2020届二轮复习函数与方程思想课件（19张）（全国通用） 19页

- 1 - 函数与方程思想 , 渗透到中学数学的各个领域 , 是历年高考考查的重点和热点 . 一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识从知识运用的交汇处 , 从思想方法和相关能力的结合处进行考查 . - 2 - 1 . 函数的思想 : 是用运动和变化的观点 , 分析和研究数学中的数量关系 , 是对函数概念的本质认识 , 建立函数关系或构造函数 , 运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 , 从而使问题获得解决 . 2 . 方程的思想 : 就是分析数学问题中变量间的等量关系 , 建立方程或方程组 , 或者构造方程 , 通过解方程或方程组 , 或者运用方程的性质去分析、转化问题 , 使问题获得解决 . 方程思想是动中求静 , 研究运动中的等量关系 . 3 . 函数思想与方程思想的联系 : 函数思想与方程思想密切相关 , 对于函数 y=f ( x ), 当 y= 0 时 , 转化为方程 f ( x ) = 0, 也可以把函数 y=f ( x ) 看作二元方程 y-f ( x ) = 0 . 函数与方程的问题可相互转化 . 求方程 f ( x ) = 0 的解就是求函数 y=f ( x ) 的零点 . 求方程 f ( x ) =g ( x ) 的解的问题 , 可以转化为求函数 y=f ( x ) -g ( x ) 与 x 轴的交点问题 . - 3 - 应用一 　 函数思想与方程思想的转换   例 1 设函数 f ( x ) = , g ( x ) =ax 2 +bx ( a , b ∈ R , a ≠ 0), 若 y=f ( x ) 的图象与 y=g ( x ) 的图象有且仅有两个不同的公共点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则下列判断正确的是 ( 　　 ) A. 当 a< 0 时 , x 1 +x 2 < 0, y 1 +y 2 > 0 B. 当 a< 0 时 , x 1 +x 2 > 0, y 1 +y 2 < 0 C. 当 a> 0 时 , x 1 +x 2 < 0, y 1 +y 2 < 0 D. 当 a> 0 时 , x 1 +x 2 > 0, y 1 +y 2 > 0 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 4 - 思维升华 求两个函数 f ( x ), g ( x ) 图象的交点问题通常转化为求函数 F ( x ) =f ( x ) -g ( x ) 的零点问题 . 而函数 F ( x ) 的零点问题也可以转化为两个函数的交点问题 . - 5 - 对点训练 1 (2019 湖南怀化高三一模 , 文 12) 已知函数 f ( x ) =| ln x|-a x ( x> 0,0 e 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 6 - 应用二 　 函数与方程思想在解三角形中的应用   例 2 为了竖一块广告牌 , 要制造三角形支架 , 如图 , 要求 ∠ ACB= 60 ° , BC 的长度大于 1 m, 且 AC 比 AB 长 m, 为了稳固广告牌 , 要求 AC 越短越好 , 则 AC 最短为 ( 　　 ) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 7 - 思维升华 函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题 ( 不一定只是函数问题 ), 构造函数解题是函数思想的一种主要体现 . 方程思想的本质是根据已知得出方程 ( 组 ), 通过解方程 ( 组 ) 解决问题 . - 8 - 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 9 - 应用三 　 函数与方程思想在不等式中的应用   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 10 - 思维升华 1 . 在解决不等式问题时 , 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 , 利用函数的图象和性质解决问题 . 2 . 函数 f ( x ) > 0 或 f ( x ) < 0 恒成立 , 一般可转化为 f ( x ) min > 0 或 f ( x ) max < 0 . 已知恒成立求参数范围可先分离参数 , 再利用函数最值求解 . - 11 - 对点训练 3 (2019 四川凉山高三二诊 , 文 12) 若 x ∈ (0, + ∞ ), ≥ x- ln x+a 恒成立 , 则 a 的最大值为 ( 　　 ) A.1 B . C.0 D. - e 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 12 - 应用四 　 函数与方程思想在数列中的应用   例 4 若正项递增等比数列 { a n } 满足 1 + ( a 2 -a 4 ) + λ ( a 3 -a 5 ) = 0( λ ∈ R ), 则 a 6 + λ a 7 的最小值为 ( 　　 ) A. - 2 B. - 4 C.2 D.4 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 13 - 思维升华 因为数列是自变量为正整数的函数 , 所以根据题目条件构造函数关系 , 把求式子最小值问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路 . - 14 - 对点训练 4 已知在数列 { a n } 中 , 前 n 项和为 S n , 且 最大 值为 ( 　　 ) A .- 3 B .- 1 C . 3 D . 1 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 15 - 应用五 　 函数与方程思想在导数中的应用   例 5 (2019 河北衡水高三模拟 , 文 21) 已知函数 f ( x ) = 2ln x+ x 2 -ax , a ∈ R . (1) 设函数 f ( x ) 在 x=x 0 处的切线方程为 y=g ( x ), 若函数 y=f ( x ) -g ( x ) 是 (0, + ∞ ) 上的单调增函数 , 求 x 0 的值 ; (2) 是否存在一条直线与函数 y=f ( x ) 的图象相切于两个不同的点 ? 并说明理由 . - 16 - 解 (1) 依题意 , 切线方程为 y=f' ( x 0 )( x-x 0 ) +f ( x 0 )( x 0 > 0), 从而 g ( x ) =f' ( x 0 )( x-x 0 ) +f ( x 0 )( x 0 > 0) . 记 p ( x ) =f ( x ) -g ( x ), 则 p ( x ) =f ( x ) -f ( x 0 ) -f' ( x 0 )( x-x 0 ) 在 (0, +∞ ) 上为单调增函数 , 所以 p' ( x ) =f' ( x ) -f' ( x 0 )≥0 在 (0, +∞ ) 上恒成立 , - 17 - (2) 假设存在一条直线与函数 f ( x ) 的图象有两个不同的切点 T 1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ), 不妨设 0 p (1) = 0 . 从而 ① 式不可能成立 , 所以假设不成立 , 从而不存在一条直线与函数 f ( x ) 的图象有两个不同的切点 . - 19 - 思维升华 本题第二步是通过假设存在一条直线与函数 f ( x ) 的图象有两个不同的切点 T 1 ( x 1 , y 1 ), T 2 ( x 2 , y 2 ), 分别写出 T 1 , T 2 处的切线方程 l 1 , l 2 , 消去一个变量 x 2 , 根据方程构造函数 , 利用导数研究函数的最小值大于零 , 否定假设 , 得出结论 . 根据导数的几何意义求解参数 , 一般都是解方程 , 构造新函数 , 然后利用导数研究函数的最值、极值等 .