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- 2021-04-17 发布
长安一中2017-2018学年度第一学期期中考试
高二级 数学试题（文科）
时间：100分钟 总分：150分 命题人：李林刚 审题人：赵建军
一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.抛物线的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
2.命题“存在实数，使”的否定是( )．
A.对任意实数，都有 B.不存在实数，使
C.对任意实数，都有 D.存在实数，使
3.物体运动时位移与时间的函数关系是，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为（ ）．
A. B. C. D.
4.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则（ ）．【来源：全,品…中&高*考+网】
A.1 B.2 C.4 D.6
5.已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )．
A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm
6.已知命题“若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）．
A． B． C． D．
7.已知椭圆，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是( )．
A．椭圆 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段
8.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的( )
A． B． C． D．
9.双曲线的离心率大于的充分不必要条件是( )．
A． B． C． D．
10.已知函数，且，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
11.双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）．
A．2 B. C．4 D．
12.若函数在上可导，且，则( )．
A． B． C． D．以上都不对【来源：全,品…中&高*考+网】
13.已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若（其中点位于、 之间），且，则此抛物线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
14. 如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的( )．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
15.若“任意”是真命题，则实数的最小值为________.
16.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
17.已知椭圆的焦点为、，设点在长轴上，过点作垂直于的直线交椭圆于，则使得的点的横坐标取值范围是_______.
18.函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为
为正整数，若，则________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共60分）
19.（本小题满分12分）
设是公比为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.
20.（本小题满分12分）
已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．
(1)求实数的值；
(2)求在函数图像上任意一点处切线的斜率的取值范围．
【来源：全,品…中&高*考+网】
21.（本小题满分12分）
设函数.
(1)求函数的周期和最大值；
(2)求函数的单调增区间.
22.（本小题满分12分）
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点.
(1)求线段的长度；
(2)为坐标原点,为抛物线上一点，若，求的值．
23.（本小题满分12分）
如图，椭圆：的右焦点为，右顶点、
上顶点分别为点、，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若斜率为2的直线过点，且交椭圆于、两点，.求直线的方程及椭圆的方程.
长安一中2017-2018学年度第一学期期中考试
高二级 数学参考答案（文科）
一、选择题： 1-5.DACBB 6-10.DABDD 11-14. CCCA
二、填空题：15． 1 16. 17. 18. 21
三、解答题： 【来源：全,品…中&高*考+网】
19.（12分）
解：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)………………6分
(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2. ………12分
20. （12分）
解 (1)因为y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx.
∵f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，
∴a＋b＝4.
又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直，
∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9.
由得，.………………8分
(2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x
＝3(x＋1)2－3≥－3. ………………12分
21.（12分）
解：（1）因为：所以：
即
……………………3分
所以，当即时
取得最大值1，此时函数取得最大值………………6分
（2）由解得：…9分
所以函数的单调递增区间为………12分
22.（12分）
解：(1)直线AB的方程是y＝2 （x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，【来源：全,品…中&高*考+网】
由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，………… 6分
(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，……… 10分
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2. ……………………………………………………………… 12分
23.（12分）
解：（1）由已知，即，，
，∴ .…………………………………………4分
（2）由（1）知，∴ 椭圆：.设，，
直线的方程为，即.……………………………5分
由，即.
.，.…8分
∵ ，∴ ，
即，，.
从而，解得
∴ 椭圆的方程为.…………………12分