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- 2021-04-17 发布
2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．在等比数列{an}中，a1=2，a4=16则公比q为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．若命题p：∀x∈R，x2+1＜0，则￢p：（ ）
A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≥0
C．∀x∈R，x2+1＞0 D．∀x∈R，x2+1≥0
3．“x＞5”是“x＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．抛物线y2=4x的准线方程为（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1
5．下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b⇒a﹣c＜b﹣c B．a＞b⇒a2＞b2 C．a＞b＞0⇒ D．a＞b⇒ac2＞bc2
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a2+b2=c2﹣ab，则C的大小是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
7．已知x＞1，则不等式x+的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
8．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a4a5=3，则log3a1+log3a2+…+log3a8=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
9．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
10．函数f（x）=﹣4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
11．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（ ）
A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里
12．设函数f'（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．椭圆+=1的焦距为 ．
14．在等差数列{an}中，若a2+a8=8，则数列{an}的前9项和S9= ．
15．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为 海里．
16．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在锐角△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若a=，b=1，求A的大小．
18．已知关于x的不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0．
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．
19．已知等差数列{an}满足：a2=5，a5=11，其前n项和为Sn．
（1）求an及Sn；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．若实数x，y满足约束条件
（1）求目标函数z=x+y的最大值；
（2）求目标函数z=的最小值．
21．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．
22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆x2+y2=4上运动时，点M形成的轨迹为L．
（1）求轨迹L的方程；
（2）已知定点E（﹣2，0），若直线y=kx+2（k≠0）与点M的轨迹L交于A，B两点，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．在等比数列{an}中，a1=2，a4=16则公比q为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1=2，a4=16，
∴，
解得公比q=2．
故选：A．
2．若命题p：∀x∈R，x2+1＜0，则￢p：（ ）
A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≥0
C．∀x∈R，x2+1＞0 D．∀x∈R，x2+1≥0
【考点】命题的否定．
【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得到所求．
【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+1＜0，则￢p：∃x0∈R，x02+1≥0．
故选：B．
3．“x＞5”是“x＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：不妨令A=（5，+∞），B=（3，+∞），
∵A⊊B，∴x＞5”是“x＞3”的充分不必要条件，
故选：A．
4．抛物线y2=4x的准线方程为（ ）
A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y2=4x的准线方程．
【解答】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，
∴抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1．
故选A．
5．下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b⇒a﹣c＜b﹣c B．a＞b⇒a2＞b2 C．a＞b＞0⇒ D．a＞b⇒ac2＞bc2
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：A．a＞b⇒a﹣c＞b﹣c，因此A不成立．
B．取a=﹣1，b=﹣2时不成立．
C．由a＞b＞0，则，即＞，成立．
D．c=0时不成立．
综上可得：只有C成立．
故选：C．
6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a2+b2=c2﹣ab，则C的大小是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
【考点】余弦定理．
【分析】先化简a2+b2=c2﹣ab，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C
【解答】解：由a2+b2=c2﹣ab得，a2+b2﹣c2=﹣ab，
由余弦定理得，cosC==，
因为0°＜C＜180°，所以C=120°，
故选A．
7．已知x＞1，则不等式x+的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
【考点】基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞1，∴不等式x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．
故选：D．
8．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a4a5=3，则log3a1+log3a2+…+log3a8=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
【考点】数列的求和．
【分析】利用导数的运算法则化简所求的和，通过等比数列的性质求解即可．
【解答】解：等比数列{an}中，每项均是正数，a4a5=3，可得a4a5=a3a6=a2a7=a1a8=3，
则log3a1+log3a2+…+log3a8=log3（a1a2a3a4a5a6a7a8）==4．
故选：C．
9．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±
x，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程转化求解离心率即可．
【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，
可得： =，
，
可得e=．
故选：C．
10．函数f（x）=﹣4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先求导函数，研究出函数在区间[0，3]上的单调性，从而确定出函数最值的位置，求出函数的最值．
【解答】解：∵函数f（x）=﹣4x+4，
∴f′（x）=x2﹣4．x∈[0，3]，
令f′（x）＞0，解得3≥x＞2；令f′（x）＜0，解得0≤x＜2
故函数在[0，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，
所以函数在x=2时取到最小值f（2）=﹣8+4=﹣，f（0）=4，f（3）=9﹣12+4=1
