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- 2021-04-17 发布
河北省定州市2016-2017学年高二上学期期中考试
高二理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设，是正实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.下列说法中正确的是（ ）
A．“”是直线“：与直线：平行”的充要条件
B．命题“，”的否定“，”
C．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”
D．若为假命题，则，均为假命题
3.若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A． B． C．或 D．或
4.在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.从区间随机抽取个数，，…,，，，…，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）
A． B． C． D．
6.某地区年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
若关于的线性回归方程为，则据此该地区2017年农村居民家庭人均纯收入约为（ ）
A．6.3千元 B．7.5千元 C．6.7千元 D．7.8千元
7.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线于的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
9.若曲线的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
10.某校3名教师和3名学生共6人去北京参加学习方法研讨会，须乘坐两辆车，每车坐人，则恰有两名教师在同一车上的概率（ ）
A． B． C． D．
11.过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆 ：作切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C． 16 D．19
12.已知，分别为椭圆：的左、右顶点，不同两点，在椭圆上，且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，，则当
取最大值时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1-50号，并分组，第一组1-5号，第二组6-10号，…，第十组46-50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生．
14.若动圆与圆：外切，且与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程 ．
15.如图所示，在长方体中，，，，是与的交点，则点的坐标是 ．
16.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定矩形春季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲同学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录如下表：
身高（）
168
174
175
176
178
182
185
188
人数
1
2
4
3
5
1
3
1
（1）请计算着20名学生的身高中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图：
（2）身高为185和188的四名学生分别为，，，，先从这四名学生中选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生入选正门将的概率．
18.设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
19.在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线．
（1）已知，分别为，的中点，求证：平面；
（2）已知，，求二面角的余弦值．
20.已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的直线方程．
21.如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，⊥平面，且．
（1）若，求证：⊥；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
22.已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．
（1）若线段的长为5，求直线的方程；
（2）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．
高二理科数学试题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
C
D
A
D
A
C
B
D
二、填空题
13.37 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）中位数为177，众数为178，茎叶图如下：
（2）正副门将的所有可能情况为：，，，，，，，，，，，共12种，其中学生入选正门将有，，共3种，故学生入选正门将的概率为．
18.解：（1）命题是真命题，则有，，的取值范围为．
①真假，，且，则得不存在；
②若假真，则得．
综上，实数的取值范围．
19.（1）证明：设的中点为，连接，，
在△，因为是的中点，所以，
又，所以．
在△中，因为是的中点，所以，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）连接，则平面，
又，且是圆的直径，所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，过点作垂直于点，
所以，
可得．
故，．
设是平面的一个法向量，
由可得可得平面的一个法向量，
因为平面的一个法向量，
所以．
所以二面角的余弦值为．
20.解：（1）设右焦点，由条件知，，得．
又，所以，，故椭圆的方程为．
（2）当⊥轴时不合题意，故设直线：，，．
将代入，得，
当，即时，，
从而，
又点到直线的距离，
所以的面积，设，则，
，
因为，当且仅当时，时取等号，且满足．
所以当△的面积最大时，的方程为或．
21.（1）证明：如图，过点作⊥于，连接，∴．
∵平面⊥平面，平面，平面平面，
∴⊥平面．
又∵⊥平面，，∴，且．
∴四边形为平行四边形，
∴，
在等边三角形中，⊥，则．
（2）连接，由（1），得为中点，又，△为等边三角形，
∴⊥，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由得令，
得，
，，
直线与平面所成角的正弦值为.
22.解：（1）焦点，
∵直线的斜率不为0，所以设：，
，，由得，
∴，，
，，
∴，∴，
∴直线的斜率，
∵，∴，
∴直线的方程为．
（2）设，，
同理，，
∵直线，，的斜率始终成等差数列，
∴恒成立，
即恒成立．
，即，
把，代入上式，得恒成立，∴．
∴存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．