福建省福州市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测理科数学答案 10页

‎2019－2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎4．只给整数分数。除第16题外，选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B ‎7．C 8．C 9．A 10．B 11．B 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．‎ ‎13． 14．3 15． 16．；‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．【命题意图】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.‎ ‎【解析】解法一：（1）在中，由正弦定理及题设得 ，故， 3分 解得， 4分 ‎ 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 又，所以. 6分 ‎（2）设，则． 在中，由余弦定理得， ， 即，① 7分 在等腰中，有，② 8分 联立①②，解得或（舍去）． 9分 所以为等边三角形，所以， 11分 所以． 12分 解法二：（1）同解法一． 6分 ‎（2）设，则 因为，‎ 所以， 7分 由余弦定理得，‎ 得， 8分 ‎ 所以，解得或（舍去）． 9分 所以为等边三角形，所以， 11分 所以． 12分 ‎18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.‎ ‎【解答】(1)依题意得: ，‎ 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 所以 ， 1分 所以 解得 2分 ‎ 3分 设等比数列的公比为，所以 4分 又 5分 ‎(2)由（1）知，‎ 因为 ①‎ 当时, ② 6分 由①②得，,即, 7分 又当时，不满足上式,‎ ‎ 8分 数列的前2020项的和 ‎ 9分 设 ③， 则 ④，‎ 由③④得： 10分 ‎ 11分 所以,‎ 所以 . 12分 ‎19.【命题意图】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 角等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力和空间想象能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.‎ ‎【解析】解法一：（1）因为底面，平面，‎ 所以. 1分 因为为正方形，所以，‎ 又因为，所以平面. 2分 因为平面，‎ 所以. 3分 因为，为线段的中点，‎ 所以， 4分 又因为，‎ 所以平面 5分 又因为平面，‎ 所以平面平面. 6分 ‎（2）因为底面，，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设正方形的边长为2，则， 7分 所以 设点的坐标为所以 设为平面的法向量， ‎ 则所以 取，则.……………………8分 ‎ 设为平面的法向量， 则所以 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 取，则. 10分 因为平面与平面所成的锐二面角为，‎ 所以， 11分 解得，‎ 故当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为. 12分 解法二：（1）因为底面，平面，‎ 所以平面底面 1分 又平面底面，，平面，‎ 所以平面 2分 因为平面，所以 3分 因为，为线段的中点，所以 4分 因为，所以平面 5分 又因为平面，‎ 所以平面平面 6分 ‎（2）同解法一． 12分 ‎20. 【命题意图】本题考查直线和圆的相切，椭圆的图象和性质，直线和椭圆的位置有关系,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.‎ ‎【解析】（1）因为圆的半径为， ‎ 所以的短轴长为， 1分 所以，解得． 2分 因为的离心率为，所以 ①， 3分 又因为，所以 ②，‎ 联立①② ，解得， 4分 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 所以所求的方程为 5分 ‎（2）证明：证法一：①当直线斜率不存在时, 直线的方程为．‎ 当时，‎ 所以 6分 当时，‎ 所以，‎ 综上，‎ 所以为直角三角形． 7分 ‎②当直线斜率存在时,设其方程为 直线与圆相切, ‎ 即, 8分 由得，,‎ 所以 9分 所以 ‎ 10分 ‎ 11分 所以 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 综上所述: 所以为直角三角形． 12分 证法二：①当直线方程为时, ‎ 所以所以为直角三角形． 6分 ‎②当直线方程为时, ‎ 所以所以为直角三角形． 7分 ‎③当直线不与轴平行时,设其方程为 因为直线与圆相切，所以,即 8分 由得,‎ 所以 9分 ‎ 10分 ‎ 11分 所以所以为直角三角形．‎ 综上所述: 为直角三角形． 12分 ‎21. 【命题意图】本题考查函数和导数的应用，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，函数零点个数等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.‎ ‎【解答】（1）当时，，‎ 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 所以的定义域为R,且故为偶函数． 1分 当时,，‎ 记，所以． 2分 因为，所以在上单调递增，‎ 即在上单调递增， 3分 故， 4分 所以在上单调递增，所以， 5分 因为为偶函数,所以当时,. 6分 ‎（2）①当时，，令，解得，‎ 所以函数有无数个零点，不符合题意； 7分 ②当时，，当且仅当时等号成立，故符合题意； 8分 ③因为，所以是偶函数， 又因为，故是的零点. 9分 当时，，记，则. 1）当时，，‎ 故在单调递增，故当时，即，‎ 故在单调递增，故 所以在没有零点.‎ 因为是偶函数,所以在上有且只有一个零点. 10分 2）当时，当时，存在，使得，且当时，单调递减，故， 11分 即时，，故在单调递减，， 又，所以，‎ 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 由零点存在性定理知在上有零点，又因为是的零点，‎ 故不符合题意； 综上所述，a的取值范围为 12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22. 【命题意图】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆的位置关系，以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.‎ ‎【解答】（1）由，得． 2分 将代入得，， 4分 所以C的直角坐标方程为． 5分 ‎（2）设所对应的参数分别为，‎ 因为直线l的参数方程为为参数‎)‎，所以M在l上, 6分 把l的参数方程代入可得 7分 所以， 8分 所以， 9分 故=. 10分 ‎23. 【命题意图】本题考查含有绝对值的函数的最值，基本不等式的应用等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.‎ ‎【解答】（1）根据题意,函数 2分 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎ 所以为在单调递减，在单调递增， 3分 所以 5分 ‎（2）由(1)知，，所以 6分 又因为为正实数，‎ ‎，，， 8分 所以，即， 9分 所以，‎ 即． 10分 理科数学参考答案及评分细则（第10页 共10页）‎