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- 2021-04-17 发布
2019学年度第二学期高二数学期中考试卷
试卷总分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知命题：，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中错误的是（ ）
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．命题“若，则或”为真命题
C．命题，则为
D．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”
6．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝2，则实数a的值为
A．－ B． C．8 D．－8
8
7．已知是椭圆的两个交点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A．16 B．8 C．25 D．32
8．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的焦距与短轴长之比为（ ）
A． B． C．3 D．
9．设F1（－4，0），F2 （4，0）为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
10．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
11．已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则 （ ）
A． B． C． D．
12．直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为______.
14．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是．
15．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则|的最小值为________．
8
16．有下列四个命题
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为_______________.
三、解答题（共70分）
17．（本题满分10分）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
18．（本题满分12分）已知；.
（1）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求m的取值范围.
19．（本题满分12分）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（Ⅰ）焦点在轴上，焦距是，离心率；
（Ⅱ）一个焦点为的等轴双曲线．
20．（本题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上一点使得，求△的面积．
8
21．（本题满分12分）已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；
22．（本题满分12分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线过F2且与双曲线交于A、B两点．
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且|AB|=4，求的斜率．
参考答案
1．C2．A 3．C4．A 5．D 6．A 7．A 8．D 9．D 10．B 11．A 12．C
13．14．或 15．16．①③
17．5
【解析】
由已知可知，抛物线的焦点为，（2分）
所以直线的方程为. （5分）
由 得，即．（7分）
设，则，
所以. （10分）
8
18．（1）；（2）
【解析】
由得，即，（3分）
又.
（1）若p是q的必要条件，
则，即，即，解得，（5分）
即m的取值范围是。（6分）
（2）∵是的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件.（8分）
即，即，解得或 （11分）
即m的取值范围是.（12分）
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）由条件可知，又，
所以，，（4分）
故双曲线的标准方程为．（6分）
（Ⅱ）设所求等轴双曲线：，
则，，(10分)
故双曲线的标准方程为．（12分）
20．．
8
【解析】
由双曲线方程，可知，，，(1分)
由双曲线的定义，得，(3分)
将此式两边平方，得，
∴，(6分)
又∵，∴，(8分)
∴，(10分)
∴．(12分)
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ），,(2分)
，
将点代入，得，,(4分)
所求椭圆方程为． (5分)
（Ⅱ）因为直线与圆相切，
所以，即,(7分)
由，
得(8分)
8
设点、的坐标分别为、，
则，，
所以==，(10分)
所以===0，
故。(12分)
22．（1）．（2）．
【解析】
（1）设．
由题意，，，，(2分)
因为是等边三角形，所以，(4分)
即，解得．(5分)
故双曲线的渐近线方程为．(6分)
（2）由已知，．
设，，直线．(7分)
由，得．(8分)
因为与双曲线交于两点，所以，且．
8
由，，得，
故，(11分)
解得，故的斜率为．(12分)
8