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- 2021-04-17 发布
2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题）
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
2. 不等式组，表示的平面区域为
A. B. C. D.
3. 直线l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为
A. 6 B. 1 C. D. 3
4. 设l是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5. 若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
6. 若直线：与直线：垂直，则实数a的值是
A. B. 1 C. D. 2
7. 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点P的最短弦为AB，则AB的长是
A. B. C. D.
8. 在正方体中，当点E在与，不重合上运动时，总有：
；平面平面；
平面； ．
以上四个推断中正确的是
A. B. C. D.
9. 若直线：与直线平行，则
A. 2或 B. 2 C. D. 以上都不对
10. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为
A. B.
C. D.
11. 点为圆内弦AB的中点，则直线AB的方程为
A. B. C. D.
12. 已知直线：与圆：交于A、B两点，P为该圆上异于A、B的动点，则的面积的最大值为
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
二、填空题（本大题共4小题）
13. 已知圆与圆求两圆公共弦所在直线的方程______．
14. 已知长方体的长，宽，高，分别为2，1，1，则长方体的外接球的表面积是______．
15. 若x，y满足约束条件，则的最大值与最小值的和为______．
16. 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围______．
三、解答题（本大题共6小题）
1. 已知直线l的方程为
Ⅰ求过点，且与直线l垂直的直线方程；
Ⅱ求与直线l平行，且到点的距离为的直线的方程．
2. 已知圆C：，过原点的直线l与圆C有公共点．
求直线l斜率k的取值范围；
已知O为坐标原点，点P为圆C上的任意一点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
求角A；
若，，求的面积．
4. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，底面ABCD，E是PC的中点．求证：
Ⅰ平面BDE；
Ⅱ平面平面BDE．
1. 已知数列是等差数列，首项，为其前n项和，且，
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和．
2.
已知点，圆C：．
求过点M且与圆C相切的直线方程；
若直线与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设直线的倾斜角为．
由直线化为，
，
，．
故选：C．
设直线的倾斜角为由直线化为，可得，即可得出．
本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为不等式，表示直线的上半部分．，表示直线的下半部分，
根据二元一次不等式组表示平面区域，得到不等式组的对应区域的图象为：
故选：B．
根据二元一次不等式组表示平面区域，确定不等式组所表示的图形即可．
本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，比较基础．
3.【答案】D
【解析】解：直线l：与x，y轴的交点为，，
则围成的三角形的面积为．
故选：D．
求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求．
本题考查直线方程的运用，考查三角形的面积求法，化简运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于若，，则或，相交，故A错；
对于若，，则由线面平行的性质定理，得过l的平面，即有，
，再由面面垂直的判定定理，得，故B对；
对于若，，则或，故C错；
对于若，，若l平行于，的交线，则，故D错．
故选：B．
由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B
；
由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D．
本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，方程表示一个圆，
则有，
解的，即m的取值范围为；
故选：C．
根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：直线：与直线：垂直，
则，
解得．
故选：A．
根据两直线垂直时列出方程，解方程即可．
本题考查了直线方程的垂直关系应用问题，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由条件可知圆心，则过点P的直径斜率为，所以与该直径垂直的弦的斜率为，
则该弦所在直线为，即，
则圆心到该直线的距离，
所以弦，
故选：D．
根据经过P点的最短的弦是与经过P点的直径垂直的弦即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，能利用经过P点的最短的弦是与经过P点的直径垂直的弦解题是关键，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：只有当E与重合时，，故错误；
过E作，只有当时，才有平面，
可得平面平面，故错误；
由，，可得平面平面，又平面，
可得平面，故正确；
，，可得平面，即有，
同理可得，即有平面，平面，
可得，故正确．
故选：D．
由线线平行的性质可判断；由面面垂直的判定定理可判断；由线面平行的判定定理可判断；由线面垂直的判断和性质可判断．
本题考查线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定定理和性质定理的运用，考查推理能力，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：直线：与直线平行，
，解得，或
当时，两直线重合．
故选：C．
