高考数学专题34直线及其方程热点题型和提分秘籍文 11页

专题 34 直线及其方程 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2．掌握确定直线位置的几何要素。 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系。 热点题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1、(1)直线 2xcosα－y－3＝0 α∈ π 6 ，π 3 的倾斜角的变化范围是( ) A. π 6 ，π 3 B. π 4 ，π 3 C. π 4 ，π 2 D. π 4 ，2π 3 (2)已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取 值范围是________。 【提分秘籍】 已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为 90°)。 (2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围。 【举一反三】 直线 xsinα－y＋1＝0 的倾斜角的变化范围是( ) A. 0，π 2 B．(0，π) C. －π 4 ，π 4 D. 0，π 4 ∪ 3 4 π，π 【答案】D 【解析】直线 x·sinα－y＋1＝0 的斜率是 k＝sinα， 又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1， ∴当 0≤k≤1 时，倾斜角的范围是 0，π 4 ； 当－1≤k＜0 时，倾斜角的范围是 3 4 π，π 。故选 D。 热点题型二 直线的方程 例 2、根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12。 【提分秘籍】 求直线方程时的注意点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。 (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用。 【举一反三】 已知直线 l 过点(1,2)，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍，则直线 l 的方程为( ) A．x＋2y－5＝0 B．x＋2y＋5＝0 C．2x－y＝0 或 x＋2y－5＝0 D．2x－y＝0 或 x－2y＋3＝0 【答案】C 【解析】当直线在两坐标轴上的截距都为 0 时，设直线 l 的方程为：y＝kx，把(1,2)代入方程，得 2 ＝k，即 k＝2，所以直线的方程为：2x－y＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为 0 时，设直线的方程为： x 2b ＋y b ＝1，把点(1,2)代入方程，得 1 2b ＋2 b ＝1，即 b＝5 2 ，所以直线的方程为：x＋2y－5＝0。 热点题型三 直线方程的综合应用 例 3．已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点。求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线 l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程。 【提分秘籍】 (1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看 出“动中有定”。 (2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值。 【举一反三】 过 P(2,1)作直线 l，分别交 x 轴、y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点。 (1)当△AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线 l 的方程。 【解析】过 P 的直线 l 与 x，y 轴正半轴相交， ∴直线 l 的斜率 k 一定存在且小于零， ∴直线 l 的方程可设为 y－1＝k(x－2)。 则 A 2－1 k ，0 ，B(0,1－2k)。 (1)S△AOB＝1 2 |OA|·|OB|＝1 2 × 2－1 k (1－2k)＝1 2 4－4k－1 k ＝1 2 4－ 4k＋1 k ＝1 2 4＋ －4k ＋ 1 －k ≥1 2 4＋2 －4k · 1 －k ＝4。 当且仅当－4k＝ 1 －k 即 k＝－1 2 时等号成立。 ∴l 的方程为 x＋2y－4＝0。 (2)|PA|·|PB|＝ 1 k 2＋1· 22＋ 2k 2 ＝ 4 k2＋4k2＋8≥ 8＋8＝4。 当且仅当4 k2＝4k2 即 k2＝1 时取等号。 又∵k＜0，∴k＝－1，∴l 的方程为 x＋y－3＝0。 1．[2016·北京卷]已知 A(2,5)，B(4,1)．若点 P(x，y)在线段 AB 上，则 2x－y 的最大值为( ) A．－1 B．3 C．7 D．8 【答案】C 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点 的距离为( ) A.5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D.4 3 【答案】B 【解析】先根据已知条件分析△ABC 的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点的距 离．在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接 观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心．所以|AE|＝2 3 |AD| ＝2 3 3 ， 从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2 ＝ 1＋4 3 ＝ 21 3 ，故选 B. 3．[2015·安徽卷]在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝2a 与函数 y＝|x－a|－1 的图象只有一个交 点，则 a 的值为________． 【答案】－1 2 4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x2 4 与直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由． 解：(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(－2 a，a)或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)． 又 y′＝x 2 ，故 y＝x2 4 在 x＝2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)， 即 ax－y－a＝0. 1．直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A. 0，π 4 B. 3π 4 ，π C. 0，π 4 ∪ π 2 ，π D. π 4 ，π 2 ∪ 3π 4 ，π 【答案】B 【解析】斜率 k＝－ 1 a2＋1 ，故 k∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈ 3π 4 ，π 。 2．设 A(－2,3)、B(3,2)，若直线 ax＋y＋2＝0 与线段 AB 有交点，则 a 的取值范围是( ) A. －∞，－5 2 ∪ 4 3 ，＋∞ B. －4 3 ，5 2 C. －5 2 ，4 3 D. －∞，－4 3 ∪ 5 2 ，＋∞ 【答案】D 【解析】直线 ax＋y＋2＝0 恒过点 M(0，－2)，且斜率为－a， ∵kMA＝3－ －2 －2－0 ＝－5 2 ，kMB＝2－ －2 3－0 ＝4 3 ，由图可知：－a≤－5 2 或－a≥4 3 ，∴a≤－4 3 或 a≥5 2 ，故 选 D。 3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线 y＝ax 与 y＝x＋a 正确的是( ) A B C D 【答案】C 4．直线 l1：3x－y＋1＝0，直线 l2 过点(1, 0)，且它的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍，则直线 l2 的方程 为( ) A．y＝6x＋1 B．y＝6(x－1) C．y＝3 4 (x－1) D．y＝－3 4 (x－1) 【答案】D 【解析】由 tanα＝3 可求出直线 l2 的斜率 k＝tan2α＝ 2tanα 1－tan2α ＝－3 4 ， 再由 l2 过点(1,0)即可求得直线方程。 5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1 在 x 轴上的截距为 1，则实数 m 是( ) A．1 B．2 C．－1 2 D．2 或－1 2 【答案】D 【解析】当 2m2＋m－3≠0 时，在 x 轴上截距为 4m－1 2m2＋m－3 ＝1，即 2m2－3m－2＝0， ∴m＝2 或 m＝－1 2 。 6．函数 y＝asinx－bcosx(ab≠0)的一条对称轴的方程为 x＝π 4 ，则以向量 c＝(a，b)为方向向量的直 线的倾斜角为( ) A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】D 7．实数 x、y 满足 3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，则y x 的最大值、最小值分别为______、______。 【答案】2 3 －1 【解析】设 k＝y x ，则y x 表示线段 AB：3x－2y－5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率。 ∵A(1，－1)、B(3,2)。由图易知： y x max＝kOB＝2 3 ， y x min＝kOA＝－1。 8．直线 l 过点 P(－1,1)且与直线 l′：2x－y＋3＝0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，则直线 l 的方程为__________。 【答案】2x＋y＋1＝0 【解析】如图所示，由直线 l、l′与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形可知：l 与 l′的倾斜角互补， 从而可知其斜率互为相反数，由 l′的方程知其斜率为 2，从而 l 的斜率为－2，又过点 P(－1,1)，则由直 线方程的点斜式，得 y－1＝－2(x＋1)，即 2x＋y＋1＝0。 9．过点 P(－1,2)，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是__________。 【答案】y＝－2x 或 x＋2y－3＝0 【解析】当直线过原点时，方程为 y＝－2x；当直线不经过原点时，设方程为 x 2a ＋y a ＝1，把 P(－1,2) 代入上式，得 a＝3 2 ，所以方程为 x＋2y－3＝0。 10．已知直线 l：x m ＋ y 4－π ＝1。 (1)若直线的斜率小于 2，求实数 m 的取值范围； (2)若直线分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直 线的方程。