2019届二轮复习不等式选讲课件（25张） 25页

8.2 　不等式选讲 ( 选修 4—5) - 2 - - 3 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 绝对值不等式的解法 【思考】 如何解绝对值不等式 ? 例 1 已知函数 f ( x ) =|x+ 1 |-|x- 2 |. (1)求不等式 f ( x ) ≥ 1的解集; (2)若不等式 f ( x ) ≥ x 2 -x+m 的解集非空,求 m 的取值范围 . - 4 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 5 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 绝对值不等式的求解方法 (1) |ax+b| ≤ c , |ax+b| ≥ c ( c> 0) 型不等式的解法 : |ax+b| ≤ c ⇔ -c ≤ ax+b ≤ c , |ax+b| ≥ c ⇔ ax+b ≥ c 或 ax+b ≤ -c , 然后根据 a , b 的取值求解即可 . (2) |x-a|+|x-b| ≥ c ( c> 0) 和 |x-a|+|x-b| ≤ c ( c> 0) 型不等式的解法 : ① 利用绝对值不等式的几何意义求解 , 体现数形结合思想 ; ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解 , 体现分类讨论思想 ; ③ 通过构建函数 , 利用函数图象求解 , 体现函数与方程思想 . - 6 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 1 (2018 全国 Ⅲ , 文 23) 设函数 f ( x ) =| 2 x+ 1 |+|x- 1 |. (1) 画出 y=f ( x ) 的图象 ; (2) 当 x ∈ [0, +∞ ) 时 , f ( x ) ≤ ax+b , 求 a+b 的最小值 . - 7 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 y=f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 由 (1) 知 , y=f ( x ) 的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2, 且各部分所在直线斜率的最大值为 3, 故当且仅当 a ≥ 3 且 b ≥ 2 时 , f ( x ) ≤ ax+b 在 [0, +∞ ) 上成立 , 因此 a+b 的最小值为 5 . - 8 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 绝对值不等式的参数范围问题 【思考】 解决绝对值不等式的参数范围问题的常用方法有哪些 ? 例 2 已知函数 f ( x ) =| 2 x-a|+a. (1)当 a= 2时,求不等式 f ( x ) ≤ 6的解集; (2)设函数 g ( x ) =| 2 x- 1 | ,当 x ∈ R 时, f ( x ) +g ( x ) ≥ 3,求 a 的取值范围 . - 9 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解 (1) 当 a= 2 时 , f ( x ) =| 2 x- 2 |+ 2 . 解不等式 | 2 x- 2 |+ 2 ≤ 6 得 - 1 ≤ x ≤ 3 . 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x|- 1 ≤ x ≤ 3} . (2) 当 x ∈ R 时 , f ( x ) +g ( x ) =| 2 x-a|+a+| 1 - 2 x| ≥ | 2 x-a+ 1 - 2 x|+a =| 1 -a|+a , 当 x= 时 等号成立 , 所以 当 x ∈ R 时 , f ( x ) +g ( x ) ≥ 3 等价于 | 1 -a|+a ≥ 3 . ① ( 分类讨论 ) 当 a ≤ 1 时 , ① 等价于 1 -a+a ≥ 3, 无解 . 当 a> 1 时 , ① 等价于 a- 1 +a ≥ 3, 解得 a ≥ 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, +∞ ) . - 10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 1 . 解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法 : (1) 将参数分类讨论 , 将其转化为分段函数解决 ; (2) 借助于绝对值的几何意义 , 先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围 , 再根据题目要求 , 求解参数的取值范围 . 2 . 