2019-2020学年河北省保定市高二上学期阶段（二）联考数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年河北省保定市高二上学期阶段（二）联考数学试题 一、单选题 ‎1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，0） C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的标准方程为，即，开口向上，焦点在轴的正半轴上，‎ 故焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2．已知命题，总有，则为（　　）‎ A． 使得 B． 使得 C． 总有 D．,总有 ‎【答案】B ‎【解析】利用全称命题的否定解答即得解.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3．在△ABC中，“A＞60°”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】 因为为的内角，则，‎ ‎ 又由，则， 而当时，，‎ ‎ 所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎4．一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表 （单位：辆）：‎ 轿车甲 轿车乙 轿车丙 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则的值为 ．‎ A．300 B．400 C．450 D．600‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据甲类轿车抽取的数量可求得抽样比，从而构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知抽样比为：‎ 则：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机抽样中的分层抽样，属于基础题.‎ ‎5．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克士，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】所有的抽取方法共有10种 ，而相克的有5种情况，由此求得抽取的两种物质相克的概率，再用1减去此概率，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有种，而相克的有5中情况，‎ 则抽取的两种物质相克的概率是，‎ 故抽取的两种物质不相克的概率是，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中求得基本事件的总数，事件和它的对立事件的概率之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，第二节课的上课时间为：，时长分钟 若听第二节课的时间不少于分钟，则需在之间到达教室，时长分钟 听第二节课的时间不少于分钟的概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.‎ ‎7．在圆x2+y2＝4上任取一点，则该点到直线的距离d∈[0，1]的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，求出满足条件的圆弧，再用弧长之比求出即可.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ 直线与，由于，所以直线与圆相切，‎ 而直线到圆心的距离为，‎ 所以要使点到直线的距离，‎ 只需点落在直线与直线所夹的圆弧上，‎ 由，，所以圆心角为，即圆的圆心角的.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的应用，属于基础题.‎ ‎8．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 由对称性，不妨取，即．‎ 又曲线化为，‎ 则其圆心的坐标为，半径为．‎ 由题得，圆心到直线的距离，‎ 又由点到直线的距离公式．可得．‎ 解得，所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎9．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C．- D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 直三棱柱中，，，为的中点．‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，0，，，2，，，0，，，0，，‎ ‎，2，，，0，，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（　　）‎ A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．‎ B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．‎ C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用图表中的数据进行分析即可求解.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；‎ 对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；‎ 对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；‎ 对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.‎ ‎11．如图，是双曲线的左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点．若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，利用双曲线的定义求出和的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 由双曲线的定义得：，解得：，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.‎ ‎12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，计算∠BCB1＝30°，得到计算得到.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，‎ 由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，‎ ‎∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，‎ ‎∴∠BCB1＝30°，‎ ‎∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，‎ 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，‎ 设l交x轴于K，‎ 则，即，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝3x 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程，做辅助线判断△AA1F为等边三角形是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是BC，AD的中点，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出，进而得出.‎ ‎【详解】‎ 如图，四面体是正四面体，‎ 四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为，‎ 又点E、F分别是BC，AD的中点，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题．‎ ‎14．某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛，在竞赛中他们取得成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生成绩的中位数是86．若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名，则至少有1名学生来自甲班的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意求出．成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意,根据茎叶图可知， 解得，‎ 成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，‎ 随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为_____‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为和，因此连接，，由椭圆的定义得，再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点在延长线上时，达到最大值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆方程为，焦点坐标为和，如图：‎ 连接，，根据椭圆的定义，得，可得，‎ 因此，‎ 又，‎ ‎，‎ 当且仅当点在延长线上时，等号成立.