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- 2021-04-17 发布
专题3 数列的概念与表示
1．数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
2．数列的表示
(1)通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上就是相应的函数解析式，即an＝f(n)．
(2)数列的图象表示
数列的图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
(3)列表表示．
3．递推公式
如果一个数列{an}的首项a1＝1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加上1，即an＝2an－1＋1(n>1)，那么
a2＝2a1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝7，
…
像这样给出数列的方法叫做递推法，其中an＝2an－1＋1(n>1)称为递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
4．数列的前n项和
(1)已知数列{an}，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，那么Sn叫做数列{an}的前n项和．S1，S2，S3，…，Sn，…也是一个数列，记为{Sn}．
(2)an与Sn的关系是：an＝
例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，….
变式1 根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3,33,333,3333，…；
(2)1,3,7,15,31，…；
(3)1，，，，，….
例2 已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝an－1＋(n>1)，写出这个数列的前4项．
变式2 已知数列{an}的首项a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，求a2，a3.
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2－n＋1，求an.
变式3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2＝________.
A级
1．已知数列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．数列{an}的通项公式是an＝，则a2a3等于( )
A．70 B．28 C．20 D．8
3．已知数列1，，，，…，，则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
5．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x＝________.
6．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．
7．数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，则数列的前6项依次为____________________．
B级
8．设数列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通项公式是( )
A.(10n－1) B.(1－)
C.(10n－1) D.(10n－1)
9．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是( )
A．9 B．17
C．33 D．65
10．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
11．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，此数列的最大项的值是________．
12．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 013＝________，a2 014＝________.
13．已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋dn－1，且a2＝，a4＝，求an和a10.
详解答案
典型例题
例1 解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母小3.因此把第1项变为－，至此原数列已化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
(4)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得原数列的一个通项公式为an＝.
变式1 解 (1)an＝(10n－1)．
(2)an＝2n－1.
(3)注意到35＝36－1,63＝64－1,99＝100－1，把前两项调整为，，即，，，，，…，这样分母依次为：22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，分子分别为21＋1,22＋1,23＋1,24＋1,25＋1，所以an＝.
例2 解 a1＝1；a2＝a1＋＝1＋1＝2；
a3＝a2＋＝2＋＝；
a4＝a3＋＝＋＝.
变式2 解 令n＝2，a1a2＝22，即a2＝＝4；令n＝3，a1a2a3＝32，即a3＝＝.
例3 解 a1＝S1＝2－1＋1＝2；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n＋1－[(2(n－1)2－(n－1)＋1)]＝4n－3，所以an＝.
变式3 4
解析 令n＝1，得S1＝2(a1－1)，
即a1＝2(a1－1)，解得a1＝2；
令n＝2，得S2＝2(a2－1)，
即a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝4.
强化提高
1．C 2.C 3.B 4.C 5.13 6.－3
7．2,3,5,9,17,33 8.B 9.C
10.
解析 ∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝
＝＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
11．108
12．1 0
解析 2 013＝2 016－3＝4×504－3，故a2 013＝1；由a2n＝an，知a2 014＝a1 007，
又1 007＝1 008－1＝4×252－1，
故a2 014＝a1 007＝0.
13．解 ∵a2＝，a4＝，代入通项公式an中得，解得c＝，d＝2.
∴an＝＋.∴a10＝＋＝.