解答此类问题应熟记以下转化 : f ( x ) >a 恒成立 ⇔ f ( x ) min >a ; f ( x ) a 有解 ⇔ f ( x ) max >a ; f ( x ) a 无解 ⇔ f ( x ) max ≤ a ; f ( x ) 5 的解集为 { x|x> 2 或 x<- 3} . (1) 求 a 的值 ; (2) 若不等式 f ( x ) -f ≤ k 在 R 上有解 , 求 k 的取值范围 . 解 (1) 由 |ax+ 1 |> 5, 得 ax> 4 或 ax<- 6 . 又 f ( x ) > 5 的解集为 { x|x> 2 或 x<- 3}, 当 a> 0 时 , 解得 x> 或 x<- , 则 a= 2; 当 a ≤ 0 时 , 经验证不合题意 . 综上 , a= 2 . - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 不等式的证明 【思考】 不等式证明的常用方法有哪些 ? 例 3 已知 a> 0, b> 0, a 3 +b 3 = 2 . 证明:( 1)( a+b )( a 5 +b 5 ) ≥ 4; (2) a+b ≤ 2 . 证明 (1)( a+b )( a 5 +b 5 ) =a 6 +ab 5 +a 5 b+b 6 = ( a 3 +b 3 ) 2 - 2 a 3 b 3 +ab ( a 4 +b 4 ) = 4 +ab ( a 2 -b 2 ) 2 ≥ 4 . (2) 因为 ( a+b ) 3 =a 3 + 3 a 2 b+ 3 ab 2 +b 3 - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 不等式证明的常用方法是 : 比较法、综合法与分析法 . 其中运用综合法证明不等式时 , 主要是运用基本不等式证明 , 与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式 . 证明过程中一方面要注意不等式成立的条件 , 另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形 . - 15 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 3 (1) 设 a ≥ b> 0, 证明 :3 a 3 + 2 b 3 ≥ 3 a 2 b+ 2 ab 2 ; (2) 证明 : a 6 + 8 b 6 + ≥ 2 a 2 b 2 c 2 ; (3) 若 a , b , c 为正实数 , 证明 : a 2 + 4 b 2 + 9 c 2 ≥ 2 ab+ 3 ac+ 6 bc . - 16 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 - 17 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 不等式的综合应用 【思考】 用什么定理或公式解决多变量代数式的最值问题? 例4 已知 a , b 为正实数 . - 18 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思 基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用 , 运用基本不等式时应注意其条件 ( 一正、二定、三相等 ) . - 19 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 4 设 a> 0, b> 0, 且 a+b= , 证明 : (1) a+b ≥ 2; (2) a 2 +a< 2 与 b 2 +b< 2 不可能同时成立 . 即 a+b ≥ 2 . (2) 假设 a 2 +a< 2 与 b 2 +b< 2 同时成立 , 则由 a 2 +a< 2 及 a> 0 得 0 B , 先假设 A ≤ B , 由题设及其他性质推出矛盾 , 从而肯定 A>B. 凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有 “ 至多 ”“ 至少 ”“ 不存在 ”“ 不可能 ” 等词语时 , 可以考虑用反证法 ; (5) 放缩法 , 要证明不等式 A 0, 且 a 2 b= 4, a+b ≥ m 恒成立 . (1) 求 m 的最大值 ; (2) 若 2 |x- 1 |+|x| ≤ a+b 对任意的 a , b 恒成立 , 求实数 x 的取值范围 . - 25 - 规律总结 拓展演练 4 . (2018 全国 Ⅱ , 文 23) 设函数 f ( x ) = 5 -|x+a|-|x- 2 |. (1) 当 a= 1 时 , 求不等式 f ( x ) ≥ 0 的解集 ; (2) 若 f ( x ) ≤ 1, 求 a 的取值范围 . 可得 f ( x ) ≥ 0 的解集为 { x|- 2 ≤ x ≤ 3} . (2) f ( x ) ≤ 1 等价于 |x+a|+|x- 2 | ≥ 4 . 而 |x+a|+|x- 2 | ≥ |a+ 2 | , 且当 x= 2 时等号成立 . 故 f ( x ) ≤ 1 等价于 |a+ 2 | ≥ 4 . 由 |a+ 2 | ≥ 4 可得 a ≤ - 6 或 a ≥ 2 . 所以 a 的取值范围是 ( -∞ , - 6] ∪ [2, +∞ ) .