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- 2021-04-17 发布
2012届高考数学考前回归基础训练题——概率统计
一、解答题
1、将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？
（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？
2、已知10件产品中有3件是次品．
(1)任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
(2)为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
3、甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛是采用五局三胜制。（保留三位有效数字）
（1）在前两局乙队以2 ：0领先的条件下，求最后甲、乙队各自获胜的概率。
（2）求甲队获胜的概率。
4、某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，
…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和
平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率.
5、有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.
（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；
（2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？
6、已知函数：，其中：，记函数满足条件：
的事件为A，求事件A发生的概率。
7、为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（Ⅱ）补全频数条形图；
（Ⅲ）若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
8、甲乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。
（1）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少；
（2）在甲、乙两人均考试合格的基础上，求甲答对试题数比乙多一道的概率.
9、某人投掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是，构造数列{an}，使
当第n次出现反面时
当第n次出现正面时
，记
（1）求S8=2时的概率；
（2）求S2≠0且S8=2时的概率.
10、一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望．
11、袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量的概率分布与数学期望
12、某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
13、有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.
（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；
（2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？
14、某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2
次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.
(1) 求该学生考上大学的概率.
(2) 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.
15、甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数的数学期望.
16、已知射手甲射击一次，击中目标的概率是．
（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；
（2）假设甲连续2次未击中目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率
17、已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；
（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.
18、 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
19、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（1求小球落入袋中的概率；
（2)容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
20、已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标x∈A，y∈A。计算：
（1）点正好在第二象限的概率；
（2）点不在x轴上的概率；
（3）点正好落在区域上的概率。
以下是答案
一、解答题
1、解: （I） 共有种结果
（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），
（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）
共12种．
（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝
2、(1)解：任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为
至少有一件是次品的概率为
(2)设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为
由得：
整理得：，
∵n∈N*，n≤10，∴当n = 9或n = 10时上式成立
∴任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为；为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验
3、（1）设最后甲获胜为事件A，乙获胜为事件B
（2）设甲获胜为事件C，其比分可能为3：0，3：1，3：2
4、（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
直方图如右所示
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为
所以，抽样学生成绩的合格率是%.
利用组中值估算抽样学生的平均分
＝
＝71
估计这次考试的平均分是71分
（Ⅲ）， ，”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。
5、解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：
8
2
P
；
设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；
7
1
P
（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，
红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是
6、解：由，可得：
知满足事件A的区域：的面积10，而满足所有条件的区域的面积：
从而，得：，
答：满足事件A的概率为
7、解：(1)
分组
频数
频率
50.5~60.5
4
0.08
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
10
0.20
80.5~90.5
16
0.32
90.5~100.5
12
0.24
合计
50
1.00
(2) 频数直方图如右上所示
(3) 成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ，
成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16
所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26´900=234（人）
8、（1）设A={甲考试合格}，B={乙考试合格}，
（2）甲答对三道，乙答对两道题的概率为
9、解：（1）S8=2时，需8次中有5次正面3次反面，设其概率为P1，
则P1=
（2）S2≠0即前两次同时出现正面或反面，
当同时出现正面时，S2=2，要S8=2需6次3次正面3次反面，设其概率为P2，
则P2=
当同时出现反面时，S2=－2，要S8=2需后6次5次正面1次反面，设其概率为P3，
则P3=
所以S2≠0且S8=2时的概率为
10、解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，4，，，
，．
的概率分布列为
E=1×＋2×＋3×＋4×=．
1
2
3
4
P
11、（Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件，
∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有种，
其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有，
∴．
解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为，则事件与事件是对立事件．
∵，
∴．
（Ⅱ）解：由题意，所有可能的取值为：2，3，4，5，6．
，，，
，．
故随机变量的概率分布为
2
3
4
5
6
因此，的数学期望．
12、解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
．
13、解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：
8
2
P
；
设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；
7
1
P
（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，
红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是
14、（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C
∴P(A)=1----4’ 答：该生考上大学的概率为
（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，
P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
P
故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
15、解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：
即 或 （舍去）
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、.
（Ⅱ）因为
所以=
16、解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则
．
答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为．
（2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．
方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．
17、解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件，“甲射击一次，命中7环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故与是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为，
由互斥事件的概率加法公式，．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为，
∴．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴=1－0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
18、解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=
（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
19、解：（1记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而；
（2）显然，随机变量，故
，
．
20、解：满足条件的点共有个
（1）正好在第二象限的点有
,,,,,
故点正好在第二象限的概率.
（2）在x轴上的点有,,,,,
故点不在x轴上的概率.
（3）在所给区域内的点有,,,,,
故点在所给区域上的概率
答：（1）点正好在第二象限的概率是，（2）点不在x轴上的概率是，（3）点在所给区域上的概率