人教版九年级数学上册专题训练(九)旋转变换在几何解题中的应用 13页

第二十三章　旋转 人教版 专题训练(九)　旋转变换在几何解题中的应用 1 ．点 P 是等边三角形 ABC 内的一点，若 PA ＝ 12 ， PB ＝ 5 ， PC ＝ 13 ， 求∠ BPA 的度数． 解：如图，将△ APB 绕点 B 顺时针方向旋转 60° 得△ CP′B ， 则△ APB≌△CP′B ，∴∠ BPA ＝∠ BP′C ， P′B ＝ PB ＝ 5 ， P′C ＝ PA ＝ 12.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ PBP′ ＝ 60° ， 又∵ P′B ＝ PB ＝ 5 ，∴△ PBP′ 也是等边三角形，即∠ PP′B ＝ 60° ， PP′ ＝ 5. 在△ PP′C 中， PC ＝ 13 ， PP′ ＝ 5 ， P′C ＝ 12 ， ∴ PC 2 ＝ PP′ 2 ＋ P′C 2 . 即∠ PP′C ＝ 90°. ∴∠BPA ＝∠ BP′C ＝ 60° ＋ 90° ＝ 150° 3 ．如图，在 Rt △ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ， 点 D 、 E 是 BC 边上的任意两点，且∠ DAE ＝ 45°. 探究线段 BD ， EC 和 DE 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由 . 解：如图，将△ ABD 绕点 A 逆时针方向旋转 90° 得△ ACF ，连接 EF ， 则△ ABD≌△ACF ，∴ AF ＝ AD ， CF ＝ BD ，∠ DAF ＝ 90° ， ∵∠ DAE ＝ 45° ，∴∠ DAE ＝∠ FAE ＝ 45° ，又∵ AE ＝ AE ，∴△ DAE≌△FAE ，∴ EF ＝ DE ，∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 90° ，∴∠ B ＝∠ ACB ＝ 45° ，∴∠ ACF ＝ 45° ，∴∠ ECF ＝∠ ACB ＋∠ ACF ＝ 90° ，∴ EF 2 ＝ EC 2 ＋ FC 2 ，∴ DE 2 ＝ EC 2 ＋ BD 2 135 ° 5 ．正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点． (1) 将△ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD 、 AB 重合，得到△ ABF ， 如图①所示．观察可知： 与 DE 相等的线段是 ____ ，∠ AFB ＝∠ _______ ； (2) 如图②，正方形 ABCD 中， P 、 Q 分别是 BC 、 CD 边上的点， 且∠ PAQ ＝ 45° ，试通过旋转的方式说明 DQ ＋ BP ＝ PQ ； (3) 在 (2) 题中，连接 BD 分别交 AP 、 AQ 于点 M 、 N ， 你还能用旋转的思想说明 BM 2 ＋ DN 2 ＝ MN 2 吗？ BF AED 解： (2) 将△ ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ，则 AD 与 AB 重合， 得到△ ABE ，如答图②，则∠ D ＝∠ ABE ＝ 90° ，即点 E 、 B 、 P 共线， ∠ EAQ ＝∠ BAD ＝ 90° ， AE ＝ AQ ， BE ＝ DQ ，∵∠ PAQ ＝ 45° ， ∴∠ PAE ＝ 45° ＝∠ PAQ ，又∵ AP ＝ AP ，∴△ APE≌△APQ( SAS ) ， ∴ PE ＝ PQ ，而 PE ＝ PB ＋ BE ＝ PB ＋ DQ ，∴ DQ ＋ BP ＝ PQ (3) 如答图③，∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ ABD ＝∠ ADB ＝ 45° ， 如图，将△ ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ，则 AD 与 AB 重合， 得到△ ABK ，则∠ ABK ＝∠ ADN ＝ 45° ， BK ＝ DN ， AK ＝ AN ， 与 (2) 一样可证明△ AMN≌△AMK ，得到 MN ＝ MK ， ∵∠ MBA ＋∠ KBA ＝ 45° ＋ 45° ＝ 90° ，∴△ BMK 为直角三角形， ∴ BK 2 ＋ BM 2 ＝ MK 2 ，∴ BM 2 ＋ DN 2 ＝ MN 2