高二数学人教a必修5练习：2-1-1数列的概念与简单表示法word版含解析 6页

课时训练 5 数列的概念与简单表示法 一、数列的概念及分类 1.下列叙述正确的是( ) A.数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列 B.数列 0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列 0,1,0,1,…是常数列 D.数列 +1 是递增数列 答案:D 解析:数列中的项是有序的,故 A 错;B 中通项为{n-1};C 中数列为摆动数列,故选 D. 2.数列 5,4,3,m,…是递减数列,则 m 的取值范围是( ) A.(-∞,3) B.(-∞,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 答案:A 解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,所以 m 的取值范围是(-∞,3). 3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 ( ) A.1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.sin π 7 ,sin 2π 7 ,sin 3π 7 ,… C.-1,- 1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.1, 2, 3 ,…, 21答案:C 4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,7,…; (2)10,8,6,4,…; (3)1,0,1,0,1,0,…; (4)a,a,a,a,…. 解:(1)递增数列,因为从第 2 项起,每一项都大于它的前一项; (2)递减数列,因为从第 2 项起,每一项都小于它的前一项; (3)摆动数列,因为从第 2 项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项; (4)常数列. 二、数列的通项公式及应用 5.(2015 河南南阳高二期中,1)已知数列 5, 11, 17, 23, 29 ,…,则 5 5 是它的第( )项. A.19 B.20 C.21 D.22 答案:C 解析:数列 5, 11, 17, 23, 29 ,…中的各项可变形为 5, 5 + 6, 5 + 2 × 6, 5 + 3 × 6, 5 + 4 × 6 ,…, ∴通项公式为 an= 5 + 6 ( - 1 ) 6 - 1 ,令 6 - 1 =5 5 ,得 n=21.故选 C. 6.把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图). 则第 7 个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 答案:B 解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以 此规律得 a6-a5=6,∴a7-a6=7. ∴a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28. 7.数列{an}的通项公式 an= 1 + +1 ,则 10 -3 是此数列的第 项. 答案:9 解析:an= 1 + +1 + 1 , 令 n=9,则 a9= 10 9 10 -3. ∴ 10 -3 是数列中第 9 项. 8.已知数列的通项公式为 an=2n2-n. (1)求这个数列的第 8 项,第 10 项; (2)试问:45 是否是{an}中的项?3 是否是{an}中的项? 解:(1)∵an=2n2-n, ∴当 n=8 时,a8=2×82-8=120; 当 n=10 时,a10=2×102-10=190. (2)an=2n2-n,令 an=45,则有 2n2-n-45=0, 解得 n=5 或 n=- 9 2 (舍去), ∴45 是该数列的第 5 项. 令 an=3,则有 2n2-n-3=0. 该方程不存在正整数解,故 3 不是该数列中的项. 9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数. (1)a,b,a,b,…; (2) 22 - 1 2 , 32 - 1 3 , 42 - 1 4 , 52 - 1 5 ,…; (3)- 1 1×2 , 1 2×3 ,- 1 3×4 , 1 4×5 ,…; (4) 1 2 ,2, 9 2 ,8, 25 2 ,…. 解:(1)数列的奇数项为 a,偶数项为 b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为 an= , 为奇数, , 为偶数, 也可记 为 an= + 2 +(-1)n+1· - 2 . (2)这个数列的前 4 项分别为 22 - 1 2 , 32 - 1 3 , 42 - 1 4 , 52 - 1 5 ,其分母都是序号 n 加上 1,分子都是分母的平方 减去 1,故 an=( +1 ) 2 - 1 +1 . (3)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故 an= (- 1 ) ( +1 ). (4)该数列的项中有的是分数,有的是整数,将各项都统一成分数为 1 2 , 4 2 , 9 2 , 16 2 , 25 2 ,…,观察可知各项 分母都是 2,分子都是序号的平方,所以 an= 2 2 . (建议用时:30 分钟) 1.