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- 2021-04-17 发布
2019—2020 学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷
数学（理科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位
号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分
钟.
2. 做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的）
1.已知集合 | 1 1A x x ， | 0B x x a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. ,1 B. 1, C. , 1 D. 1,
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系,即可求得参数 a 的取值范围.
【详解】集合 | 1 1A x x , | 0B x x a ,即 |B x x a
因为 A B ,
则 1a
即 1,a
故选:D
【点睛】本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.
2.设复数 z 满足 1 1 1z i i ，（i 是虚数单位），则复平面内 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数表达式,先表示出 z .由复数的运算求解,再根据复数的几何意义求得点所在象限.
【详解】复数 z 满足 1 1 1z i i
即 1 11
iz i
由复数的运算化简可得
1 11
iz i
21 11 1
i
i i
1 i
在复平面内 z 对应的点坐标为 1, 1 ,所以位于第三象限
故选:C
【点睛】本题考查了复数的除法运算,复数的几何意义,属于基础题.
3.已知 2,1a
r
， 1,2b ，则 a b
r r
的值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 2 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算,先求得 a b ,再根据模的坐标运算即可求解.
【详解】根据向量的坐标运算,可得 2,1 1,2 1, 1a b
则 1 1 2a b
r r
故选:A
【点睛】本题考查了向量的坐标运算,向量模的求法,属于基础题.
4.曲线 sin 2cosy x x 在点 ,2 处的切线方程为（ ）
A. 2 0x y B. 2 0x y C. 2 2 0x y D.
2 2 0x y
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.
【详解】曲线 sin 2cosy x x
则 ' cos 2siny x x
当 x 时, cos 2 sin 1k
所以在点 ,2 处的切线方程,由点斜式可得 2 1y x
化简可得 2 0x y
故选:A
【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.
5.甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 参赛人数 平均数 中位数 众数 方差
甲 45 83 86 85 82
乙 45 83 84 85 133
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分 85 分为优秀）；
③甲、乙两班成绩为 85 分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；
④乙班成绩波动比甲班小.
其中正确结论有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
【分析】
①看两班的平均数易知正确；②看两班的中位数正确；③看两班的众数正确；④看两班的方
差.
【详解】①从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确；
②因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；
③根据甲、乙两班的众数，所以正确；
④因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误
故选：C.
【点睛】本题主要考查了样本中的数字特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6.直线 l 与平面 平行的充要条件是（ ）
A. 直线 l 上有无数个点不在平面 内
B. 直线 l 与平面 内的一条直线平行
C. 直线 l 与平面 内的无数条直线都平行
D. 直线 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
【答案】D
【解析】
【分析】
A. 由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的判定定理来判断， C. 由无数个不代
表所有的来判断 D. 由直线与平面平行的定义来判断.
【详解】A. 无数个点不是所有点，所以不正确；
B. 缺少直线 l 在平面外，所以不正确；
C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；
D. 由直线与平面平行的定义，正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了线面平行的定义及判定定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础
题.
7.若抛物线 2 0y ax a 的焦点与椭圆
2
2 12
x y 的上顶点重合，则 a （ ）
A. 1
2 B. 1
4 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.
【详解】椭圆
2
2 12
x y 的上顶点是 0,1
抛物线 2 0y ax a 的焦点 10, 4a
因为两点重合
所以 1 14a
所以 1
4a
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8.下列函数中，以 为周期且在区间 ,2
π π
单调递增的是（ ）
A. cos 2f x x B. sin 2f x x
C. cosf x x D. sinf x x
【答案】C
【解析】
【分析】
分别作出这四个函数的图象，再根据条件来判断.
