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- 2021-04-17 发布
拉萨中学高三年级（2017 届）第四次月考理科数学试
卷
命题： 审定：
（满分150 分 考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 A= 2,0,2 ，B= 02-| 2 xxx ，则 BA ( )
A. B. 2 C. 0 D. 2
2．已知两条直线 y＝ax－2 与 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则 a 等于( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
3. 已知向量 a =4, b =8, a 与b 的夹角为 60 ，则 ba2 ( )
A.8 3 B. 6 3 C. 5 3 D.8 2
4．中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，
则此椭圆的方程是( )
A. 81
2x ＋
72
2y ＝1 B 81
2x ＋
9
2y ＝1
C. 81
2x ＋
45
2y ＝1 D. 81
2x ＋
36
2y ＝1
5.“函数 f(x)=ax+3 在(-1,2)上存在零点”是“3＜a＜4”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件【来源：全,品…中&高*考+网】
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 在各项均为正数的等比数列 na 中，a2 , aa 13,2
1 成等差数列，则公比 q 为
（ ）
A．
2
53 B．
2
53 C．
2
51 D．
2
51
7.设实数 x,y 满足约束条件
0,0
04
022
yx
yx
yx
目标函数 z=x-y 的取值范围为( )
A．
2,3
8 B．
0,3
8 C． 4,0 D．
4,3
8
8．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点( 3
4 ，0)中心对称，那么|φ|的最小值为
( )
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
【来源：全,
品…中&高*考+网】
9．设 F1、F2 分别是双曲线
5
2x －
4
2y ＝1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且
1PF · 2PF ＝0，则| 1PF ＋ 2PF |等于( )
A．3 B．6 C．1 D．2
10．由直线 x＝
2
1 ，x＝2，曲线 y＝
x
1 及 x 轴所围图形的面积为( )
A. 4
15 B. 4
17 C. 2
1 ln2 D．2ln2
11. 已知双曲线 2
22
9 b
yx 1(b＞0)，过其右焦点 F 作圆 922 yx 的两条切线，切
点记作 C，D,双曲线的右顶点为 E,∠CED= 150 ，其双曲线的离心率为( )
A.
9
32 B. 2
3 C.
3
32 D. 3
12.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x，恒有 f(x)-f(-x)=0，
当 0,1x ， )1(2)( xexxf .若 xogxfxg a1)()( 在 ),0( x 有且仅有三个零
点，则 a 的取值范围为（ ）
A. 5,3 B.(3,5) C. 6,4 D.(4,6)
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12 的值是 ．
14.函数 xxy cos3sin 在区间
2,0 上的最小值为
15．已知 A(2,2)、B(－5,1)、C(3，－5)，则△ABC 的外心的坐标为_________．
16．过抛物线 y2＝4x 的焦点，作倾斜角为
4
3 的直线交抛物线于 P，Q 两点，O
为坐标原点，则△POQ 的面积等于_________．
三、解答题（6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分 12 分）
（1）圆 C 与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求圆 C
的标准方程．
（2）双曲线 C 与椭圆
8
2x ＋
4
2y ＝1 有相同的焦点，直线 y＝x 为 C 的一条渐近
线．求双曲线 C 的方程．
18、（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 cba ,, 且 BcBaCb coscos3cos
(1)求 Bcos 的值；
(2)若 2. BCBA ，且 22b ，求△ABC 的面积.
19、（本小题满分 12 分）
已知数列 na 首项为 1， 121
n
n
n a
aa ．
（1）证明：数列
na
1 是等差数列，并求 na 的通项公式；
（2）记数列 1nnaa 的前 n 项和为 nT ，证明： nT ＜
2
1 ．
20、（本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)= x
nxa 1 在 x=1 处取得极值.
