- 2.02 MB
- 2021-04-17 发布
60 44 66 44 21
66 06 58 05 62
61 65 54 35 02
42 35 48 96 32
14 52 41 52 48
92 66 22 15 86
76 63 75 41 99
58 42 36 72 24
文科数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若集合 {13}A ， ， {2 3 4}B ，， ，则 A B
A．{1} B．{2} C．{3} D．{1 2 3 4}，，，
2．已知1 i 是关于 x 的方程 2 2 0ax bx （ a ，b R ）的一个根，则 a b
A． 1 B．1 C． 3 D．3
3．等比数列{an}中， 1
1 , 28a q ，则 4a 与 8a 的等比中项是
A．±4 B．4 C． 1
4
D． 1
4
4．要得到函数 siny x 的图象，只需将函数 cosy x
的图象
A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位
5．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是
A． 6 B．5
C． 4 D．3
6．总体由编号为 01,02，...，39,40 的 40 个个体组成.利用
下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表
（如右表）第 1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右
依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为
A．23 B．21
C．35 D．32
7．如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之
间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色
小圆半径的 2 倍．若在正方形图案上随机取一点，
则该点取自黑色区域的概率为
A．
8
B．
16
C．
81 D．
161
8．抛物线 y＝－4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是
A．－17
16 B．－15
16 C． 7
16 D．15
16
9．函数
2
1
2
log ( 5 6)y x x 的单调增区间为
A． 5
2
， B． (3 ) ， C． 5
2
， D． ( 2)，
10．在正六棱锥 P-ABCDEF 中，底面边长和侧棱分别是 2 和 4，M,N 分别是 AB 和 DE 的中
点，给出下面三个判断：（1）PD 和 AB 所成的角的余弦值为
4
1 ;(2)PC 和底面所成的角是
3
；（3）平面 PAB 平面 PMN；其中判断正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知 1F、 2F是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点，过点 2F作以 1F为圆心， 1OF
为半径的圆的切线， P为切点，若切线段 2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为
A．2 B． 2 C． 3 D． 5
2
12．在 ABC 中， 2
3 9,AB AC AC AB AC ，点 P 是 ABC 所在平面内一点，
则当 2 2 2PA PB PC 取得最小值时， PA BC
A． 24 B． 6 2 C． 9
2 D． 24
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知函数 ( )y f x 为奇函数，若 (3) (2) 1f f ，则 ( 2) ( 3)f f ．
14．满足约束条件
0
1
0
x
yx
yx
，则 2z x y 的最大值______．
15．已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 1cos 4B ， 4b ，sin 2sinA C ，
则△ABC 的面积为__________．
16．设数列 }{ na 满足 a1=2,a2=6，，且 an+2-2an+1+an=2，若[x]表示不超过 x 的最大整数，
则
202021
202020202020
aaa ___________.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分)
17．(12 分)
党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚
决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单
位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，
其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，
现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取 100 件作为样本进行检测，
测试指标结果的频数分布表如下：
甲种生产方式：
指标区间 [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95]
频数 5 15 20 30 15 15
乙种生产方式：
指标区间 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
频数 5 15 20 30 20 10
（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出 5 件产
品，①求这 5 件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这 5 件产品中，随机抽出 2 件，
求这 2 件中恰有 1 件是优等品的概率；
（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售 55 元，若是合格品每件可售 25 元.甲种
生产方式每生产一件产品的成本为 15 元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为 20 元.用样
本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶
贫村来脱贫？
18．(12 分)
一个多面体的直观图及三视图如图所示
(其中 M，N 分别是 AF，BC 的中点)．
（1）求证：MN∥平面 CDEF；
（2）求多面体 A－CDEF 的体积．
19．(12 分)
如图，考虑点 A(1,0), ,sin,cos,sin,cos 21 PP
)sin(),cos( P ,从这个图出发.
（1）推导公式： sinsincoscos)cos(
（2）利用（1）的结果证明： )cos()cos(2
1coscos
并计算 5.37cos5.37sin 的值.
20．(12 分)
已知函数 f（x）＝x＋alnx 在 x＝1 处的切线 l 与直线 x＋2y＝0 垂直，
函数 g（x）＝f（x）＋ 21
2 x －bx．
（1）求实数 a 的值；
（2）设 x1，x2 （x1＜x2）是函数 g（x）的两个极值点，若 b≥ 7
2
，求 g（x1）－g（x2）的
最小值．
21．(12 分)
已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别是 E、F，离心率 7
4e ，过点 F
的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，△ABE 的周长为 16．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知 O 为原点，圆 D： 2 2 23x y r （r>0）与椭圆 c 交于 M、N 两点，点 P 为
椭圆 C 上一动点，若直线 PM、PN 与 x 轴分别交于 G、H 两点，求证：|OG|·|OH|为定值．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
一题记分.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线l 的参数方程为
1
2
3 12
x t
y t
（t 为参数）.在以坐标
原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极
坐标方程是 2 2sin 4
.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点 0, 1P .若直l 与曲线 C 相交于两点 ,A B ,求 PA PB 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]
已知 1 2f x x x .