【详解】A. cos 2f x x 的图象如下：最小正周期是
2
不正确，
B. sin 2f x x 的图象如下：最小正周期是
2
不正确
C. cosf x x 的图象如下：最小正周期是 ，在区间 ,2
π π
单调递增，正确
D. sinf x x 的图象如下：最小正周期是 ，在区间 ,2
π π
单调递减，不正确
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
9.已知 0 1x ，0 1y ，则 2 2 2 22 2 2 21 1 1 1x y x y x y x y 的
最小值为（ ）
A. 5 B. 2 2 C. 10 D. 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据均值不等式，可有
2 2
2 2
x y x y ，则 2 2
2
x yx y ， 22 11
2
x yx y ，
2 2 11
2
x yx y ， 2 2 1 11 1
2
x yx y ，再利用不等式的基本性质，两边
分别相加求解。
【详解】因为 2 2 2x y xy
所以 2 2 2 2 2)2 (( 2 ) x y xy x y x y
所以
2 2
2 2
x y x y
所以 2 2
2
x yx y
22 11
2
x yx y
2 2 11
2
x yx y
2 2 1 11 1
2
x yx y
所以两边分别相加得
2 2 2 22 2 2 21 1 1 1 2 2 x y x y x y x y
当且仅当 1
2x y 取等号
故选：B
【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10.若函数 1 2 , 23
1 1 , 2
f x xf x
x x
对任意 ,x t ，都有 2
3f x ，则t 的取值范围是
（ ）
A. 2, 3
B. 2 ,3
C. 4 ,3
D. 4, 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数,求得各区间的解析式,画出函数图像,即可通过图像求得t 的取值范围.
【详解】函数 1 2 , 23
1 1 , 2
f x xf x
x x
当 0x 时, 1 1f x x x
当 0 1x 时, 1 1f x x x
当1 2x 时, 1 1 2f x x x
当 2 3x 时, 1 12 23 3f x f x x
当3 4x 时, 1 1 12 2 2 43 3 3f x f x x x
当 x 时,函数值越来越小.
画出函数图像如下图所示:
由图像可知, 对任意 ,x t ,不等式 2
3f x 恒成立
则令 22 3x ,解得 4
3x
所以当 4
3
t 时满足 2
3f x 恒成立
故选:C
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法,周期性函数的解析式求法,数形结合法求参数的取
值范围,属于中档题.
11.已知双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右顶点为 M ，以 M 为圆心，b 为半径作圆 M ，
圆 M 与双曲线C 的一条渐近线交于 P 、Q 两点.若 0PM QM ，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先 求 右 顶 点 ,0M a 到 条 渐 近 线 by xa
的 距 离 ， 再 根 据 0PM QM ， 利 用
2 2
2 2d r b 求解.
【详解】因为双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右顶点为 ,0M a ，
双曲线C 的一条渐近线 by xa
右顶点 ,0M a 到一条渐近线 by xa
的距离
abd c
又因为 0PM QM ，
所以 2 2
2 2
abd r b c
解得 2e
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，
属于中档题.
12.设 +, ,x y z R ，且 3x y ze ，记 a ex ， 3yb ，c z ，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. a c b C. b a c D.
c a b
【答案】A
【解析】
【分析】
先令 3 x y ze t ，得到 3
ln ln lnln , log , logln ln3 ln t t tx t y t z te
，
所以 ln
ln
ta e e
， ln3 ln3
tb ， ln
ln
tc ，根据结构，构造函数
ln
xy x
，再利用单调性比较大
小.
【详解】设 3 x y ze t ，
3
ln ln lnln , log , logln ln3 ln t t tx t y t z te
所以 ln
ln
ta e e
， ln3 ln3
tb ， ln
ln
tc ，
令
ln
xy x
则 2
ln 1
(ln )
xy x
因为 , 0 x e y
所以
ln
xy x
在 ( , )e 上是增函数，
又因为 ln , 3 t o e
所以 a b c
故选：A
【点睛】本题主要考查了构造函数法比较数的大小，还考查了构造，论证的能力，属于中档
题.
第Ⅱ卷
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上对应题的横线
上.）
13.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 A ，B 两种移动支付方
式的使用情况，从全校学生随机抽取了 100 人，发现使用 A 或 B 支付方式的学生共有 90 人，
使用 B 支付方式的学生共有 70 人， A ， B 两种支付方式都使用的有 60 人，则该校使用 A 支
付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为______.
【答案】08
【解析】
【分析】
根据题意,结合各组的关系,求得使用 A 支付方式的学生人数,即可求得其估计值.
