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- 2021-04-17 发布
成都龙泉中学高三下期4月月考试卷
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集集合则
A.{3} B.{7，8} C.{7，8，9} D.{1，2，3，4，5，6}
2.复数的共轭复数的虚部是
A． B．-1 C．-i D．-i
3、等比数列的首项为，公比为，已知，则
A.或 B. C.或 D.或
4．已知p：，，q：，，则下列命题为真命题的是
A． B. C. D.
5. 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是
A. B. C. D.
6.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是
A B C D
7.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.8 B.9 C.27 D.36
8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
9.若双曲线与椭圆()的离心率之积等于1，则以，，为边长的三角形一定是
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
10．设函数，（为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是
A. B． C． D．
11.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
12.已知圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
13．（且）的展开式中，首末两项的系数之和为，则展开式的中间项为____________.
14．经过坐标原点和点，并且圆心在直线上的圆的方程为
15、已知等差数列的前n项和为，若，则下列四个命题中真命题的序号为 ．
①； ②公差； ③； ④
16. 己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=3，BD=，∠CBD=90°，则球O的体积为____________.
三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17.（本小题满分12分）
已知函数的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中，角的对边分别是，
若，求的取值范围.
18.（本题满分12分）
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（II）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分）
（1）已知的三内角的对边分别为，证明：；
（2）利用（1）的结果解决下面的问题：
500km
A
B
C
D
北
E
如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从A地出发向B地飞行，飞行了后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知，且。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(方位角：由正北方向沿顺时针方向的旋转角。参考数据：)
20.（本小题满分12分）
设各项均为正数的数列的前项和为，且满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和
21.（本题满分12分）
已知函数，．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ) 设，当时，，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线（为参数，）与圆相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）写出直线和圆的极坐标方程；
（2）求的最大值。
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知和是任意非零实数.
（Ⅰ）求的最小值．
（Ⅱ）对和是任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
成都龙泉中学高三下期4月月考试卷
数学（理工类）参考答案
1—5 CBCCD 6—10 BBDDD 11—12 CC
13.160 14. 15.①② 16．
17.【解】（Ⅰ）由图像知，，∴，
由图像可知，， ∴， ∴，
∴， 又∵， ∴， ∴.
（Ⅱ）依题设，，
∴，
即，
∴， 又， ∴. ∴.
由（Ⅰ）知，
，
又∵， ∴， ∴，
∴的取值范围是.
18.解：：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，
则 ……3分
（2）依题意，的可能取值为，，．
左手所取的两球颜色相同的概率为
右手所取的两球颜色相同的概率为
……8分
所以的分布列为：
……10分
……12分
19.【解析】（1）证明：利用向量证明：
在中，以为基向量，由已知得与的夹角为
500km
A
B
C
D
北
E
又，则，所以………………4分
（2）解：如图，连接，在中由余弦定理，得：
，
则，
则，即是直角三角形，且，又，则，…………6分
在中，由余弦定理，则有：，则6分
又则是等腰三角形，且，
由已知有，
在中，由余弦定理，有…………9分
又，则。
由飞机出发时的方位角为，则飞机由E地改飞C地的方位角为：
…………………………………………………11分
答：收到命令时飞机应该沿方位角的航向飞行，E地离C地。………12分
21. 解：(Ⅰ)依题意，函数的定义域为，对求导，得．
(1)若，对一切有，函数的单调递增区间是．
(2)若，当时，；当时，．
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．……… 2分
(Ⅱ) ，．
(1)当时，因为，所以，
在上递增，恒成立，符合题意． ……… 4分
(2)当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．
所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．
综合(1),(2)可知，所求实数的取值范围是． ……… 7分
(Ⅲ) 设切线的方程为，切点为，则，
，所以，，则． ……8分
由题意知，切线的斜率为，的方程为．
设与曲线的切点为，则，
所以，．
又因为，消去和后，整理得．… 10分
令，则，在上单调递减，在上单调递增．
若，因为，，所以，
而在上单调递减，所以．
若，因为在上单调递增，且，则，
所以（舍去）．
综上可知，． ……… 12分
22.解：（1）直线的极坐标方程为，-------------2分
圆的极坐标方程为。 - 5分
（2）将代入，得，
设两点对应的极径分别为，则，---7分
于是，且，
故的最大值。 --10分
23解：（I）对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当时取等号，
的最小值等于4． 5分
（II） 恒成立，故不大于的最小值,由（I）可知的最小值等于4．
实数x的取值范围即为不等式的解．
解不等式得 10分