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- 2021-04-17 发布
3
.
2
导数与函数的小综合
-
2
-
-
3
-
知识梳理
考点自测
1
.
函数的单调性与导数的关系
(1)
已知函数
f
(
x
)
在某个区间内可导
,
①
如果
f'
(
x
)
>
0,
那么函数
y=f
(
x
)
在这个区间内
;
②
如果
f'
(
x
)
<
0,
那么函数
y=f
(
x
)
在这个区间内
;
③
若
f'
(
x
)
=
0,
则
f
(
x
)
在这个区间内是
.
(2)
可导函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调递增
,
则有
在
[
a
,
b
]
上恒成立
.
(3)
可导函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调递减
,
则有
在
[
a
,
b
]
上恒成立
.
(4)
若函数
y=f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内单调
,
则
y=f'
(
x
)
在该区间内
.
单调递增
单调递减
常数函数
f'
(
x
)
≥
0
f'
(
x
)
≤
0
不变号
-
4
-
知识梳理
考点自测
2
.
函数的极值
一般地
,
当函数
f
(
x
)
的图象在点
x
0
处连续时
,
(1)
如果在
x
0
附近的左侧
,
右侧
,
那么
f
(
x
0
)
是极大值
;
(2)
如果在
x
0
附近的左侧
,
右侧
,
那么
f
(
x
0
)
是极小值
.
f'
(
x
)
>
0
f'
(
x
)
<
0
f'
(
x
)
<
0
f'
(
x
)
>
0
-
5
-
知识梳理
考点自测
3
.
函数的最值
(1)
图象在区间
[
a
,
b
]
上连续的函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上必有最大值与最小值
.
(2)
若函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调递增
,
则
为函数的最小值
,
为函数的最大值
;
若函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调递减
,
则
为函数的最大值
,
为函数的最小值
.
(3)
设函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内可导
,
图象在
[
a
,
b
]
上连续
,
求
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的最大值和最小值的步骤如下
:
①
求
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内的
;
②
将
f
(
x
)
的各极值与
进行比较
,
其中最大的一个是最大值
,
最小的一个是最小值
.
f
(
a
)
f
(
b
)
f
(
a
)
f
(
b
)
极值
f
(
a
),
f
(
b
)
-
6
-
知识梳理
考点自测
1
.
若函数
f
(
x
)
的图象连续不断
,
则
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上一定有最值
.
2
.
若函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上是单调函数
,
则
f
(
x
)
一定在区间端点处取得最值
.
3
.
若函数
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
内只有一个极值点
,
则相应的极值点一定是函数的最值点
.
-
7
-
知识梳理
考点自测
1
.
判断下列结论是否正确
,
正确的画
“
√
”,
错误的画
“
×
”
.
(1)
如果函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内单调递增
,
那么一定有
f'
(
x
)
>
0
.
(
)
(2)
函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的
.
(
)
(3)
导数为零的点不一定是极值点
.
(
)
(4)
函数的极大值不一定比极小值大
.
(
)
(5)
函数的最大值不一定是极大值
,
函数的最小值也不一定是极小值
.
(
)
×
×
√
√
√
-
8
-
知识梳理
考点自测
2
.
如图是函数
y=f
(
x
)
的导函数
f'
(
x
)
的图象
,
则下面判断正确的是
(
)
A.
在区间
(
-
2,1)
内
,
f
(
x
)
是增函数
B.
在区间
(1,3)
内
,
f
(
x
)
是减函数
C.
在区间
(4,5)
内
,
f
(
x
)
是增函数
D.
在区间
(2,3)
内
,
f
(
x
)
不是单调函数
C
3
.
(2016
四川
,
文
6)
已知
a
为函数
f
(
x
)
=x
3
-
12
x
的极小值点
,
则
a=
(
)
A.
-
4 B.
-
2 C.4 D.2
D
解析
:
f'
(
x
)
=
3
x
2
-
12
=
3(
x+
2)(
x-
2),
令
f'
(
x
)
=
0,
得
x=-
2
或
x=
2,
易得
f
(
x
)
在
(
-
2,2)
内单调递减
,
在
(
-∞
,
-
2),(2,
+∞
)
内单调递增
,
故
f
(
x
)
极小值为
f
(2),
由已知得
a=
2,
故选
D
.
-
9
-
知识梳理
考点自测
A
-
10
-
知识梳理
考点自测
5
.
已知函数
f
(
x
)
=x
3
+ax
2
+
3
x
在定义域上是增函数
,
则实数
a
的取值范围为
.
[
-
3,3]
解析
:
∵
函数
f
(
x
)
=x
3
+ax
2
+
3
x
在定义域上是增函数
,
∴
f'
(
x
)
=
3
x
2
+
2
ax+
3
≥
0
在
R
上恒成立
,
∴
Δ=
4
a
2
-
36
≤
0,
解得
-
3
≤
a
≤
3
.
-
11
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
考点五
讨论函数的单调性或求单调区间
例
1
已知函数
f
(
x
)
=ax
3
+x
2
(
a
∈
R
)
在
处取得极值
.
(1)
确定
a
的值
;
(2)
若
g
(
x
)
=f
(
x
)e
x
,
讨论
g
(
x
)
的单调性
.