【详解】全校抽取 100 人,使用 A 或 B 支付方式的学生共有 90 人,
则不使用 A 或 B 支付方式的学生共有 10 人
使用 B 支付方式的学生有 70 人, A , B 两种支付方式都使用的有 60 人,
则仅使用 B 方式的人数为 70 60 10 人
则仅使用 A 方式的人数为90 60 10 20 人
所以使用 A 方式支付的总人数为 60 20 80 人
即使用 A 支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 80 0.8100
故答案为: 0.8
【点睛】本题考查了集合在实际问题中的应用,根据数据估计总体,属于基础题.
14.已知 f x 是定义在 , 上的奇函数，当 0x 时， 24f x x x ，若函数 f x 在
区间 ,4a 上值域为 4,4 ，则实数 a 的取值范围是______.
【答案】 2 2 2, 2
【解析】
【分析】
根据奇函数性质,求得函数解析式.画出函数图像,结合函数图像即可分析出 a 的取值范围.
【详解】 f x 是定义在 , 上的奇函数,所以 0 0f
当 0x 时, 24f x x x
令 0x 则 0x
所以 24f x x x
由奇函数性质可知 f x f x
所以 2 4f x x x ,满足 0 0f
综上可知,
2
2
4 , 0
4 , 0
x x xf x
x x x
画出函数图像如下图所示:
若函数 f x 在区间 ,4a 上值域为 4,4 ,
由函数图像可知,在 2,4 上的值域为 4,4
所以 2t
当 2 4 4x x 时,解方程可得 2 2 2 x 或 2 2 2x （舍）
所以当 2 2 2 2t 时能够满足值域为 4,4
即 2 2 2, 2t
故答案为: 2 2 2, 2
【点睛】本题考查了根据奇函数性质求函数解析式,数形结合法求参数的取值范围,属于中档题.
15.在圆内接四边形 ABCD 中， 5AB ， 6BC ， 3CD ， 4AD ，则 ABC 的面积为
______.
【答案】 30 107
【解析】
【分析】
利 用 余 弦 定 理 在 ABC 中 ， 有
2 2 2 2 61 60 AC AB BC AB BC COS ABC COS ABC ， 在 ADC 中 ， 有
2 2 2 2 25 24 AC AD DC AD DC COS ABC COS ADC
再根据内接四边形对顶角互补，两式相加得 cos ,ABCÐ 再用正弦定理
1 sin2ABCS AB BC ABC 求解.
【详解】根据题意
在 ABC 中， 2 2 2 2 61 60 AC AB BC AB BC COS ABC COS ABC
在 ADC 中， 2 2 2 2 25 24 AC AD DC AD DC COS ABC COS ADC
又因为 ABC ADC
所以 cos cosABC ADCÐ =- Ð
所以两式相减得 3 2 10cos , sin ,7 7ABC ABCÐ = Ð =
所以 1 30 10sin2 7ABCS AB BC ABC=
故答案为： 30 107
【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
16.如图，棱长为 1 的正方体木块 1 1 1 1ABCD A B C D 经过适当切割，得到棱数为 12 的正八面
体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体）.已知面 0 0 0 0A B C D 平行于正方体的下底面，
且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若 0A 在侧面 1 1AA D D 内，且该正八面体的体积为 1
6
，
则该正八面体的棱长为______，点 0A 到棱 1AA 的距离为______.
【答案】 (1). 2
2
(2). 1
2
【解析】
【分析】
先明确正八面体中两个正四棱锥的高是 1
2
，从而求得底面积，再根据底面是正方形求解.
【详解】设正八面体的棱长为 x
根据题意正八面体中两个正四棱锥的高是 1
2
所以
0 0 0 0
1 1 12 3 2 6A B C DV S
所以
0 0 0 0
2 1
2A B C DS x
所以 2
2x
设点 0A 到棱 1AA 的距离为 h
根据题意 2 1
2 2h x
故答案为：(1). 2
2
(2). 1
2
【点睛】本题主要考查了棱锥体积的有关计算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题（共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生
根据要求作答.）
（一）必考题：共 60 分.
17.如图，在四棱锥V ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧面VCD 为正三角形，侧面VCD
底面 ABCD ， P 为VD 的中点.
（1）求证： AD 平面VCD ；
（2）求二面角 P AB C- - 的正弦值.