‎ 综上所述，的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆内部一点，求椭圆上动点与点和一个焦点的距离和的最大值，考查了椭圆的定义，标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题.‎ ‎16．过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由焦点到渐近线距离等于得 因此 ，再由角平分线性质得 ，因此 ‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1＝0有实数根，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】0＜m＜1.‎ ‎【解析】分别求出命题为真命题时的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解．‎ ‎【详解】‎ 若命题p为真，则有△＝4m2﹣4≥0，解得m≤﹣1或m≥1，‎ 当p为假时有﹣1＜m＜1． ‎ 若命题q为真，则有，即解得0＜m＜15． ‎ 因为“﹁q”为假命题，“p∧q”为假命题，‎ 所以q为真命题，p为假命题．…‎ 于是由解得0＜m＜1．‎ 故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎18．已知点及圆.‎ ‎（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；‎ ‎（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1) 或；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D（x，y），利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程 试题解析：（1）解法一：如图所示，AB＝4‎ ‎，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，‎ 在Rt△ACD中，可得CD＝2．‎ 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，‎ 即kx－y＋5＝0．‎ 由点C到直线AB的距离公式：‎ ‎＝2，得k＝．‎ k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0．‎ 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0．‎ ‎∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0．‎ ‎（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），‎ 则CD⊥PD，即 ‎（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．‎ ‎【考点】1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题 ‎19．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y0）为抛物线上一点，且|AF|＝4．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若，其中O为坐标原点，求m的值．‎ ‎【答案】（1）y2＝8x； （2）﹣11.‎ ‎【解析】（1）由抛物线的定义到焦点的距离，转化为到准线的距离求出的值，即可求出抛物线方程；‎ ‎（2）直线与抛物线联立，由根与系数的关系，由向量数量积即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）已知抛物线y2＝2px（p＞0）过点A（2，y0），‎ 且|AF|＝4则，‎ ‎∴p＝4，‎ 故抛物线的方程为y2＝8x；‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立 ，得x2+（2m﹣8）x+m2＝0，‎ ‎△＝（2m﹣8）2﹣4m2＞0，得m＜2，‎ ‎∴x1+x2＝8﹣2m，，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴m＝﹣11或m＝3，‎ ‎∵m＜2，∴m＝﹣11．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎20．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M、N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1＝AB＝BM＝2，∠A1AB＝60°．‎ ‎（1）求证：BN⊥平面A1B1C1；‎ ‎（2）求二面角A1﹣AB﹣M的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）要证平面，只需证明，；‎ ‎（2）建立坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接MN，A1B，‎ ‎∵侧面是ABB1A1菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1为正三角形．‎ ‎∵N是A1B1的中点，∴BN⊥A1B1，‎ ‎∵AA1＝AB＝BM＝2，∴BN＝，MN＝1，∴BN2+MN2＝BM2，∴BN⊥MN，‎ ‎∵A1B1∩MN＝N，∴BN⊥平面A1B1C1；‎ ‎（2）取AB的中点E，连接A1E，则A1E∥BN，由（1）知A1E⊥平面ABC，‎ 以E为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则E（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），B1（2，0，），‎ 设M（x，y，z），由得，‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ 平面ABA1的一个法向量为（0，1，0），‎ 设平面MAB的法向量（x，y，z），则 ，‎ ‎∴（0，﹣2，1），‎ ‎∴ ，‎ ‎∴二面角A1﹣AB﹣M的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎21．某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据 年份编号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 加装户数y ‎34‎ ‎95‎ ‎124‎ ‎181‎ ‎216‎ ‎（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；‎ ‎（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；‎ ‎（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）‎ 参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ‎ ‎【答案】（Ⅰ）265户；‎ ‎（Ⅱ）（1）36户；（2）199元.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用线性回归方程得定义，分别求出相关数据，即可求解 ‎（Ⅱ）（i）首先判断出随机变量符合二项分布，然后利用二项分布的数学期望公式进行求解；‎ ‎（ii）由频率分布直方图，结合样本估计总体的思想进行求解即可 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）（i）由频率分布直方图知，拟报竞价不低于180元的频率为 ‎（0.09+0.07+0.02）×4=0.72，‎ ‎0.72×50=36，‎ 所以拟报竞价不低于180元的户数为36户.‎ ‎（ii）由题意知 所以按竞价由高到低排列，‎ 位于前的居民可以竞拍成功，设竞拍成功的最低报价为x（十元），‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率与统计的知识，主要考查利用图表分析数据、通过数据进行估计或决策的意识，属于中档题 ‎22．已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）对直线ＡＢ的斜率分类讨论，设直线AB的方程为，利用相切可得，与椭圆联立，利用韦达定理可以表示，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB面积的最大值 ‎【详解】‎ 解：（I）由题设：，‎ 解得 ‎∴椭圆C的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）.设 ‎1.当ABx轴时，‎ ‎2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 由已知，得 把代入椭圆方程消去y，‎ 整理得,‎ 有 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当，即时等号成立. ‎ 当时， ‎ 综上所述，从而△AOB面积的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