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- 2021-04-17 发布
第
1
讲 选择题的解法技巧
第二篇 掌握技巧，快速解答客观题
选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以
“
小
”“
巧
”
著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力
.
解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做
.
题型概述
栏目索引
方法一 直接法
方法二 特例法
方法三 排除法
方法四 数形结合法
方法五 构造法
方法六 估算法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项
“
对号入座
”
，作出相应的选择
.
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法
.
方法一 直接法
解析
√
(2)
已知双曲线的一个焦点与抛物线
x
2
＝
24
y
的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为
30°
，则该双曲线的标准方程为
(
)
解析
√
思维升华
解析
由题意知，抛物线的焦点坐标为
(0,6)
，
所以双曲线的焦点坐标为
(0,6)
和
(0
，－
6)
，
所以双曲线中
c
＝
6
，又因为双曲线一条渐近线的倾斜角为
30°
，
思维升华
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法
.
只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案
.
平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错
.
思维
升华
解析
√
由此可知数列
{
a
n
}
的项具有周期性，且周期为
4
，
第一
周期内的四项之积为
1
，则
a
9
＝
a
1
＝
2
，
a
10
＝
a
2
＝－
3
，
所以
数列
{
a
n
}
的前
10
项之积为
1
×
1
×
2
×
(
－
3)
＝－
6.
(2)(2015·
四川
)
执行如图所示的程序框图，输出
S
的值为
(
)
解析
√
解析
每次循环的结果依次为：
k
＝
2
，
k
＝
3
，
k
＝
4
，
k
＝
5
＞
4
，
返回
从题干
(
或选项
)
出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断
.
特殊化法是
“
小题小做
”
的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用
.
特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等
.
方法二 特例法
A.
[
－
1,2]
B
.
[
－
1,0]
C
.
[1,2]
D
.
[0,2]
解析
√
易知
f
(
－
1)
是
f
(
x
)
的最小值，排除
A
，
B
；
故排除
C.D
正确
.
(2)
已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
n
>0
，
n
＝
1,2,3
，
…
，且
a
5
·
a
2
n
－
5
＝
2
2
n
(
n
≥
3)
，当
n
≥
1
时，
log
2
a
1
＋
log
2
a
3
＋
…
＋
log
2
a
2
n
－
1
等于
(
)
A.
n
(2
n
－
1)
B
.(
n
＋
1)
2
C.
n
2
D
.(
n
－
1)
2
解析
√
解析
因为
a
5
·
a
2
n
－
5
＝
2
2
n
(
n
≥
3)
，
所以令
n
＝
3
，代入得
a
5
·
a
1
＝
2
6
，
再令数列为常数列，得每一项为
8
，
则
log
2
a
1
＋
log
2
a
3
＋
log
2
a
5
＝
9
＝
3
2
.
结合选项可知只有
C
符合要求
.
思维升华
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解
.
思维
升华
解析
√
解析
如图，当
△
ABC
为正三角形时，
A
＝
B
＝
C
＝
60°
，取
D
为
BC
的中点，
A.3
∶
1
B.2
∶
1
C.4
∶
1
D.
∶
1
解析
√
(2)
如图，在棱柱的侧棱
A
1
A
和
B
1
B
上各有一动点
P
、
Q
满足
A
1
P
＝
BQ
，过
P
、
Q
、
C
三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为
(
)
解析
将
P
、
Q
置于特殊位置：
P
→
A
1
，
Q
→
B
，此时仍满足条件
A
1
P
＝
BQ
(
＝
0)
，
返回
C
—
AA
1
B
A
1
—
ABC
排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法
.
一般选择支与题干或常识矛盾，选择支互相矛盾时用排除法
.
方法三 排除法
例
3
(1)(2015·
课标全国
Ⅱ
)
根据下面给出的
2004
年至
2013
年我国二氧化硫排放量
(
单位：万吨
)
柱形图
.
以下结论不正确的是
(
)
解析
√
A.
逐年比较，
2008
年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007
年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006
年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006
年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析
从
2006
年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到
2008
年二氧化硫排放量与
2007
年排放量的差最大，
A
选项正确；
2007
年二氧化硫排放量较
2006
年降低了很多，
B
选项正确；
虽然
2011
年二氧化硫排放量较
2010
年多一些，但自
2006
年以来，整体呈递减趋势，即
C
选项正确；
自
2006
年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，
D
选项错误，故选
D.
解析
√
思维升华
思维升华
解析
当
x
＝
0
时，有
f
(
a
)<
f
(0)
＝
0
，
排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题
.
当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案
.
思维
升华
A.(
－
1,0)
∪
(0,1)
B
.(
－
∞
，－
1)
∪
(1
，＋
∞
)
C.(
－
1,0)
∪
(1
，＋
∞
)
D
.(
－
∞
，－
1)
∪
(0,1)
解析
√
解析
取
a
＝
2
验证满足题意，排除
A
、
D
，
取
a
＝－
2
验证不满足题意，排除
B.
∴
正确选项为
C.
解析
√
返回
返回
根据命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，将数的问题
(
如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等
)
与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法
.
方法四 数形结合法
A.0
对
B.1
对
C.2
对
D.3
对
解析
√
思维升华
解析
根据题意，将函数
f
(
x
)
＝－
x
2
－
4
x
(
x
≤
0)
的图象绕原点旋转
180°
后
，
得到
的图象所对应的解析式为
y
＝
x
2
－
4
x
(
x
≥
0)
，
再
作出函数
y
＝
log
2
x
(
x
>0)
的图象，如图所示
.
