【数学】2020届江苏一轮复习通用版22-1矩阵与变换作业 10页

专题二十二　选修 4 系列 【真题典例】 22.1　矩阵与变换 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点 内容解读 考题示例 考向 关联考点 预测热 度 2018 江苏,21B 1.逆矩阵及矩阵的运 算 2.平面变换 2017 江苏,21B 矩阵的运算及应用 2016 江苏,21B 逆矩阵及矩阵的运算 2015 江苏,21B 特征值、特征向量的应 用 矩阵与变 换 1.矩阵的概念 2.二阶矩阵与平面向量 3.常见的平面变换 4.矩阵的复合与矩阵的乘 法 5.二阶逆矩阵 6.二阶矩阵的特征值与特 征向量 7.二阶矩阵的简单应用 2014 江苏,21B 矩阵的运算 ★★★ 分析解读　　矩阵与变换是江苏卷附加题中三选二的内容之一,主要考查矩阵的变换、矩阵的乘法、逆矩阵、 特征值和特征向量等,难度不大. 破考点 【考点集训】 考点　矩阵与变换 1.(2019 届江苏盐城一中月考)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 A(-1,2)在矩阵 M=[ -1 0 0　1 ]对应的变换作用下 得到点 A',将点 B(3,4)绕点 A'逆时针旋转 90°得到点 B',求点 B'的坐标. 解析　设 B'(x,y). 由[ -1 0 0　1 ][ -1 2 ]=[1 2],得 A'(1,2). 则퐴'퐵=(2,2),퐴'퐵'=(x-1,y-2). 记旋转矩阵 N=[0　- 1 1　0 ], 则[0　- 1 1　0 ][2 2]=[푥 - 1 푦 - 2],即[ -2 2 ]=[푥 - 1 푦 - 2],解得{푥 = -1, 푦 = 4, 所以点 B'的坐标为(-1,4). 2.(2018 江苏如皋中学月考)已知矩阵 M=[푚 2 7 3]的逆矩阵 M-1=[푛 -2 -7 푚 ],求实数 m,n 的值. 解析　因为 MM-1=[푚 2 7 3][푛 -2 -7 푚 ] =[푚푛 - 14 0 7푛 - 21 -14 + 3푚]=[1 0 0 1], 所以{푚푛 - 14 = 1, 7푛 - 21 = 0, -14 + 3푚 = 1,解得{푚 = 5, 푛 = 3. 3.(2019 届江苏梅村中学月考)已知矩阵 A=[1 2 푐 푑](c,d 为实数).若矩阵 A 属于特征值 2,3 的一个特征向量 分别为[2 1],[1 1],求矩阵 M 的逆矩阵 A-1. 解析　由题意知[1 2 푐 푑][2 1]=[ 4 2c + d]=2[2 1],[1 2 푐 푑][1 1]=[ 3 c + d]=3[1 1], 所以{2푐 + 푑 = 2, 푐 + 푑 = 3, 解得{푐 = -1, 푑 = 4. 所以 A=[1 2 -1 4],所以 A-1=[2 3 - 1 3 1 6 1 6 ]. 4.(2019 届江苏盐城中学月考)已知二阶矩阵 A=[3 5 0 -2]. (1)求矩阵 A 的特征值和特征向量; (2)设向量 β=[1 -1],求 A5β. 解析　(1)矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=|휆 - 3 -5 0 휆 + 2|=(λ-3)(λ+2). 令 f(λ)=0 得 λ1=3,λ2=-2. 设 λ1=3 对应的一个特征向量为[푥 푦], 则将 λ1=3 代入二元一次方程组得{0·푥 - 5푦 = 0, 0·푥 + 5푦 = 0,解得 y=0. 所以矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为[1 0]. 设 λ2=-2 对应的一个特征向量为[푥1 푦1],则{ -5푥1 - 5푦1 = 0, 0·푥1 + 0·푦1 = 0,取 x1=1,则 y1=-1. 所以矩阵 A 的属于特征值-2 的一个特征向量为[1 -1]. (2)由(1)可知向量 β 是矩阵 A 的属于特征值-2 的一个特征向量, 所以 A5β=λ5β=[ -32 32 ]. 炼技法 【方法集训】 方法一　求解逆矩阵 1.(2018 江苏扬州期末)已知 x,y∈R,若点 M(1,1)在矩阵 A=[2 푥 3 푦]对应的变换作用下得到点 N(3,5),求矩阵 A 的逆矩阵 A-1. 解析　因为 A[1 1]=[3 5],即[2 푥 3 푦][1 1]=[3 5],即{2 + 푥 = 3, 3 + 푦 = 5,解得{푥 = 1, 푦 = 2,所以 A=[2 1 3 2]. 