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- 2021-04-17 发布
邵东三中2017年高二年级期中考试
数 学 试 卷（理科）
命题人：黄玉梅 审题人：刘跃东
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
3. 通过随机询问110名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由得，
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是 （ ）
A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为 “爱好运动与性别有关”
C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“爱好运动与性别无关”
D．有以上的把握认为“爱好运动与性别无关”
4. ( )
A. B. C. D.
5. =（ ）
A. B. C. D.
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7. 在R上可导的函数的图象如图示，为函数的导数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8.（ ）
A.-1 B.1 C. D.
9. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件=“取到的2个数均为偶数”，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 已知一个射手每次击中目标的概率为，他在四次射击中命中两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
11. 从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有（ ）
A．210 B．420 C．630 D．840
12. .设△ABC三边长为a，，；△ABC的面积为S，内切圆半径为，则，类比这个结论可知，四面体S-ABC的四个面的面积分别为，四面体S-ABC的体积为，内切球半径为，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.
14.二项式的展开式中的常数项是 __________．
15．用0到9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数。
16. 已知随机变量服从二项分布，随机变量，则 。
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)如图，求直线与抛物线所围成的图形的面积.
18. (本小题满分12分)某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程。
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
参考公式
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．
19. (本小题满分12分)
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是，，，且面试是否合格互不影响.求：
（1）至少有1人面试合格的概率；
（2）签约人数的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
的表达式，并用数学归纳法进行证明。
21. (本小题满分12分) 设与是函数的两个极值点.
（1）试确定常数和的值；
（2）求函数的单调区间；
22. (本小题满分12分)已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在 上是减函数，求实数的取值范围；
（3）令，是否存在实数，当（是自然对数的底数）时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
邵东三中2017年高二年级期中考试
数 学 答 案（理科）
一、选择题
DBBCD BACBB BC
二填空题
13. 14. 45 15. 648 16. 9.6
三、解答题
17. 解：或 ........................4分
........................10分
18.
（1）图略---------------------------3分
（2）
；
于是所求的线性回归方程是---------------------------10分
（3）当时，---------------------------12分
19.
用，，分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知，，相互独立，且，
（1）至少有人面试合格的概率是；------------------------------------------------------------------------5分
（2）的可能取值为，，，，
，，
，-----------------------------9分
∴的分布列是
的期望.-----------------------------12分
20.
猜想 --------------------5分
下面用数学归纳法证明这个猜想
（1）
猜想成立--------------------8分
（2）假设当
那么
所以，当
根据（1）与（2），可知猜想对任何都成立. --------------------12分
21、
解：（1）
由题意可知：
………………6分
（2）
……12分
22.
解：(1)当时， ……1分
所以，……………2分
所以曲线在点处的切线方程为………3分
（2）因为函数在上是减函数，
所以在[1,3]上恒成立． …4分
令,有，得 ……6分
故……………………………………………7分
（3）假设存在实数a，使有最小值3，
①时，，所以在上单调递减，
， （舍去）
②当时，在上恒成立， 所以在上单调递减，（舍去）………………10分
③当时，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，，满足条件…………11分
综上，存在实数，使得时，有最小值3．………12分