由
题意，知函数
y
＝
x
2
－
4
x
(
x
>0)
的图象与函数
f
(
x
)
＝
log
2
x
(
x
>0)
的图象的交点个数即为
“
友好点对
”
的对数
.
由图可知它们的图象交点有
2
个，所以此函数的
“
友好点对
”
有
2
对
.
思维升华
数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果
.
使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论
.
思维
升华
解析
√
跟踪演练
4
(1)
已知非零向量
a
，
b
，
c
满足
a
＋
b
＋
c
＝
0
，向量
a
，
b
的夹角为
120°
，且
|
b
|
＝
2|
a
|
，则向量
a
与
c
的夹角为
(
)
A.60°
B.90
°
C.120°
D.150
°
解析
如图，因为〈
a
，
b
〉＝
120°
，
|
b
|
＝
2|
a
|
，
a
＋
b
＋
c
＝
0
，
所以
在
△
OBC
中，
BC
与
CO
的夹角为
90°
，即
a
与
c
的夹角为
90°.
A.(
－
∞
，
0]
B
.(
－
∞
，
1]
C.
[
－
2,1]
D
.
[
－
2,0]
解析
√
返回
解析
函数
y
＝
|
f
(
x
)|
的图象如图所示
.
①
当
a
＝
0
时，
|
f
(
x
)|
≥
ax
显然成立
.
②
当
a
>0
时，只需在
x
>0
时，
ln(
x
＋
1)
≥
ax
成
立
.
比较对数函数与一次函数
y
＝
ax
的
增长速
度
.
显然不存在
a
>0
使
ln(
x
＋
1)
≥
ax
在
x
>0
上
恒
成立
.
③
当
a
<0
时，只需
x
<0
，
x
2
－
2
x
≥
ax
成立，即
a
≥
x
－
2
成立，
∴
a
≥
－
2.
综上所述：－
2
≤
a
≤
0.
故选
D.
返回
构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法
.
方法五 构造法
例
5
已知函数
f
(
x
)
是定义在
R
上的可导函数，且对于
∀
x
∈
R
，均有
f
(
x
)>
f
′
(
x
)
，则有
(
)
A.e
2 018
f
(
－
2 018)<
f
(0)
，
f
(2 018)>e
2 018
f
(0)
B.e
2 018
f
(
－
2 018)<
f
(0)
，
f
(2 018)
f
(0)
，
f
(2 018)>e
2 018
f
(0)
D.e
2 018
f
(
－
2 018)>
f
(0)
，
f
(2 018)
f
′
(
x
)
，并且
e
x
>0
，所以
g
′
(
x
)<0
，
所以
g
(
－
2 018)>
g
(0)
，
g
(2 018)<
g
(0)
，
也就是
e
2 018
f
(
－
2 018)>
f
(0)
，
f
(2 018)0
时，
xf
′
(
x
)
－
f
(
x
)
＜
0
，则使得
f
(
x
)>0
成立的
x
的取值范围是
(
)
A.(
－
∞
，－
1)
∪
(0,1)
B.(
－
1,0)
∪
(1
，＋
∞
)
C.(
－
∞
，－
1)
∪
(
－
1,0)
D.(0,1)
∪
(1
，＋
∞
)
解析
√
(2)
若四面体
ABCD
的三组对棱分别相等，即
AB
＝
CD
，
AC
＝
BD
，
AD
＝
BC
，给出下列五个命题：
①
四面体
ABCD
每组对棱相互垂直
；
②
四面体
ABCD
每个面的面积相等；
③
从四面体
ABCD
每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于
90°
而小于
180°
；
④
连接四面体
ABCD
每组对棱中点的线段相互垂直平分
；
⑤
从四面体
ABCD
每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
.
其中正确命题的个数是
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析
√
返回
返回
解析
构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为
x
、
y
、
z
.
对于
①
，需要满足
x
＝
y
＝
z
，才能成立；
因为各个面都是全等的三角形
(
由对棱相等易证
)
，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于
180°
，故
②
成立，
③
显然不成立；
对于
④
，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断
④
成立；
从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，
⑤
显然成立
.
故正确命题有
②④⑤
.
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法
.
估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次
.
方法六 估算法
例
6
(1)
图中阴影部分的面积
S
是
h
的函数
(0
≤
h
≤
H
)
，则该函数的大致图象是
(
)
解析
√
解析
由题图知，随着
h
的增大，阴影部分的面积
S
逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选
B.
(2)
已知三棱锥
S
—
ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
△
ABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为球
O
的直径，且
SC
＝
2
，则此棱锥的体积是
(
)
解析
√
思维升华
估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算
.
当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时
(
如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题
)
常用此种方法确定选项
.
思维
升华
跟踪演练
6
(1)
已知
x
1
是方程
x
＋
lg
x
＝
3
的根，
x
2
是方程
x
＋
10
x
＝
3
的根，则
x
1
＋
x
2
等于
(
)
A.6
B.3 C.2
D.1
解析
√
解析
因为
x
1
是方程
x
＋
lg
x
＝
3
的根，所以
2<
x
1
<3
，
x
2
是方程
x
＋
10
x
＝
3
的根，所以
0<
x
2
<1
，
所以
2<
x
1
＋
x
2
<4.
故
B
正确
.
解析
√
返回
返回