解法一(定义法):设 A-1=[푎 푏 푐 푑],则 AA-1=[2 1 3 2][푎 푏 푐 푑]=[1 0 0 1], 即{2푎 + 푐 = 1, 3푎 + 2푐 = 0, 2푏 + 푑 = 0, 3푏 + 2푑 = 1, 解得{푎 = 2, 푏 = -1, 푐 = -3, 푑 = 2, 所以 A-1=[2 -1 -3 2 ]. 解法二(公式法):因为 A-1=[ 푑 det 퐴 -푏 det 퐴 -푐 det 퐴 푎 det 퐴 ],且 det A=|2 1 3 2|=2×2-1×3=1, 所以 A-1=[2 -1 -3 2 ]. 2.(2019 届江苏常州一中月考)已知矩阵 M=[1 2 0 0 2],试求: (1)矩阵 M 的逆矩阵 M-1; (2)直线 y=2x 在矩阵 M-1 对应的变换作用下的曲线方程. 解析　(1)因为 M=[1 2 0 0 2], 所以 M-1=[2 0 0 1 2]. (2)设点 P(x,y)是直线 y=2x 上任意一点,在矩阵 M-1 对应的变换作用下得到点 Q(x',y'), 则[푥' 푦']=[2 0 0 1 2][푥 푦]=[2푥 1 2y], 所以{푥' = 2푥, 푦' = 1 2y,即{푥 = 1 2x', 푦 = 2푦'. 因为点 P 在直线 y=2x 上,于是 2y'=2×1 2x',所以 2y'=x', 即直线 y=2x 在矩阵 M-1 对应的变换作用下的曲线方程为 y=1 2x. 方法二　矩阵变换应用 1.(2019 届江苏泰州中学月考)已知曲线 C:x2+2xy+2y2=1,矩阵 A=[1 2 1 0]所对应的变换把曲线 C 变成曲线 C1, 求曲线 C1 的方程. 解析　设曲线 C 上的任意一点 P(x,y),P 在矩阵 A=[1 2 1 0]对应的变换下得到点 Q(x',y'), 则[1 2 1 0][푥 푦]=[푥' 푦'],即 x+2y=x',x=y', 所以 x=y',y=푥' - 푦' 2 . 代入 x2+2xy+2y2=1,得 y'2+2y'· 푥' - 푦' 2 +2(푥' - 푦' 2 )2 =1, 即 x'2+y'2=2, 所以曲线 C1 的方程为 x2+y2=2. 2.(2019 届江苏宿迁中学月考)已知矩阵 M=[1 0 0 2],N=[1 2 0 0 1],试求曲线 y=sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析 式. 解析　MN=[1 0 0 2][1 2 0 0 1]=[1 2 0 0 2], 即在矩阵 MN 变换下[푥 푦]→[푥' 푦']=[1 2 0 0 2][푥 푦]=[1 2x 2푦], 所以{푥' = 1 2x, 푦' = 2푦,即{푥 = 2푥', 푦 = 1 2y', 代入 y=sin x 得 1 2y'=sin 2x'. 即曲线 y=sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y=2sin 2x. 过专题 【五年高考】 自主命题·江苏卷题组 1.(2017 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=[0　1 1　0],B=[1　0 0　2]. (1)求 AB; (2)若曲线 C1:푥2 8 +푦2 2 =1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2 的方程. 解析　本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为 A=[0　1 1　0],B=[1　0 0　2], 所以 AB=[0　1 1　0][1　0 0　2]=[0　2 1　0]. (2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1 上的任意一点,它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x,y), 则[0 1　2 0][x0 y0]=[x y], 即{2푦0 = x, 푥0 = y, 所以{푥0 = y, 푦0 = 푥 2. 因为点 Q(x0,y0)在曲线 C1 上,则 푥2 0 8 + 푦2 0 2 =1, 从而 푦2 8 +푥2 8 =1,即 x2+y2=8. 因此曲线 C1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线 C2:x2+y2=8. 2.(2016 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=[1　2 0 - 2],矩阵 B 的逆矩阵 B-1=[1　- 1 2 0　　2 ],求矩阵 AB. 