【答案】（1）见解析（2） 57
19
【解析】
【分析】
（1）根据题意可证明平面VCD 底面 ABCD ,由面面垂直的性质可证明 AD 平面VCD ;
（2）由题意可证明VO OE ,则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,并求
得平面 PAB 和平面 ABCD 的法向量,即可利用法向量法求得两个平面形成二面角的余弦值大
小,结合同角三角函数关系式,即可求得求二面角 P AB C- - 的正弦值.
【详解】（1）证明：∵底面 ABCD 是正方形,
∴ AD CD ,
∵侧面VCD 底面 ABCD ,侧面VCD 底面 ABCD CD ,
∴由面面垂直的性质定理,得 AD 平面VCD .
（2）设 2AB ,CD 的中点为O , AB 的中点为 E ,
则OE CD ,VO CD .由面面垂直的性质定理知VO 平面 ABCD ,
又OE 平面 ABCD ,故VO OE .
以O 为坐标原点,OE
的方向为 x 轴正方向, OC
的方向为 y 轴正方向,建立如图所示的空间直
角坐标系 O xyz .
∵侧面VCD 为正三角形,
∴ sin 60 sin 60 3VO VD AB ,
则 0,0, 3V , 0, 1,0D , 2, 1,0A , 2,1,0B ,
∵ P 为VD 的中点,
∴ 1 30, ,2 2P
,
∴ 1 32, ,2 2PA
, 0,2,0AB
,
设平面 PAB 的法向量 , ,m x y z
,
则 0
0
AB m
PA m
,即
2 0
1 32 02 2
y
x y z
,即 4 3x z ,
所以可取 3,0,4m
,
平面 ABCD 的法向量可取 0,0,1n
,
于是 4cos , 1919
m nm n
m n
,
由同角三角函数关系式可求得
24 57sin , 1 1919 19m n
所以,二面角 P AB C- - 的正弦值为 57
19 .
【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,利用法向量法求二面角夹
角的余弦值,同角三角函数关系式的应用,属于中档题.
18.设 na 是等差数列， nb 是等比数列，公比大于 0，已知 1 1 2a b ， 2 2b a ， 3 2 4b a .
（1）求 na 和 nb 的通项公式；
（2）记 2
n
n
n
ac b
， *n N ，证明： 1 2 2nc c c ， *n N .
【答案】（1） 2na n ， 2n
nb .
（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,即可代入得方程组,进而求得 na 和 nb 的通项公
式;
（2）根据题意,可知 2
n
n
n
ac b
为等差与等比乘积形式,利用错位相减法可求得 nc 的前 n 项和.
根据前 n 项和的表达式,即可证明不等式成立.
【详解】（1）设等差数列 na 的公差为 d ,等比数列 nb 的公比为 q,则 0q .
由题意,得 2
2 2
2 6
q d
q d
,解得： 2
2
d
q
,
故 2 2 1 2na n n ,
12 2 2n n
nb .
（2）∵ 2
2 2 2 2
n
n n n
n
a n nc b
,设数列 nc 的前 n 项和为 nS ,
∴ 2 3 2
1 2 3
2 2 2 2n
nS ①
∴
2 3 1
11 1 2
2 2 2 2 2n n n
n nS
②
∴①-②得： 2 1
1 1 1 1
2 2 2 2 2nn n
nS
1 1
1 11 12 2 11 2 2 21 2
n
n
n n
n n
,
∴ 1
12 2 2n n n
nS ,
又∵ *n N ,
∴ 1
1 02n , 02n
n ,
∴ 1
12 22 2n n n
nS ,
即 1 2 2nc c c , *n N .
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的应用,错位相减法求数列的和,数列中不等
式的证明,属于中档题.
19.已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为 36，24，24.现采用分层抽样的方法从
中抽取 7 人，进行睡眠质量的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（2）若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步
的身体检查.用 X 表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望.
【答案】（1）3 人，2 人，2 人.（2）分布列见解析， 12
7E X
【解析】
【分析】
（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.
（2）根据独立重复试验中概率计算公式,可分别求得随机变量 X 的概率,即可得其分布列.由数
学期望公式,即可求得期望值.
【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3: 2: 2 ,
由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取 3 人,2
人,2 人.