-
12
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
考点五
令
g'
(
x
)
=
0,
解得
x=
0
或
x=-
1
或
x=-
4
.
当
x<-
4
时
,
g'
(
x
)
<
0,
故
g
(
x
)
为减函数
;
当
-
4
0,
故
g
(
x
)
为增函数
;
当
-
1
0
时
,
g'
(
x
)
>
0,
故
g
(
x
)
为增函数
.
综上知
g
(
x
)
在
(
-∞
,
-
4)
和
(
-
1,0)
内为减函数
,
在
(
-
4,
-
1)
和
(0,
+∞
)
内为增函数
.
-
13
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
考点五
思考
如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间
?
解题心得
1
.
利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号
,
当
f
(
x
)
不含参数时
,
解不等式
f'
(
x
)
>
0(
或
f'
(
x
)
<
0)
直接得到单调递增
(
或递减
)
区间
;
当
f
(
x
)
含参数时
,
需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论
.
2
.
导数法求函数单调区间的一般流程
:
求定义域
→
求导数
f'
(
x
)→
求
f'
(
x
)
=
0
在定义域内的根
→
用求得的根划分定义区间
→
确定
f'
(
x
)
在各个开区间内的符号
→
得相应开区间上的单调性
.
-
14
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
考点五
对点训练
1
已知函数
f
(
x
)
= x
2
-
2
a
ln
x+
(
a-
2)
x
,
当
a<
0
时
,
讨论函数
f
(
x
)
的单调性
.
②
当
0
<-a<
2,
即
-
2
2
时
,
f'
(
x
)
>
0;
-a
2,
即
a<-
2
时
,
∵
0
-a
时
,
f'
(
x
)
>
0;2
0,
所以当
0
-b
≥
0,
得
b
≤
0,
此时
ab=
0;
若
a<
0,
则由
f'
(
x
)
>
0,
知函数单调增
,
x
→
-∞
,
此时
f
(
x
)→
-∞
,
不可能恒有
f
(
x
)
≥
0
.
若
a>
0,
由
f'
(
x
)
=
e
x
-a=
0,
得极小值点
x=
ln
a
,
由
f
(ln
a
)
=a-a
ln
a+a-b
≥
0,
得
b
≤
a
(2
-
ln
a
),
ab
≤
a
2
(2
-
ln
a
)
.
令
g
(
a
)
=a
2
(2
-
ln
a
),
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
-
28
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
思考
求函数的最值可划分为哪几步
?
解题心得
求函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上的最大值和最小值的步骤
:
(1)
求函数在
(
a
,
b
)
内的极值
.
(2)
求函数在区间端点处的函数值
f
(
a
),
f
(
b
)
.
(3)
将函数
f
(
x
)
的极值与
f
(
a
),
f
(
b
)
比较
,
其中最大的一个为最大值
,
最小的一个为最小值
.
-
29
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
对点训练
4
(2017
湖南衡阳三次联考
,
文
11)
已知
x=
1
是函数
f
(
x
)
=ax
3
-bx-
ln
x
(
a>
0,
b
∈
R
)
的一个极值点
,
则
ln
a
与
b-
1
的大小关系是
(
)
A
.
ln
a>b-
1 B
.
ln
a
0,
∴
f
(e)
是函数的极小值
.
∵
f
(2)
是函数
f
(
x
)
的最小值
,
∴
f
(e)
≥
f
(2),
∴
-
1
≤
a
≤
6,
∴
2
≤
a
≤
6
.
故选
D
.
-
33
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
-
34
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
-
35
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
高频小考点
——
导数法求参数的取值范围
答案
:
C
-
36
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
-
37
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
-
38
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
典例
2
(2015
全国
Ⅰ
)
设函数
f
(
x
)
=
e
x
(2
x-
1)
-ax+a
,
其中
a<
1,
若存在唯一的整数
x
0
使得
f
(
x
0
)
<
0,
则
a
的取值范围是
(
)
答案
:
D
解析
:
设
g
(
x
)
=
e
x
(2
x-
1),
h
(
x
)
=a
(
x-
1),
则不等式
f
(
x
)
<
0
即为
g
(
x
)
0,
则
a
的取值范围是
(
)
A
.
(2,
+∞
) B
.
(1,
+∞
)
C
.
(
-∞
,
-
2) D
.
(
-∞
,
-
1)
答案
:
C
-
41
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
-
42
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
典例
4
(2014
全国
Ⅱ
,
文
11)
若函数
f
(
x
)
=kx-
ln
x
在区间
(1,
+∞
)
单调递增
,
则
k
的取值范围是
(
)
A.(
-∞
,
-
2] B.(
-∞
,
-
1]
C.[2,
+∞
) D.[1,
+∞
)
答案
:
D
-
43
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
反思提升
解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式
,
寻找的方法就是等价转换
.
若限制条件为函数有唯一的正
(
负
)
零点
,
或存在唯一的
x
0
使得
f
(
x
0
)
<
0,
可根据函数的单调性
,
利用函数极值的正负满足限制条件
,
得到关于参数的不等式求解
;
若限制条件为存在一个
x
满足等式或不等式
,
解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式
,
得到一个等式或不等式
,
然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式
,
解出参数的范围
.
-
44
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五
D
-
45
-
考点一
考点二
考点三
考点四
学科素养微专题
考点五