解析　设 B=[a　b c d], 则 B-1B=[1　- 1 2 0　　2 ][a　b c d]=[1　0 0 1 ], 即[a ― 1 2c b ― 1 2d 2c 2d ]=[1　0 0 1 ], 故{푎 - 1 2c = 1, 푏 - 1 2d = 0, 2푐 = 0, 2푑 = 1, 解得{푎 = 1, 푏 = 1 4, 푐 = 0, 푑 = 1 2, 所以 B=[1　1 4 0　1 2 ]. 因此,AB=[1　2 0 - 2][1　1 4 0　1 2 ]=[1　5 4 0　- 1]. 3.(2015 江苏,21B,10 分)已知 x,y∈R,向量 α=[1 -1]是矩阵 A=[푥　1 푦　0]的属于特征值-2 的一个特征向量,求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 证明　由已知,得 Aα=-2α,即[푥　1 푦　0][1 -1]=[푥 - 1 푦 ]=[ ―2 2 ], 则{푥 - 1 = -2, 푦 = 2, 即{푥 = -1, 푦 = 2, 所以矩阵 A=[ -1　1 2　0 ]. 从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩阵 A 的另一个特征值为 1. 4.(2014 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=[ ―1　2 1　 x ],B=[1 1 2 ―1],向量 α=2 y,x,y 为实数,若 Aα=Bα,求 x+y 的值. 解析　由已知,得 Aα=[ -1　2 1　x ][2 푦]=[ -2 + 2푦 2 + xy ],Bα=[1　1 2　- 1][2 푦]=[2 + 푦 4 - 푦 ]. 因为 Aα=Bα,所以[ -2 + 2푦 2 + xy ]=[2 + 푦 4 - 푦 ].故{ -2 + 2푦 = 2 + 푦, 2 + 푥푦 = 4 - 푦. 解得{푥 = - 1 2, 푦 = 4. 所以 x+y=7 2. 教师专用题组 1.(2013 江苏,21B,10 分,0.949)已知矩阵 A=[ -1　0 0　2 ],B=[1　2 0　6],求矩阵 A-1B. 解析　设矩阵 A 的逆矩阵为[푎　푏 푐　푑], 则[ -1　0 0　2 ][푎　푏 푐　푑]=[1　0 0　1],即[ -a　- b 2c　2d ]=[1　0 0　1], 故 a=-1,b=0,c=0,d=1 2,从而 A 的逆矩阵为 A-1=[ -1　0 0　1 2 ], 所以 A-1B=[ -1　0 0　1 2 ][1　2 0　6]=[ -1　- 2 0　3 ]. 2.(2011 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A=[1　1 2　1],向量 β=[1 2].求向量 α,使得 A2α=β. 解析　A2=[1　1 2　1][1　1 2　1]=[3　2 4　3]. 设 α=[푥 푦].由 A2α=β,得[3　2 4　3][푥 푦]=[1 2],从而{3푥 + 2푦 = 1, 4푥 + 3푦 = 2. 解得 x=-1,y=2,所以 α=[ -1 2 ]. 评析本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题. 3.(2012 江苏,21B,10 分)已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1=[ - 1 4　　3 4 1 2　　- 1 2 ],求矩阵 A 的特征值. 解析　因为 A-1A=E,所以 A=(A-1)-1. 因为 A-1=[ - 1 4　　3 4 1 2　　- 1 2 ], 所以 A=(A-1)-1=[2　3 2　1], 于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=|휆 - 2　　- 3 -2　　λ - 1 |=λ2-3λ-4. 令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 λ1=-1,λ2=4. 评析本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力. 4.