（2）随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
则
3
4 3
3
7
0,1,2,3
k kC CP X k kC
,
所以,随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
35
12
35
18
35
4
35
随机变量 X 的数学期望 1 12 18 4 120 1 2 335 35 35 35 7E X .
【点睛】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分
布列及数学期望的求法,属于基础题.
20.已知椭圆C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左右顶点分别为 ,0A a ， ,0B a ，点 P 是椭
圆C 上异于 A 、 B 的任意一点，设直线 PA ， PB 的斜率分别为 1k 、 2k ，且 1 2
1
3k k ，椭
圆的焦距长为 4.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过右焦点 F 的直线l 交椭圆C 于 M 、N 两点，分别记 ABM ， ABN 的面积为 1S 、 2S ，
求 1 2S S 的最大值.
【答案】（1）
2 2
16 2
x y （2） 2 2
【解析】
【分析】
（1）设出点 P 的坐标,代入椭圆方程,根据 1 2
1
3k k ,可得方程组,求得 ,a b 的等量关系,结合
焦距长即可求得 ,a b ,得椭圆方程.
（2）讨论直线斜率存在与不存在两种情况.当斜率不存在时,易求得 1 2,S S ,即可求得 1 2S S ;
当斜率存在时,用点斜式表示出直线方程,联立椭圆,整理成关于 x 的一元二次方程,利用韦达定
理表示出 1 2 ,x x 1 2x x .结合直线方程,即可表示出 1 2S S .将等式变形,结合基本不等式即可
求得最大值.
【详解】（1）椭圆C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
,点 P 是椭圆C 上异于 A 、 B 的任意一点
设点 0 0 0,P x y x a ,则
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
,①
∵
2
0 0 0
1 2 2 2
0 0 0
1
3
y y yk k x a x a x a
,②
∴联立①②得 2 2 2 2
03 0b a x a ,
∴ 2 2
03 aa b x ,
又∵ 2 4c ,∴ 2c ,
∴ 2 2 4a b ,即 2 23 4b b ,
∴ 2 2b ,∴ 2 6a ,
∴椭圆C 的标准方程为
2 2
16 2
x y .
（2）由题意知 2,0F ,
①当直线 l 的斜率不存在时, 1 2S S= ,于是 1 2 0S S ,
②当直线 l 的斜率存在时,设直线l ： 2 0y k x k ,
联立
2 2
2
16 2
y k x
x y
,得 2 2 2 21 3 12 12 6 0k x k x k .
设 1 1,M x y , 2 2,N x y ,根据韦达定理,得
2
1 2 2
12
1 3
kx x k
,
2
1 2 2
12 6
1 3
kx x k
,
于是 1 2 1 2 1 2
1 2 6 6 42S S y y k x x k
2
2 2
4 6126 41 3 1 3
kkk kk k
4 6 4 6 2 21 2 33 kk
,
当且仅当 3
3k 时等号成立,
综上, 1 2S S 的最大值为 2 2 .
【点睛】本题考查了拖延标准方程的求法,过定点的直线与椭圆的位置关系,三角形面积的表示
方法,利用基本不等式求最值,综合性较强,属于难题.
21.已知函数 22ln ,f x x ax bx a b R .
（1）若曲线 y f x 在 1x 处的切线方程为 2 1y x ，求实数 a ，b 的值；
（2）若 0a ，且 4 0f x 在区间 0, 上恒成立，求实数b 的取值范围；
（3）若 4b ，且 0 1a ，讨论函数 f x 的单调性.
【答案】（1） 3
6
a
b
（2） 2 ,b e .（3）见解析
【解析】
【分析】
（1 先求导，再由
1 2 2 2
1 3
f a b
f a b
求解..
（2）由 0a ， 2lnf x x bx ， 4 0f x 在区间 0, 上恒成立，转化为 2ln 4xb x
在 0, 上恒成立，令 2ln 4xg x x
，再用导数法求解.
（3）由 4b ， 22ln 4f x x ax x ，求导得
22 2 4 22 4 0 ax xf x ax xx x
，令
2 2 1 0 1, 0t x ax x a x ，
分 0a ， 0 1a 两种情况讨论.
【详解】（1）由题意，得 2 2 0 f x ax b xx
，
则
1 2 2 2
1 3
f a b
f a b
，解得 3
6
a
b
.