（1）求 a 的值，并讨论函数 f(x)的单调性；
（2）当 ),1 x 时，f(x) x
m
1
恒成立，求实数 m 的取值范围．
21、（本小题满分 12 分）
已 知 椭 圆 C ： ab
y
a
x (12
2
2
2
＞ b ＞ 0) 的 右 焦 点 2F 和 上 顶 点 B 在 直 线
0333 yx 上， M 、 N 为椭圆C 上不同两点，且满足
4
1 BNBM kk ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）证明：直线 MN 恒过定点；
（3）求△BMN 的面积的最大值，并求此时 MN 直线的方程．
请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做
答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分 10 分） 选修 4-4:极坐标与参数方程选讲：
在直角坐标系 xOy 中，半圆C 的参数
sin
cos1
y
x 方程为（ 为参数， 0 ），
以 O
为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的极坐标方程 35)cos3(sin p 是，射线 OM：
3
与半圆
C 的交点为 P，与直线l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长.
23、 （本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
已知函数 31)( xxxf ．
（Ⅰ）求不等式 6)( xf 的解集；
（Ⅱ）若关于 的不等式 )3(1)( 2
2 aaogxf ＞2 恒成立，求实数a 的取值范围．
拉萨中学 2017 届高三第四次月考理科数学参考答案
一、选择题（5 分×12=60 分）
题号 1 2【来源：全,品…中&高*考+
网】
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A A B C D【来源：全,品…中&高*考
+网】
A B D C B
二、填空题（5 分×4=20 分）
13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、
三、解答题（共 6 个小题 70 分）
17、（本小题满分 12 分）
解：(1)设所求圆的圆心为 ，半径为 ，
又 OA⊥l，所以 ，即 ；
又圆 过点 A(3,6)，B(5,2)，所以 ，即 ‚；
由 、‚得 ，故圆 的标准方程为：
（2）设双曲线方程为 ，
由椭圆 ，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线 C：c＝2.
又 为双曲线 C 的一条渐近线，
∴
b
a＝，解得 a2＝1，b2＝3，
∴双曲线 C 的方程为 x2－
y2
3 ＝1.
18、（本小题满分 12 分）
解：（1）由正弦定理得 ，
则
故
可得
即
因此得 ， ，得
（2）解：由 ,可得 ，
又 ，故 ，又 ，所以
19、（本小题满分 12 分）
解：（1）由 可得 即 ，
又 即 ，∴ 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ 即 ；
（2）由（1）知 ，
∴ ，
∴ ．
20、（本小题满分 12 分）
解 ： （ 1 ） 由 题 知 ， 又 ， 即 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 单调递减；
（2）依题意知，当 时， 恒成立，即 ，
令 ，只需 即可。
又 ，令 ， ，
所以 在 上递增， ， ，所以 在 上递
增，
，故
21、（本小题满分 12 分）
解：（1）依题椭圆的右焦点为 ，上顶点为 ，
故 ， ， ，
∴ 所求椭圆标准方程为 ；
（2）由（1）知 ，设 、 ，
当直线 斜率不存在，则 ， ，又 ，
∴ 不符合，
‚当斜率存在时，设直线 方程为 ，
由 消去 得： ，
∴ 且 ，又 ，【来源：全,品…中&高*考+网】
∴ 即 ，
又 ， ，
代入（*）化简得 ，解得 或 ，
又 ，∴ ，即 ，
∴ 直线恒过定点 ；
（3）由 且 ，可得 ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
又 ， ，
∴ ，
即 ，
当且仅当 即 时， 面积有最大值为 ，
此时直线的方程为 或 ．
22、（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）半圆 C 的普通方程为 ，又 ，
所以半圆 C 的极坐标方程是 ．
（Ⅱ）设 为点 的极坐标，则有 ，解得 ，
设 为点 的极坐标，则有 解得 ，
由于 ，所以 ，所以 的长为 4．
23、（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）原不等式等价于
或
解得： .
即不等式的解集为 ．
（Ⅱ）不等式 等价于 ，
因为 ，所以 的最小值为 4，
于是 即 所以 或 .