(2014 福建,21(1),7 分)已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1=(2　1 1　2). (Ⅰ)求矩阵 A; (Ⅱ)求矩阵 A-1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解析　(Ⅰ)因为矩阵 A 是矩阵 A-1 的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0, 所以 A=1 3( 2 ―1 ―1 2 )=( 2 3 ― 1 3 ― 1 3 2 3 ). (Ⅱ)矩阵 A-1 的特征多项式为 f(λ)=|휆 ― 2 ―1 ―1 휆 ― 2|=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3), 令 f(λ)=0,得矩阵 A-1 的特征值为 λ1=1 或 λ2=3, 所以 ξ1=(1 ―1)是矩阵 A-1 的属于特征值 λ1=1 的一个特征向量, ξ2=(1 1)是矩阵 A-1 的属于特征值 λ2=3 的一个特征向量. 【三年模拟】 解答题(共 60 分) 1.(2019 届江苏南京六校调研)设矩阵 A 满足 A[1 2 0 6]=[ -1 -2 0 3 ],求矩阵 A 的逆矩阵 A-1. 解析　A=[ -1 -2 0 3 ][1 2 0 6]-1 =[ -1 -2 0 3 ][1 - 1 3 0 1 6 ]=[ -1 0 0 1 2]. 因为 det A=-1 2,所以 A-1=[ -1 0 0 2]. 2.(2018 江苏南京、盐城一模)已知矩阵 M=[2 0 0 1],求圆 x2+y2=1 在矩阵 M 的变换下所得的曲线方程. 解析　设 P(x0,y0)是圆 x2+y2=1 上任意一点,则푥20+푦20=1. 设点 P(x0,y0)在矩阵 M 对应的变换下所得的点为 Q(x,y),则[푥 푦]=[2 0 0 1][푥0 푦0],即{푥 = 2푥0, 푦 = 푦0, 解得{푥0 = 1 2x, 푦0 = y. 代入푥20+푦20=1,得 푥2 4 +y2=1,即为所求的曲线方程. 3.(2017 江苏镇江期末)已知实数 a,b,矩阵 A=[2 푎 푏 -1]对应的变换将直线 x-y-1=0 变换为自身,求 a,b 的值. 解析　设直线 x-y-1=0 上任意一点 P(x,y)在变换 TA 的作用下变成点 P'(x',y'). 由[2 푎 푏 -1][푥 푦]=[푥' 푦'],得{푥' = 2푥 + 푎푦, 푦' = 푏푥 - 푦. 因为 P'(x',y')在直线 x-y-1=0 上, 所以 x'-y'-1=0,即(2-b)x+(a+1)y-1=0. 又因为 P(x,y)在直线 x-y-1=0 上,所以 x-y-1=0. 因此{2 - 푏 = 1, 푎 + 1 = -1. 解得 a=-2,b=1. 4.(2018 江苏南京、盐城、连云港二模)已知 α=[1 1]为矩阵 A=[1 푎 -1 2]属于实数 λ 的一个特征向量,求 λ 和 A2. 解析　因为[1 푎 -1 2][1 1]=λ[1 1],所以{1 + 푎 = 휆, -1 + 2 = 휆, 解得{푎 = 0, 휆 = 1,所以 A=[1 0 -1 2],所以 A2=[1 0 -3 4]. 5.(2018 江苏南京学情调研)设二阶矩阵 A=[1 2 3 4]. (1)求 A-1; (2)若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C':6x2-y2=1,求曲线 C 的方程. 解析　(1)根据逆矩阵公式,可得 A-1=[ -2 1 3 2 - 1 2]. (2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P'(x',y'), 则[푥' 푦']=[1 2 3 4][푥 푦]=[푥 + 2푦 3푥 + 4푦], 所以{푥' = 푥 + 2푦, 푦' = 3푥 + 4푦. 因为(x',y')在曲线 C'上,所以 6x'2-y'2=1, 代入得 6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得 8y2-3x2=1, 所以曲线 C 的方程为 8y2-3x2=1. 6.(2018 江苏苏州高三上学期期中调研,21B)已知矩阵 A=[1　2 2　1],α=[4 2],求 A49α 的值. 解析　矩阵 A 的特征多项式 f(λ)=|휆 ― 1 ―2 ―2 휆 ― 1|=λ2-2λ-3. 令 f(λ)=0,解得矩阵 A 的特征值 λ1=-1,λ2=3. 当 λ=-1 时特征向量为 α1=[ 1 ―1], 当 λ=3 时特征向量为 α2=[1 1], 又∵α=[4 2]=α1+3α2, ∴A49α=휆491 α1+3휆492 α2=[350 - 1 350 + 1]. 方法点拨　解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把已知向量用 特征向量表示,最后求得结果.