2018届二轮复习推理与证明(理)课件 38页

第五节　推理与证明 知识点一 合情推理与演绎推理 1. 推理 (1) 定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程 . (2) 分类：推理一般分为 与 两类 . 合情推理 演绎推理 2. 合理推理   归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理 由两类对象具有 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由 到 、由 到 的推理 由 到 的推理 一般 步骤 (1) 通过观察个别情况发现某些相同性质； (2) 从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题 ( 猜想 ) (1) 找出两类事物之间的相似性或一致性； (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 ( 猜想 ) 部分对象 全部对象 一般结论 某些类似特征 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 3. 演绎推理 (1) 定义：从 出发，推出 下的结论 , 我们把这种推理称为演绎推理； (2) 特点：演绎推理是由 的推理； (3) 模式：三段论 . “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式，包括： “ 三段论 ” 的结构 ① 大前提 —— 已知的一般原理； ② 小前提 —— 所研究的特殊情况； ③ 结论 —— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 “ 三段论 ” 的表示 ① 大前提 —— ； ② 小前提 —— ； ③ 结论 —— S 是 P 一般性的原理 某个特殊情况 一般到特殊 M 是 P S 是 M ► 合情推理的两种类型：归纳推理；类比推理 . (2) 类比平面几何中 “ 三角形任两边之和大于第三边 ” 得空间相应的结论为 ________. 解析　 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象 ， 从而具有结论：三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 . 答案 　三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 知识点二 直接证明与间接证明 1. 直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是 和 . (1) 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 . 综合法又称为： ( 顺推证法 ). (2) 分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) 为止，这种证明方法叫做分析法 . 分析法又称为： ( 逆推证法 ). 综合法 分析法 由因导果法 执果索因法 2. 间接证明 —— 反证法 一般地，假设原命题 ( 即在原命题的条件下，结论不成立 ) ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这样的证明方法叫做反证法 . 不成立 假设错误 原命题成立 ► 一个易错点：反证法 . (3) [ 反证法必须从否定结论进行推理 ， 即应把结论的反面作为条件 ， 且必须根据这一条件进行推证 ， 否则 ， 仅否定结论 ， 不从结论的反面出发进行推理 ， 就不是反证法 ] 用反证法证明 “ 三角形中至少有一个内角不小于 60 ° ” ，应先假设为 ________. 答案 　三角形中每一个内角都小于 60 ° 知识点三　数学归纳法 1. 数学归纳法的定义 n ＝ k ＋ 1 2. 数学归纳法的步骤 n ＝ k ＋ 1 ► 数学归纳法的两点注意 答案　 1 ＋ a ＋ a 2 ＋ a 3 答案　 2 k 推理问题突破方法  归纳推理技巧与方法 常见类型 解题策略 与数字有关的等式的推理 观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 与式子有关的推理 观察每个式子的特点，找到规律后可解 与图形变化有关的推理 合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性  类比推理的技巧与方法 类别 解读 适合题型 类比 定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解 已知熟悉定义类比新定义 类比 性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键 平面几何与立体几何、等差数列与等比数列 类比 方法 有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移 已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法 【例 1 】 (1) (2016· 河南八市重点高中联考 ) 观察下列等式： 解析　 (1) 观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数 ， 且奇数的个数等于所在的行数加 1 ， 每行的第一个数字为行数加 1 的和的 3 次方减去所在的行数 ， 设行数为 n ， 用 a n 1 表示每行的第一个数 ，则 a n 1 ＝ ( n ＋ 1) 3 － n ， 因此第 4 行第一个数为 (4 ＋ 1) 3 － 4 ＝ 121 ， 则第 4 个等式为： 5 4 ＝ 121 ＋ 123 ＋ 125 ＋ 127 ＋ 129. [ 点评 ] 　 关键是发现规律 ， 利用规律找出一般的解决问题的方法 ，进一步解决问题即可 . 综合法和分析法求解方略  利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题 ( 定义、公理、定理、法则、公式等 ) 或要证命题的已知条件时命题得证 .  综合法证题的思路 (2) 设 1< a ≤ b ≤ c ，证明 log a b ＋ log b c ＋ log c a ≤ log b a ＋ log c b ＋ log a c . [ 点评 ] 　 分析法和综合法各有优缺点 . 实际证题时常常两法兼用 ， 先用分析法探索证明途径 ， 然后再用综合法叙述出来 . 数学归纳法的应用求解策略 (1) 用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n 0 是几； (2) 由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，除等式两边变化的项外还要充分利用 n ＝ k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明； (3) 用上归纳假设后，可采用分析法、综合法，求差 ( 求商 ) 比较法、放缩法等证明 . [ 点评 ] 　 由 k 到 k ＋ 1 的证明中寻找由 k 到 k ＋ 1 的变化规律是难点 ， 突破难点的关键是掌握由 k 到 k ＋ 1 的证明方法 .  反证法证明数学问题 (1) 当点 B 的坐标为 (0 ， 1) ，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长； (2) 当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形 . [ 方法归纳 ] 　 1. 反证法的适用范围 (1) 否定性命题； (2) 结论涉及 “ 至多 ”“ 至少 ”“ 无限 ”“ 唯一 ” 等词语的命题； ( 3) 命题成立非常明显 ， 直接证明所用的理论太少 ， 且不容易证明 ， 而其逆否命题非常容易证明； (4) 要讨论的情况很复杂 ， 而反面情况很少 .