（2）当 0a 时， 2lnf x x bx ， 4 0f x 在区间 0, 上恒成立，
即 2ln 4xb x
在 0, 上恒成立，
设 2ln 4xg x x
，则
2
2 ln 1 xg x x
，
令 0g x ，可得 10 x e
， g x 单调递增；
令 0g x ，可得 1x e
， g x 单调递减；
所以 max
1 2g x g ee
，即 2b e ，故 2 ,b e .
（3）当 4b 时， 22ln 4f x x ax x ，
则
22 2 4 22 4 0 ax xf x ax xx x
，
令 2 2 1 0 1, 0t x ax x a x ，
1 当 0a 时， 2 1t x x ，
所以，在 10, 2
内 0t x ，∴ 0f x ，∴ f x 单调递增，
在 1 ,2
内 0t x ，∴ 0f x ，∴ f x 单调递减.
2 当 0 1a 时， 4 4 0a ，
令 0t x ，解得 1 1 ax a
或 1 1 ax a
，
所以，在 1 10, a
a
和 1 1 ,a
a
内， 0t x ，∴ 0f x ，
∴ f x 单调递增；
在 1 1 1 1,a a
a a
内， 0t x ，∴ 0f x ，
∴ f x 单调递减
综上，1 当 0a 时， f x 在 10, 2
上单调递增，在 1 ,2
单调递减.
2 当 0 1a 时，∴ f x 在 1 1 ,a
a
和 1 10, a
a
单调递增；在
∴ 1 1 1 1,a a
a a
单调递减.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性，极值，最值，还考查了转
化运算求解的能力，属于难题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将所
选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.点 A 是曲线 1C ： 22 2 4x y 上的动点，以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点 A 顺时针旋转90 得到点 B ，设点 B 的轨迹方程为
曲线 2C .
（1）求曲线 1C ， 2C 的极坐标方程；
（2）射线 06
与曲线 1C 、 2C 分别交于 P 、Q 两点，定点 4,0M ，求 MPQ 的面
积.
【答案】（1） 4sin ， 4cos （2） 2 3 1
【解析】
【分析】
（1）将 scos , sin x y 代入 22 2 4x y 得曲线 1C 的极坐标方程，设 ,B ，
有 A 顺时针旋转90 ，得到点 , 2A
，代入则曲线 1C 的极坐标方程得解。.
（2）先求点 M 到射线
6
的距离，利用公式求 Q PPQ ，再由 1
2
S PQ d .求解.
【详解】（1）曲线 1C 的极坐标方程为 4sin ，
设 ,B ，则 , 2A
，
所以 4sin 4cos2
.
所以曲线 2C 的极坐标方程为 4cos .
（2）由题意得
点 M 到射线
6
的距离为 4sin 26d ，
4 cos sin 2 3 16 6Q PPQ
，
∴ MPQ 的面积 1 2 3 12S PQ d .
【点睛】本题主要考查了普通方程与极坐标方程的互化及应用，还考查了运算求解的能力，
属于中档题.
23.已知函数 2 2 1f x x ， 1g x x a x .
（1）解不等式 1f x ；
（2）若存在 1 2,x x R ，使得 1 2f x g x 成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） ,0 1, （2） | 3 1a a
【解析】
【分析】
（1）由 1f x ，转化为 2 1 1x ，再利用绝对值的几何意义求解.
（2）根据存在 1 2,x x R ，使得 1 2f x g x 成立，转化为只需要 max minf x g x ，再分
别求 f x 的最大值和 g x 的最小值.
【详解】（1）由 1f x ，得 2 2 1 1x ，
所以 2 1 1x ，即 2 1 1x 或 2 1 1x - < - ，
解得： 1x 或 0x ，
所以原不等式的解集为 ,0 1, .
（2）因为存在 1 2,x x R ，使得 1 2f x g x 成立，
所以只需要 max minf x g x ，
因为 2 2 1 2f x x ，当 1
2x 时，等号成立，即 max 2f x ，
1 1 1g x x a x x a x a ，当 1x 时，等号成立，即 min 1g x a .
所以 1 2a ，解得 3 1a .
所以实数 a 的取值范围是 | 3 1a a .
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，还考查了转化运算求解的
能力，属于中档题.