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- 2021-04-17 发布
2017-2018学年浙江省诸暨中学高二上学期第二阶段考
数学试卷
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，且，
则等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
3．直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，若直线a与直线b所成的角为，
则( )
A．0º<≤30º B．0º<≤90º C．30º≤≤90º D．30º≤≤180º
4．设为向量，则“”是“”( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，，则
6.已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B． C．6 D．
7.设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5 B.＋ C．7＋ D．6
8.已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B． C．2 D．
9．如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为( ▲ )
A． B．
C． D．
10.椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、 填空题: 本大题共7小题，每题4分，共28分．
11．双曲线的焦距为 __ ，渐近线方程为__ ．
12．命题“若实数满足，则”的逆否命题是 命题（填“真”或者“假”）；否命题是 命题（填“真”或者“假”）．
13．一个组合体的三视图如右图，则其体积为________________
14．已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为________．若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是________．
15．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的取值范围为_________.
16.已知，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是___________．若点为轨迹C的焦点，是直线上的一点，是直线与轨迹的一个交点，且，则．
17． 四棱锥中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将
ABCD分成面积为的两部分，则=_______.
三、解答题：本大题共5小题，共62分．
18．设命题实数满足，命题实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
第19题图
F
E
B1
C
B
A
A1
C1
G
19．如图，三棱柱中，
侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：①平面；
②平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角．
20．已知以点C,(t>0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值.
第21题图
21.如图，平行四边形平面，
，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．
22．已知椭圆，
(Ⅰ)若椭圆上存在两点关于直线对称，求直线的方程；
(Ⅱ)过的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
C
A
B
D
A
二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9、，； 10、假，真；
11、，； 12、（注：只写写给分），；
13、12； 14、或； 15、
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程．
【解析】（Ⅰ）由题意知：，
故，即，解得，………………………………2分
又，
解得，………………………………………………………………5分
故椭圆C的方程为；………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，………………………8分
故设直线MN的方程为，
代入椭圆方程得…………………………10分
故，解得，……………………………………………13分
故直线MN的方程为……………………………………………………………15分
（注意：用“点差法”计算同样给分）
第17题图
F
E
B1
C
B
A
A1
C1
G
17．（本小题满分15分）如图，三棱柱中，
侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：①平面；
②平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角．
【解析】（Ⅰ）①连接，，故点G即为与的交点，
F
E
B1
C
B
A
A1
C1
G
且G为的中点，又F为的中点，
故，……………………………………………2分
又GF平面，平面
故平面……………………………………4分
②因为是等腰直角三角形斜边的中点，
所以．
因为三棱柱为直三棱柱，
所以面面，
所以面，
．…………………………………………6分
设，则．
所以，所以．……………………………………8分
又，
所以平面．…………………………………………………………10分
（2）由（1）知在平面上的投影为，故在平面上的投影落在AF上．所以即为直线与平面所成角．……………………………………13分
由题知：不妨设，所以，
在中，，
第18题图
所以，即直线与平面所成角为．……………………………15分
18．（本小题满分15分）如图，平行四边形平面，
，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．
【解析】（Ⅰ）过点A作，
因为平行四边形平面，平行四边形平面=CD，平面ABCD，
故平面CDE，………………………………………………………3分
又平面CDE，故，
又，，平面ABCD，
故平面……………………………………………………6分
（Ⅱ）过作⊥交于，过作⊥交于，
连接.
由（Ⅰ）得⊥平面，
又∵平面，
∴平面⊥平面.……………………………………9分
∴平面ADE， ⊥，
又∵垂直，且.
∴⊥平面，得角就是所求二面角的一个平面角. …………………………12分
又∵，，
∴所求二面角的余弦值为.. ………………………………………………………………15分
19．（本小题满分15分）抛物线，，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。
（Ⅰ）证明：是的等差中项；
（Ⅱ）若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）设，由抛物线定义知
…………………3分
又中垂线交轴于，故
，
因为，所以，，故…………………6分
即，是的等差中项。……………………………………………7分
（Ⅱ）因为，所以。设，，
故圆心，……………………………………………9分
设直线的方程为，
由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。
故
………………………………………………………………………12分
令，即时，
为定值，
故这样的直线的方程为。…………………15分
20．（本小题满分14分）如图，已知椭圆：的左、右顶点分别为，是椭圆上异于的两点，直线交于点，且P位于第一象限．
第20题图
（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；
（Ⅱ）记的面积分别是，求的最小值．
【解析】 (Ⅰ)设，
故直线AM的方程为，直线BN的方程为
联立得：………………………………………………4分
，解得：
代入直线AM可得……………………………………………………………6分
(Ⅱ)直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：
解得…………………………………………8分
直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得：
解得…………………………………………10分
所以
………………………………12分
当，即时， ……………………………………………14分