOC，故问题继续转化 为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到 AE＝BC＝2，AC＝DE ＝1，即能求 AD＝AB＝ ．又因为 O 为 AB 中点，可得到 ，再加上第（1） 题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证． 【解答】证明：（1）∵⊙O 为 Rt△ABC 的外接圆 ∴O 为斜边 AB 中点，AB 为直径 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC+∠BAC＝90° ∵∠DAE＝∠ABC ∴∠DAE+∠BAC＝90° ∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90° ∴AD⊥AB ∴AD 是⊙O 的切线 （2）延长 DO 交 BC 于点 H，连接 OC ∵DE⊥AC 于点 E ∴∠DEA＝90° ∵AB 绕点 A 旋转得到 AD ∴AB＝AD 在△DEA 与△ACB 中 ∴△DEA≌△ACB（AAS） ∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1 ∴AD＝AB＝ ∵O 为 AB 中点 ∴AO＝ AB＝ ∴ ∵∠DAO＝∠AED＝90° ∴△DAO∽△AED ∴∠ADO＝∠EAD ∴DO∥EA ∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即 DH⊥BC ∵OB＝OC ∴OH 平分∠BOC，即∠BOH＝ ∠BOC ∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝ ∠BOC ∴∠FOG＝∠BFG ∵∠FGO＝∠BGF ∴△FGO∽△BGF ∴ ∴FG2＝GO•GB 【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定 和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线 合一，圆周角定理．其中第（2）题证明 DO∥EA 进而得到 DO 垂直 BC 是解题关键． 28．（12 分）二次函数 y＝ax2+bx+2 的图象交 x 轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交 y 轴于点 C．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MN⊥x 轴交直线 BC 于点 N，交抛物线于点 D，连接 AC，设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数 y＝ax2+bx+2 的表达式； （2）连接 BD，当 t＝ 时，求△DNB 的面积； （3）在直线 MN 上存在一点 P，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此 时点 D 的坐标； （4）当 t＝ 时，在直线 MN 上存在一点 Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点 Q 的坐标 ． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入 y＝ax2+bx+2 即可； （2）由已知分别求出 M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据∴△DNB 的面积＝△DMB 的面积﹣△MNB 的面积即可求解； （3）由已知可得 M（2t﹣1，0），设 P（2t﹣1，m），根据勾股定理可得 PC2＝（2t﹣1 ）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，再由 PB＝PC，得到 m 与 t 的关系式：m＝4t﹣5， 因为 PC⊥PB，则有 • ＝﹣1 求出 t＝1 或 t＝2，即可求 D 点坐标； （4）当 t＝ 时，M（ ，0），可知点 Q 在抛物线对称轴 x＝ 上；过点 A 作 AC 的垂 线，以 M 为圆心 AB 为直径构造圆，圆与 x＝ 的交点分别为 Q1 与 Q2，由 AB＝5，可得 圆半径 AM＝ ，即可求 Q 点坐标分别为（ ，﹣ ），（ ， ）． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入 y＝ax2+bx+2， ∴ a＝﹣ ，b＝ ，[来源:学#科#网 Z#X#X#K] ∴y＝﹣ x2+ x+2； （2）C（0，2）， ∴BC 的直线解析式为 y＝﹣ x+2， 当 t＝ 时，AM＝3， ∵AB＝5， ∴MB＝2， ∴M（2，0），N（2，1），D（2，3）， ∴△DNB 的面积＝△DMB 的面积﹣△MNB 的面积＝ MB×DM﹣ MB×MN＝ ×2×2＝2； （3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设 P（2t﹣1，m）， ∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC， ∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5， ∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴ • ＝﹣1 ∴t＝1 或 t＝2， ∴M（1，0）或 M（3，0）， ∴D（1，3）或 D（3，2）； （4）当 t＝ 时，M（ ，0）， ∴点 Q 在抛物线对称轴 x＝ 上， 如图：过点 A 作 AC 的垂线，以 M 为圆心 AB 为直径构造圆，圆与 x＝ 的交点分别为 Q1 与 Q2， ∵AB＝5， ∴AM＝ ， ∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°， ∴∠AQ1C＝∠MAG， 又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG， ∴Q1（ ，﹣ ）， ∵Q1 与 Q2 关于 x 轴对称， ∴Q2（ ， ）， ∴Q 点坐标分别为（ ，﹣ ），（ ， ）； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与 相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标 之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解 题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/8/5 11:12:42；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509