由直线平行可得，解方程验证可得．
本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准式方程，是一道中档题．
由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标且a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．
【解答】
解：设圆心为，
由题意知圆心到直线的距离，解得，所以圆心坐标为
则圆C的方程为：，化简得
故选：D．
11.【答案】C
【解析】解：由圆，得到圆心C坐标为，
又，，
弦AB所在的直线方程斜率为，又P为AB的中点，
则直线AB的方程为，即．
故选：C．
由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由P与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由题意，圆心到直线的距离为，
为定长，的面积最大时，P到AB的距离最大
到AB的最大距离为
的面积的最大值为
故选：C．
先求AB的长，再求P到AB的最大距离，利用三角形的面积公式，即可求得结论．
本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：圆与圆；
由，
得，
即，
所以两圆公共弦所在直线的方程为．
故答案为：．
利用两圆的方程相减，即可得出两圆公共弦所在的直线方程．
本题考查了由圆的方程求两圆公共弦所在直线方程的应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：长方体的长，宽，高分别为2，1，1，
则长方体的对角线长为，
长方体外接球的直径为，
所以外接球的表面积是．
故答案为：．
根据长方体的对角线长为外接球的直径，由此求出外接球的表面积．
本题考查了长方体外接球的表面积计算问题，其中长方体的对角线是外接球的直径是解题的关键，是基础题．
15.【答案】4
【解析】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：阴影部分．
由得，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线，即直线经过点B时，截距最大，此时z最大，
由，解得，
此时是最小值
经过的交点时，截距最大，此时z最小，为，
则最大值与最小值的和为4，
故答案为：4．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的最大值和最小值．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
作出半圆与直线如图，
由图可知，要使直线与曲线有公共点，
则b的取值范围是
故答案为：
把曲线方程变形，画出图形，数形结合即可求得b的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
17.【答案】解：Ⅰ设与直线l：垂直的直线的方程为：，
把点代入可得，，解得．
过点，且与直线l垂直的直线方程为：；
Ⅱ设与直线l：平行的直线的方程为：，
点到直线的距离为．
，
解得或．
直线方程为：或．
【解析】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
Ⅰ设与直线l：垂直的直线的方程为：，把点代入解得m即可；
Ⅱ设与直线l：平行的直线的方程为：，由于点到直线的距离为可得，解得c即可得出．
18.【答案】解：由，得，
直线l过原点，可设其方程为，
直线l与圆C有公共点，
，解得；
设，，
为OP的中点，，，
代入圆C：，得，
即．
【解析】设直线l的方程为，由直线l与圆C有公共点，可得，求解可得直线l斜率k的取值范围；
设，，利用中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，再把P的坐标代入圆的方程即可求得线段OP的中点M的轨迹方程．
本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用“交轨法”求曲线方程，是基础题．
19.【答案】解：在三角形ABC中，，
由正弦定理得：，
化为：，
，解得．
．
由余弦定理得，
，，
，
化为，
所以三角形ABC的面积．
【解析】，由正弦定理得：，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得，解得A．
由余弦定理得，把，，代入可得bc，可得三角形ABC
的面积．
本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：Ⅰ连接OE．
是AC的中点，E是PC的中点，
，
又平面BDE，平面BDE，
平面BDE．
Ⅱ底面ABCD，
，
又，且，
平面PAC．
平面BDE，
平面平面BDE．
【解析】对，通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行．
对，只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可．
本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线线平行线面平行；二是面面平行线面平行．
证明面面垂直的常用方法是：线面垂直面面垂直．
21.【答案】解：数列是公差为d的等差数列，首项，为其前n项和，且，
可得，解得，
则的通项公式为，；
，
前n项和
．
【解析】等差数列的公差设为d，由等差数列的求和公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；
求得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
22.【答案】解：由圆C：，得圆心坐标为，半径．
当直线斜率不存在时，直线与圆C显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
方程为，即．
故过点M且与圆C相切的直线方程为或；
弦长AB为，半径为2．
圆心到直线的距离，
，解得．
【解析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，当直线斜率不存在时，直线与圆C显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则圆的切线方程可求；
写出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解a值．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式及垂径定理的应用，是中档题．