- 1.33 MB
- 2021-04-17 发布
甘谷一中2019-2020学年第一学期高二第二次检测考试文科数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知全集，，，那么 等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
先解不等式得集合B，再根据补集与交集定义求结果.
【详解】因为，所以，选C.
【点睛】本题考查解不等式以及集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基础题.
2.命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定即可.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，
命题的否定是：，．
故选．
【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定,属于基础题.
3.下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.
【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵，∴A错；∵，∴B错；∵，C错；D正确.
【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.
4.已知函数，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的导函数，代入即得答案.
【详解】根据题意，，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查导函的四则运算，比较基础.
5.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为
A. B.
C. 或 D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出直线与坐标轴的交点，分别讨论椭圆焦点在轴和
轴的情况，利用椭圆的简单性质求解即可．
【详解】直线与坐标轴的交点为，
（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为
则，所求椭圆的标准方程为.
（2）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为
，所求椭圆的标准方程为.
故答案选C
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．
6.直线=与椭圆=的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可得直线=恒过定点，利用点在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关系为相交．
【详解】由题意得直线=恒过定点，而点在椭圆=的内部，所以直线与椭圆相交.故选A．
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的判断，在解题时，利用直线上某点与椭圆的位置来判断直线与椭圆的位置关系．
7.函数的单调减区间是
A. B.
C. ， D.
【答案】A
【解析】
【详解】求解函数的导数可得，求0，由x>0，解得．所以x的取值范围为．
故选A.
8.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
9.函数，的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
先对函数求导，确定函数在区间内的单调性，然后确定其最大值即可．
【详解】因为，
所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即，故选A．
【点睛】本题考查闭区间内函数最值问题，首先需要明白在闭区间内最值≠极值，其次是当时不一定单调递减，反之，当单调递减时，一定有．
10.函数有( )
A. 最大值为1 B. 最小值为1
C. 最大值为 D. 最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.
【详解】解:，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
有最大值为，故选A.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.
11.设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有
所以，所以
又因为，所以，，所以
所以答案选C.
考点：椭圆的简单几何性质.
【此处有视频，请去附件查看】
12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数,利用已知不等式得单调性,再根据单调性可解得不等式的解集.
【详解】因为是奇函数且,所以,
令,则,
因为时, ,所以,所以函数在上为减函数,
所以当时, 化为 ,所以,
当时,,所以等价于等价于,可化为 ,
所以 ,所以,
故选:A
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性解不等式,本题的解题关键是构造出一个函数,能利用已知不等式判断单调性,并能根据单调性解不等式.属于中档题/
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.设或；或，则是的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
可先判断是的什么条件，根据原命题与逆否命题的关系即可得到答案.
【详解】由题意，当成立时，可得是成立的，反之不成立，所以是必要不充分条件，
从而是的充分不必要条件，故答案是：是的充分不必要条件.
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，以及命题的关系，其中解答中熟记充要条件的判定方法，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
14.已知在处的切线方程为，则实数的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
对函数进行求导，通过已知可以求出切线方程的斜率，然后把
代入导函数中，求出实数的值.
【详解】因为，所以，由题意有，所以.
【点睛】本题考查了函数的导数的几何意义.
15.设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
【答案】
【解析】
【分析】
，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．
详解】椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16.已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F
的直线与圆Q切于点P，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】
试题分析：. 由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,.
考点：向量；抛物线的性质.
三、解答题
17.已知，若q是p的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先解不等式化简命题,再根据真子集关系列式可解得答案.
【详解】∵≤2 , ∴p : －2≤x≤10 ,
又∵,所以 ,
因为,所以,∴,
又∵q是p的充分而不必要条件,所以 Ü,
所以且 ,解得,又,
所以.
∴实数m的取值范围
【点睛】本题考查了绝对值不等式,一元二次不等式的解法,根据充分而不必要条件求参数,属于基础题.
18.在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为1，求边．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转
化求解即可．
【详解】（1）∵bcosA+asinB=0
∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0
∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π
∴
（2）∵，S△ABC=1，∴
即：
又
由余弦定理得：
故：
【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．
19.已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率．
求椭圆的方程；
求以点为中点弦所在的直线方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）焦点为，求得,根据离心率，求得,可得,从而可得结果；（2）设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式；转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率，利用点斜式可得结果.
【详解】设椭圆方程为，
由已知，又，解得，所以，
故所求方程为．
由题知直线的斜率存在且不为，
设直线与椭圆相交代入椭圆方程得
作差得，即
得所以直线方程的斜率．
故直线方程是 即．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和利用点差法求中点弦问题,利用设而不求得到斜率，从而求出直线方程. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于
的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
20.已知数列满足（，），且，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知条件可得，即可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，利用错位相减法求其前项和.
【详解】（Ⅰ）证明：∵当时，，
∴．
∴，．
∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）解：
∵， ①
∴，②
①②：，
∴．
【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
21.已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；
（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围
【详解】（1），，
（1），又（1），即切线的斜率，切点为，
曲线在点处的切线方程；
（2）令，，则，
令，则．
当时，，函数在上为增函数，故（1）；
从而，当时，（1）．
即函数在上为增函数，故（1）．
因此，在上恒成立，必须满足．
实数的取值范围为，．
【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.
22.已知抛物线与直线相交于、两点，点为坐标原点 .
（1）当k=1时,求的值；
（2）若的面积等于，求直线的方程.
【答案】（1） （2）或
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；
（2）直接代入三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）设，由题意可知：k=1，∴，
联立y2＝x得：y2-y﹣1＝0显然：△＞0，
∴，
∴（y12）（y22）+y1y2＝（﹣1）2-1＝0，
（2）联立直线 与y2＝x得ky2-y﹣k＝0显然：△＞0，
∴，
∵S△OAB1×|y1﹣y2|，
解得：k＝±，
∴直线l的方程为：2x+3y+2＝0或2x﹣3y+2＝0．
【点睛】
本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．