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- 2021-04-17 发布
北京市第四十四中学高二下诊断性测试数学试卷
一、选择题
1.已知幂函数的图象经过点（2，4），则的解析式（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设 ，故选B.
2.( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式求解即可.
【详解】
故选：D
【点睛】本题主要考查了诱导公式化简求值，属于基础题.
3.的值为 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的方程求出焦点坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离．
【详解】双曲线x2﹣=1的焦点F（2，0），一条渐近线的方程为 y= x，
由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为 =，
故选B．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
5. 下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（ ）
A. B. y=x﹣1 C. y=x3 D. y=2x
【答案】C
【解析】
试题分析：定义域为[0，+∞）不关于原点对称，；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f（﹣x）=f（x）．
解：定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数．
故选C
考点：奇偶性与单调性的综合．
6.为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可得，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可.
详解】解：由，
则，
则复数在复平面内对应的点的坐标为，
即复数在复平面内对应的点位于第二象限，
故选：B.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限，属基础题.
7.设，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】在上单调递增，
，即
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，属于中档题.
8.已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式及条件，求得公差，即可求得的值.
【详解】等差数列中，，
由等差数列通项公式可知
解得
所以
故选：B
【点睛】本题考查了等差数列通项公式简单应用，属于基础题.
9.若，则下列结论不正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，可得，，，
当时，，D不正确.
故选D.
10.在等比数列中，，，若，则等于( )
A. 9 B. 10 C. 16 D. 17
【答案】D
【解析】
分析】
设公比为，由求出，再由，即可得出答案.
【详解】设公比为，，解得
，则，即
故选：D
【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的计算，属于中档题.
11.设，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由平方关系得出，再结合诱导公式以及商数关系得出答案.
【详解】
故选：A
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.
12.已知函数，则与两函数图象的交点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】在同一坐标系画出函数，
g（x）=log2x的图象如下图所示：
由图可得f（x）与g（x）两函数图象的交点个数为2个
故选C．
13.把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时的值变为原来的倍，得到答案．
【详解】解：向左平移个单位，即以代，得到函数，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以代，得到函数：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的变换，属于基础题．
14.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】∵函数单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
15.已知函数，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案.
【详解】，
由，得
当时，，即该函数图象的一条对称轴方程为
故选：D
【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.
16.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
分，两种情况，焦点分别在x,y轴上讨论，结合即得解.
【详解】由题意知，
当时，，，，
所以，
解得；
当时，，，，
所以，
解得.
故选：B
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和离心率，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
17.已知数列中，，，则的值是( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用递推公式得出的值，即可得出的值.
【详解】，则
，则
，则
，则
故选：A
【点睛】本题主要考查了由递推公式写出数列的项，属于中档题.
18.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P
到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A.
考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键.
19.某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案.
【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有种，再选2名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种
当有二名女生入选时，选选2名女生，有种，再选1名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种
所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.
20.已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，，则( )
A. 4.5 B. C. 0.5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得出，结合偶函数的性质，即可得出的值.
【详解】
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据周期求函数值以及奇偶性应用，属于中档题.
二、填空题
21.抛物线的准线方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程．
【详解】由抛物线方程可知，抛物线的准线方程为：．
故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题．
22.不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】
将分式不等式转化为，由一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，则，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式不等式，涉及了一元二次不等式的解法，属于中档题.
23.当时，函数的最小值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由可得，由基本不等式可得，可求答案．
【详解】解：，由基本不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为3.
故答案为：3
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，要注意配凑积为定值，同时考查学生灵活变形及选用知识的能力．
24.设等差数列的前项和为，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质、前n项和公式可得，代入即可得解.
【详解】数列为等差数列，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列性质及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
25.的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
26.函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：被开方数大于等于零，对数真数大于零，所以.
考点：定义域.
【思路点晴】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于；④含，则；⑤含，则.
27.如果复数（其中是虚数单位）是实数，则实数___________.
【答案】
【解析】
【详解】由复数的运算法则可知，
因为复数是实数，则.
28.已知的展开式的二项式系数之和为16，则______；设为虚数单位，复数的运算结果为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由题意结合二项式系数的性质可得，即可得；转化条件为，由复数的运算法则即可得解.
【详解】的展开式的二项式系数之和为16，
，解得，
.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了二项式系数性质的应用，考查了复数运算法则的应用与运算求解能力，属于基础题.
29.从0、2、4中取一个数字，从1、3、5
中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是______（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分为从0、2、4中取一个数字0，从0、2、4中取一个数字不是0分类，由分步乘法计数原理结合排列、组合的知识即可得解.
【详解】由题意，要从0、2、4中取一个数字，从1、3、5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，可以分成两种情况：
第一种，当从0、2、4中取一个数字0，而从1、3、5中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；
第二种，当从0、2、4中取一个数字不是0，而从1、3、5中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；
综上，所有不同的三位数的个数是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
30.某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有______（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，由分类计数原理结合排列、组合的知识，计算即可得解.
【详解】由题意，满足要求的情况可分为三种：
①每个班接收1名同学，分配方案共有种；
②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名，分配方案共有种；
③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有种；
所以不同的分配方案有种.
故答案为：.
【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
31.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点为记为，则______；______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由题意归纳可得，即可求得；由，利用裂项相消法即可得解.
【详解】由图可以得到，， ，
依次类推，则有，所以；
所以，
所以
.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了数列通项的应用与裂项相消法求数列前n项和的应用，属于中档题.
32.中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率
考点：椭圆离心率
三、解答题
33.已知函数.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）求的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，代入即可得解；
（2）令，化简即可得解；
（3）由，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意可得
，
所以；
（2）由，解得，
所以的单调递增区间为；
（3）由（1）得，
所以的最大值为1.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角形性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
34.已知数列是等差数列，，，数列的前项和是，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证数列是等比数列；
（3）记，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合等差数列的通项公式可得，解出，后即可得解；
（2）由题意结合数列与的关系可得，即可得证；
（3）由题意可得，利用作商法可得，由即可得证.
【详解】（1）设的公差为，则，，
，，，解得，，
；
（2）证明：当时，，由可得，
当时，，，
，即，，
是以为首项，为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）可知：，
，
由，可得，
，
，，，
.
【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的综合应用，考查了数列与关系的应用与数列单调性的证明，属于中档题.
35.已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线：交椭圆于不同的两点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且，求的值（点为坐标原点）；
（3）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合椭圆的性质可得，利用求得后即可得解；
（2）由题意直线：，设点，，联立方程可得，，代入后，化简即可得，即可得解；
（3）由题意结合点到直线的距离公式可得，联立方程组可得，
，进而可得，分、讨论，利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
则，解得，所以，
所以椭圆方程为；
（2）当时，直线：，设点，，
则，化简可得，
，
所以，，
所以
，
所以即；
（3）由坐标原点到直线的距离为，可得，
所以，
则，化简可得，
，
所以，，
所以
，
当时，；
当时，，
因，当且仅当时，等号成立，
所以，此时；
综上，，
所以面积的最大值.
【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题.