2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题 第一周 星期五 2页

星期五　(函数与导数问题)　2017年____月____日 已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；‎ ‎(2)设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；‎ ‎(3)设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1.若存在x1，x2∈[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围.‎ 解　(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，‎ 所以et＝1，且et＝t－b，解得b＝－1.‎ ‎(2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a.‎ 当a≥0时，T′(x)＞0恒成立.‎ 当a＜0时，由T′(x)＞0得x＞ln(－a).‎ 所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；‎ 当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞).‎ ‎(3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝ 当x＞b时，h′(x)＝(x－b＋1)ex＞0，‎ 所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；‎ 当x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex，‎ 因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex＜0，‎ 所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；‎ 因为x＜b－1时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex＞0，‎ 所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数.‎ ‎①当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数，‎ 所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b.‎ 由h(x)max－h(x)min＞1得b＜1，所以b≤0；‎ ‎②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时，‎ h′(x)＝(x－b＋1)ex＞0，‎ 所以h(x)在(b，1)上是增函数，‎ 因为0＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex＜0，‎ 所以h(x)在(0，b)上是减函数，‎ 所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0.‎ 由h(x)max－h(x)min＞1得b＜.‎ 因为0＜b＜，所以0＜b＜；‎ ‎③当≤b＜1时，同理可得h(x)在(0，b)上是减函数，‎ 在(b，1)上是增函数，‎ 所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min ‎＝h(b)＝0.‎ 因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立.‎ 综上所述，b的取值范围为.‎