在x=0时取到最大值：4．
故选：B．
11．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（ ）
A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意知，良马每日行的距离成等差数列，驽马每日行的距离成等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{an}，其中a1=103，d=13；
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；
设长安至齐为x里，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm
=103×9++97×9+=2x，解得x=1125．
故选：D．
12．设函数f'（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，再画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．
【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，
即或，
解得0＜x＜1或x＜﹣1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．椭圆+=1的焦距为 4 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】直接利用椭圆的方程，求出长半轴，短半轴，然后求解焦距．
【解答】解：椭圆+=1的长半轴为3，短半轴为，则c=，
椭圆的焦距为：4．
故答案为：4．
14．在等差数列{an}中，若a2+a8=8，则数列{an}的前9项和S9= 36 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=a1+a9，再利用求和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=8=a1+a9，
∴数列{an}的前9项和S9==9×4=36．
故答案为：36．
15．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为 a 海里．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．
【解答】解：依题意知∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
在△ABC中，由余弦定理知AB===a．
即灯塔A与灯塔B的距离为a．
故答案为： a
16．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于 9 ．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．
【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b
∵在x=1处有极值
∴a+b=6
∵a＞0，b＞0
∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号
所以ab的最大值等于9
故答案为：9
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．在锐角△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若a=，b=1，求A的大小．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，求出sinB的值，由条件和特殊角的三角函数值求出B；
（2）由条件和正弦定理求出sinA值，由条件和特殊角的三角函数值求出A．
【解答】解：（1）由题意得，a=2bsinA，
由正弦定理得，sinA=2sinBsinA，
又sinA≠0，则sinB=，
因为△ABC是锐角三角形，
所以B=30°；
（2）因为a=，b=1，B=30°，
所以由正弦定理得，
==，
因为△ABC是锐角三角形，
所以A=45°．
18．已知关于x的不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0．
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（1）a=2时解对应的一元二次不等式即可；
（2）a∈R且a≠0且a≠1时，讨论a2与a的大小，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0即可．
【解答】解：（1）当a=2时，不等式化为（x﹣2）（x﹣4）＜0，
解得2＜x＜4，
所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}；
（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，
当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a2＜x＜a；
当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a＜x＜a2；
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．
19．已知等差数列{an}满足：a2=5，a5=11，其前n项和为Sn．
（1）求an及Sn；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列和．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）设数列的首项为a1，公差为d．因为a2=5，a5=11，所以d==2，
可得a1=3，所以an=3+2（n﹣1）=2n+1，
Sn==n2+2n．
（2）由（1）可知an=2n+1，
所以bn===，
所以Tn=1+…+=．
数列{bn}的前n项和Tn为：．
20．若实数x，y满足约束条件
（1）求目标函数z=x+y的最大值；
（2）求目标函数z=的最小值．
【考点】简单线性规划．
【分析】（1）画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．
（2）转化目标函数，利用几何意义求解即可．
【解答】解：实数x，y满足约束条件表示的可行域是ABC，其中A（，），B（﹣2，﹣1），C（3，0）
（1）当直线z=x+y经过A时，目标函数取得最大值： =4．
（2）目标函数z==，它的几何意义时可行域的点与（﹣3，3）的距离，
由图形可知（﹣3，3）到x﹣y+1=0的距离最小，
可得z==．
21．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b即可；
（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，
所以．
又函数f（x）在x=1处有极值，
所以即
可得，b=﹣1．
（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），
且
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）
22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆x2+y2=4上运动时，点M形成的轨迹为L．
（1）求轨迹L的方程；
（2）已知定点E（﹣2，0），若直线y=kx+2（k≠0）与点M的轨迹L交于A，B两点，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）利用点M在DP的延长线上，，确定M，P坐标之间的关系，P的坐标代入圆的方程，即可求动点M的轨迹E的方程；
（2）若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点，则EA⊥EB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1•y2+（x1+2）（x2+2）=0，构造方程求出k值即可．
【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），
则x0=x，y0=①
∵P（x0，y0）在圆上，
∴x02+y02=4②
将①代入②得（y≠0）．
∴动点M的轨迹方程为（y≠0）；
（2）假若存在k的值，使以AB为直径的圆过E点．
由直线与椭圆方程联立，化简得：（9+4k2）x2+16kx﹣20=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣
∴y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2（x1•x2）+2k（x1+x2）+4
要使以AB为直径的圆过M点，当且仅当EA⊥EB，即y1•y2+（x1+2）（x2+2）=0时满足条件
∴（k2+1）（x1•x2）+2（k+1）（x1+x2）+8=0
代入化简得﹣20k2﹣32k+52=0
解得k=﹣或1，
经检验k=﹣或1满足条件，
综上可知，存在k=﹣或1使以AB为直径的圆过E点．