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- 2021-04-17 发布
2016-2017学年度第二学期高二期末
数学试题（文）
（满分150分，考试时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）=（ ）
A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
2．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
3．在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（ ）
A． B． C． D．2
4．已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
5．命题p：“∃x0∈R“，x0﹣1≤0的否定￢p为（ ）
A．∀x∈R，x2﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣1＞0
C．∃x0∈R，x02﹣1＞0 D．∃x0∈R，x02﹣1＜0
6．函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
7．已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
8．函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（ ）
A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个
10．已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
11．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（ ）
A．2f（1）＜f（2） B．2f（1）＞f（2） C．2f（1）=f（2） D．f（1）=f（2）
12．函数y=1+x+的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+2，则f（1）+f′（1）= ．
14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f（2015）= ．
15．若a=log43，则2a+2﹣a= ．
16．已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；
（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．
18．已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
19．已知函数f（x）=+x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．
20．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）讨论函数g（x）=f（x）•ex的单调性．
21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 （t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
22．已知函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，并且当x＞0时f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a﹣5）＜2．
答案
一．选择题（共12小题）
1-5.BCABB 6-10. DADBB 11-12.AD
二．填空题（共4小题）
13．3 14．0 15．． 16．（1，+∞）
三． 解答题
17．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，
B={x|m﹣3≤x≤m+3}．
（1）∵A∩B=[1，3]
∴
∴，
∴m=4； ……………………………………………（5分）
（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁RB，
而CRB={x|x＜m﹣3，或x＞m+3}
∴m﹣3＞3，或m+3＜﹣1，
∴m＞6，或m＜﹣4． ……………………………………（5分）
18．解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）=ax得a﹣2=9，解得a=，
∴f（x）= …………………………………………（4分）
（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，
∴f（2m﹣1）＜f（m+3）， …………………………………………（6分）
∵f（x）=为减函数， …………………………………………（8分）
∴2m﹣1＞m+3， …………………………………（10分）
解得m＞4，
∴实数m的取值范围为（4，+∞） …………………………（12分）
19．解：（Ⅰ）∵f（x）=+x，
∴f′（x）=+1， …………………………………………（1分）
∵f（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0，
∴+1=2，……（2分）， 2﹣1+b=0， ……………………（3分）
∴a=1，b=﹣1； ……………………………………（5分）
（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=x2﹣kx+lnx+x，
∴g′（x）=x﹣k++1， ………………………………（6分）
∵g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，
∴g′（x）≥0在其定义域上恒成立，
∴x﹣k++1≥0在其定义域上恒成立 …………………………（8分）
∴k≤x++1在其定义域上恒成立， …………………………（9分）
而x++1≥2+1=3，当且仅当x=1时“=”成立，……………………（11分）
∴k≤3． ……………………………………………………（12分）
20．解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．…………………（2分）
∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，
∴f′（﹣）=0， …………………………………………（4分）
∴3a•+2•（﹣）=0，
∴a=； …………………………………………………（6分）
（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）ex，
∴g′（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，……（8分）
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数； ……………………（10分）
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）为增函数． …………………………………（12分）
21.解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；…………（2分）
联立方程， …………………………………………………（3分）
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．…………（6分）
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），…（8分）
所以点P到直线l的距离d为：
d==，φ满足tanφ=，…（10分）
又d的最大值dmax=，
所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，
得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，
即a=﹣16或a=8． ………………………………………………（12分）
22．解：（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1
∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1成立
∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，即f（0）=1，…………（2分）
再令m=x，n=﹣x，则有f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，
∴f（﹣x）=2﹣f（x），
∴f（﹣x1）=2﹣f（x1）
而f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣1=f（x2）+2﹣f（x1）﹣1＞1，……（4分）
即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在R上为增函数； ……………………………………（6分）
（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+f（1）+f（1）﹣2=3f（1）﹣2=4
∴f（1）=2． …………………………………………………………（8分）
∴f（a2+a﹣5）＜2，即为f（a2+a﹣5）＜f（1），……………………（10分）
由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a2+a﹣5＜1，即a2+a﹣6＜0，
∴﹣3＜a＜2
∴不等式f（a2+a﹣5）＜2的解集是{a|﹣3＜a＜2} ………………（12分）