安徽省太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试题 Word版含答案 12页

太和中学2019~2020学年度高二下学期开学考试 数学试题（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．‎ ‎3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．‎ ‎4．本卷命题范围：北师大版必修3（40%），选修1-1第一章~第三章（60%）．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．某工厂10名工人某天生产同一型号零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则这组数据的众数为（ ）‎ A．14.7 B．15 C．16 D．17‎ ‎2．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数为的导函数，则（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C 上三个不同的点，若，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）‎ A． B．8 C．2 D．4‎ ‎7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，若线段的垂直平分线与抛物线C的一个交点为M，且，则（ ）‎ A．2 B．4 C．5 D．8‎ ‎8．若向边长为2的正方形区域内投一粒不计大小的种子（种子落入正方形区域内），则种子到点A的距离小于1的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是（ ）‎ A．11 B．13 C．15 D．17‎ ‎10．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎11．已知是双曲线的左、右焦点，点B是双曲线虚轴上的一个顶点，线段与双曲线交于点P，若点P正好是线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎12．过椭圆右焦点F且斜率为的直线l交椭圆于两点，M为弦的中点，直线与椭圆相交，其中一个交点为C点，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某电子商务公司对10000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如下图，则直方图中实数a的值是_____．‎ ‎14．北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．‎ ‎15．函数在点处的切线方程是_____．‎ ‎16．气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）．‎ 甲地：5个数据的中位数是24，众数为22；‎ 乙地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；‎ 丙地：5个数据一个为32，总体平均数为26，方差为10.8．‎ 则由此判断进入夏季的地区是______．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线正好过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起前五年设备每年每台的平均维护费用如下表：‎ 前x（年）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 维护费y（万元）‎ ‎1.1‎ ‎1.5‎ ‎1.8‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎（1）若维护费y万元）与年份x（年）之间存在线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每年每台的平均维护费用．‎ 注：．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆C交于两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若线段的垂直平分线通过点，证明：．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15~65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．‎ 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 ‎5‎ ‎0.5‎ 第2组 a ‎0.9‎ 第3组 ‎27‎ x 第4组 b ‎0.36‎ 第5组 ‎3‎ y ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组应各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于两点．‎ ‎（1）若，求中点的横坐标．‎ ‎（2）当直线l的斜率为1时，在x轴上是否存在一点Q，使得直线的倾斜角互补？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 太和中学2019~2020学年度高二下学期开学考试·数学试题（文科）‎ 参考答案、提示及评分细则 ‎1．D 据题设分析知，所求的众数为17．故选D．‎ ‎2．A 若，则，反之不成立．‎ ‎3．C 根据题意可得，所以双曲线的渐近线方程为．故选C．‎ ‎4．B ，所以．故选B．‎ ‎5．C ∵，∴，∴，故选C．‎ ‎6．A 由题意，且，∴．故选A．‎ ‎7．B 由题意，可得M点的横坐标为，又，结合抛物线的定义，可得，解得．故选B．‎ ‎8．B 据题设分析知，所求概率．‎ ‎9．D ；；；；；；；，此时，循环结束，输出k的值为17．‎ ‎10．A 由题意设P在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为F，则，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线的准线的距离为，则点P到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和，故选A．‎ ‎11．D 如图，设，过P点作轴，垂足为，作轴，垂足为．分别是的中位线，则点P的横坐标为，纵坐标为，所以，代入双曲线方程得故选D．‎ ‎12．B 设，由题意可得直线l的方程为，即，与椭圆联立化简得，则．∵点M在直线l上，∴，则直线的方程为，与椭圆联立解得．∵‎ ‎，∴．故选B．‎ ‎13．3.0 据题意，得，解得．‎ ‎14． 由题意可知两位同学参加相同社团的概率为．‎ ‎15． ，且，切线方程是，即．‎ ‎16．甲地和丙地对于甲地，因为中位数为24，众数为22，所以这5天的气温最低为22℃，故甲地进入夏季；对于乙地，因为中位数是28，平均数为25，故其余4天的气温和为97℃，且其中有两天的气温不低于28℃，所以另外两天的气温和不会高于，所以这两天的温度不会都不低于22℃，故乙地没进入夏季；对于丙地设余下4天的气温分别为，则有 ‎，‎ ‎，若中有一个低于22℃，又为正整数，则与矛盾，故都不低于22℃，故内地也进入夏季．‎ ‎17.解：设两焦点为，且，．‎ 由椭圆定义知．即． 3分 又，∴垂直于焦点所在的对称轴，‎ ‎∴在中，，可求出， 6分 ‎，‎ ‎∴． 8分 ‎∴所求椭圆的方程为或． 10分（其他方法酌情给分）‎ ‎18．解：（1）， 1分 ‎， 2分 ‎， 3分 ‎， 4分 所以， 6分 ‎， 7分 所以所求回归方程为． 8分 ‎（2）据（1）求解知，‎ 所以当时，（万元）．‎ 即据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每年每台平均维护费用为3.45万元． 12分 ‎19．解：设双曲线方程为． 2分 联立方程组，得消去y，得． 4分 设直线被双曲线截得的弦为，且，那么 6分 那么， 8分 解得， 10分 经检验满足 所以所求双曲线方程是：． 12分 ‎20．（1）解：由已知可得 3分 解得． 5分 故椭圆C的标准方程为． 6分 ‎（2）证明：联立方程消去y得． 8分 当，即时，‎ ‎．‎ 所以． 10分 又，化简整理得． 12分 ‎21．解：（1）第1组人数，所以；‎ 第2组人数，所以；‎ 第3组人数，所以；‎ 第4组人数，所以；‎ 第5组人数，所以． 4分 ‎（2）第2，3，4组回答正确的人的比为，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人， 8分 ‎（3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是，，，，，，，，，，，，，，，‎ 其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是，，，，，，，，，‎ 故所求概率为． 12分 ‎22．解：（1）设，‎ 根据抛物线的定义可知，‎ ‎∴．‎ ‎∴中点的横坐标为4． 4分 ‎（2）假设存在一点，直线l的方程为，‎ ‎∴．‎ ‎∵直线的倾斜角互补，‎ ‎∴， 6分 化简得．‎ ‎∵两点在直线l上 ‎∴， 8分 代入上式可得 直线l方程与抛物线方程联立得 化简得，‎ ‎∴． 10分 代入式可得，‎ 综上，x轴上存在一点，使得直线的倾斜角互补． 12分