数列 2, 5 ,2 2, 11 ,…,则 2 5 是该数列的( ) A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 10 项 D.第 11 项 答案:B 解析:由 an= 3 - 1 =2 5 ,解得 n=7. 2.数列 0, 1 3 , 1 2 , 3 5 , 2 3 ,…的通项公式为( ) A.an= - 2 B.an= - 1 C.an= - 1 +1 D.an= - 2 +2答案:C 解析:原数列可变形为 0 2 , 1 3 , 2 4 , 3 5 , 4 6 ,…, ∴an= - 1 +1 . 3.已知数列的通项公式 an= 3 + 1 , 为奇数, 2 - 2 , 为偶数, 则 a2a3 等于( ) A.70 B.28 C.20 D.8 答案:C 解析:由 an= 3 + 1 , 为奇数, 2 - 2 , 为偶数, 得 a2a3=2×10=20.∴选 C. 4.已知数列{an}满足:a1>0, +1 1 2 ,则数列{an}是 ( ) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.不确定 答案:B 解析:由已知数列各项为正,且从第二项起每一项是前一项的 1 2 ,则数列{an}是递减数列. 5.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第 25 项为( ) A.2 B.6 C.7 D.8 答案:C 解析:数字为 1 的有 1 个,数字为 2 的有 2 个,数字为 3 的有 3 个,∴按照此规律. 当数字为 6 时,共有 1+2+3+4+5+6=21 项,当数字为 7 时,共有 1+2+3+4+5+6+7=28 项. ∴第 25 项为 7. 6.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足 a1=2,a2=4,则 a3= . 答案:2 解析:∵ 2 + , 4 2 + , - 1 , 3 , ∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2. 7.下列叙述中正确的为 . ①数列 an=2 是常数列; ②数列 (- 1 ) · 1 是摆动数列; ③数列 2+1 是递增数列; ④若数列{an}是递增数列,则数列{anan+1}也是递增数列. 答案:①②③ 解析:①中每一项均为 2,是常数列.②中项的符号由(-1)n 调整,是摆动数列.③ 2+1 可变形为 1 2+1 ,为递增 数列.④中若 an=n-3,则 anan+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列. 8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色地面砖 块. 答案:4n+2 解析:第 1 个图案有白色地面砖 6 块,第 2 个图案有 10 块,第 3 个图案有 14 块,可以看出每个图案较前 一个图案多 4 块白色的地面砖. ∴第 n 个图案有 6+4(n-1)=(4n+2)(块). 9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1) 4 5 , 1 2 , 4 11 , 2 7 ,…; (2)1,3,6,10,15,…; (3)7,77,777,…. 分析:(1)注意前 4 项中有两项的分子为 4,不妨把分子统一为 4,即为 4 5 , 4 8 , 4 11 , 4 14 ,…,于是它们的分母依 次相差 3,因而有 an= 4 3+2 . (2)注意 6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以 2,即 1×2 2 , 2×3 2 , 3×4 2 , 4×5 2 , 5×6 2 ,…,因而有 an= ( +1 ) 2 . (3)把各项除以 7,得 1,11,111,…,再乘以 9,得 9,99,999,…,因而有 an= 7 9 (10n-1). 解:(1)an= 4 3+2 ; (2)an= ( +1 ) 2 ; (3)an= 7 9 (10n-1). 10.已知数列{an}的通项公式 an= +6 . (1)求 a10. (2) 53 50 是否是这个数列中的项? (3)这个数列中有多少整数项? (4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由. 解:(1)a10= 10+6 10 8 5 . (2)令 +6 53 50 ,得 n=100,故 53 50 是这个数列的第 100 项. (3)∵an=1+ 6 , ∴当 n=1,2,3,6 时,an 为整数, 故这个数列中有 4 项是整数项. (4)令 +6 =n 得 n2-n-6=0, 解得 n=3 或 n=-2(舍去), 故该数列中有等于序号的项,即 a3=3.