（1）求使得 2f x 的 x 的取值集合 M ；
（2）求证：对任意实数 a ， 0b a ，当 Rx C M 时， a b a b a f x 恒成立.
（文科）参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A B B C B D D A D
二．填空题：13. 1； 14. 2； 14. 15 ； 16. 2019；
三：解答题：
17. 解：（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为 0.6，合格品率为 0.4，所以抽出的 5 件产品
中，优等品 3 件，合格品 2 件.-----2 分
②记 3 件优等品为 ， ， ，2 件合格品分别为 ， ，从中随机抽 2 件，抽取方式有 ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种，
设“这 2 件中恰有 1 件是优等品的事件”为 ，则事件 发生的情况有 6 种，
所以 .------7 分
（2）根据样本知甲种生产方式生产 100 件农产品有 60 件优等品，40 件合格品；乙种生产方
式生产 100 件农产品有 80 件优等品，20 件合格品.
设甲种生产方式每生产 100 件所获得的利润为 元，
乙种生产方式每生产 100 件所获得的利润为 元，
可得 （元），----9 分
（元），-----11 分
由于 ，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶
贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好.-----12 分
18. （I）由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝π
2.
取 BF 的中点 G，连接 MG，NG，由 M，N 分别为 AF，BC 的中点可得，NG∥CF，MG∥AB∥EF，
且 NG∩MG＝G，CF∩EF＝F，
∴平面 MNG∥平面 CDEF，又 MN 平面 MNG，
∴MN∥平面 CDEF…………………………….6 分
(II)取 DE 的中点 H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱 ADE－BCF 中，平面 ADE⊥平面 CDEF，
平面 ADE∩平面 CDEF＝DE，AH 平面 ADE，
∴AH⊥平面 CDEF.
∴多面体 A－CDEF 是以 AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，
AH＝S 矩形 CDEF＝DE·EF＝4，
∴棱锥 A－CDEF 的体积为 V＝1
3·S 矩形 CDEF·AH＝1
3×4×＝8
3……………12 分
19.
sinsin-coscos)cos(
.)sin(sin)cos(cos)(sin1)cos(1 22222
21
2
即
），即（）（ PPAP …6 分
（1）中的向量方法同样给分
8
2675sin2
15.37cos5.37sin
)]-cos()[cos(2
1coscossinsincoscos)-cos(
sinsin-coscos)cos(2
）（
……12 分
20. 解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， …………2 分
又 与直线 垂直，∴ ，∴ ．……4 分
(Ⅱ) ，
令 ，得 ，
,……………6 分
, …8 分
， 所以设
，所以 在 单调递减， ……10 分
，
，
∴ ，
故所求的最小值是 ．…………12 分
21. （1）由题意得 ，则 ，·······2 分
由 ，解得 ，·······4 分
则 ，所以椭圆 的方程为 ．·······6 分
（2）证明：由条件可知， ， 两点关于 轴对称，设 ， ，则
，由题可知， ， ，
∴ ， ．·······8 分
又直线 的方程为 ，
令 得点 的横坐标 ，·······10 分
同理可得 点的横坐标 ．
∴ ，即 为定值．·······12 分
22．【解析】（1）将直线l 的参数方程消去参数 t 并化简，得
直线l 的普通方程为 3 1 0x y . …2 分
将曲线 C 的极坐标方程化为 2 2 22 2 sin cos2 2
.
即 2 2 sin 2 cos .∴x2+y2=2y+2x.
故曲线 C 的直角坐标方程为 2 21 1 2x y . …5 分
（2）将直线l 的参数方程代入 2 21 1 2x y 中，得
221 31 2 22 2t t
.
化简，得 2 1 2 3 3 0t t . …7 分
∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线 C 的交点 A，B 对应的参数 t1，t2.
由根与系数的关系，得 1 2 2 3 1t t ， 1 2 3t t ，即 t1，t2 同正.
由直线方程参数的几何意义知,
1 2 1 2 2 3 1PA PB t t t t .…10 分
23.【解析】（1）由 2f x ，即| 1| | 2 | 2x x .
而| 1| | 2 |x x 表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和，…2 分
而数轴上满足| 1| | 2 | 2x x 的点的坐标为 1
2
和 5
2
，
故不等式| 1| | 2 | 2x x 的解集为 1 5{| }2 2x x 或 . …5 分
（2）证明：要证| | | | | | ( )a b a b a f x ，只需证 | | | |
| |
a b a bf x a
，…6 分
∵| | | | | | 2 | |a b a b a b a b a ，当且仅当 0a b a b 时取等号，
∴ | | | | 2| |
a b a b
a
…8 分
由（1），当 Rx C M 时， 2f x ∴ | | | |( ) | |
a b a bf x a
∴原命题成立. …10 分