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- 2021-04-17 发布
2018年高考桂林市、贺州市联合调研考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为时，用电量度数为（ ）
A．68 B．67 C．65 D．64
4．的展开式中的系数为（ ）
A．208 B．216 C．217 D．218
5．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．101 B．120 C．121 D．103
6．设的三个内角所对的边分别为，如果
，且，那么的外接圆面积与内切圆面积的比值为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
7．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．36 C． D．
9．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
10．已知圆，抛物线，与相交于两点，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数满足，当时，.若函数在区间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知点为的重心，设的内角的对边为且满足向量，若，则实数（ ）
A．2 B．3 C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若满足约束条件，则的最小值为 ．
14．如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么 ．
15．已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则的面积为 ．
16．把长和宽分别为和2的长方形沿对角线折成的二面角，下列正确的命题序号是 ．
①四面体外接球的体积随的改变而改变；
②的长度随的增大而增大；
③当时，长度最长；
④当时，长度等于.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知等比数列中，，成等差数列；数列中的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2017年双11全天交易额达到1682亿元，为规范和评估该行业的情况，相关管理部门制定出针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行评价，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
（1）完成关于商品和服务评价的列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量：
①求对商品和服务全为好评的次数的分布列；
②求的数学期望和方差.
附：临界值表：
的观测值：（其中）
关于商品和服务评价的列联表：
19．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面交于点，且平面.
（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的右顶点，点是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为.试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值，其中，求的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、2倍后得到曲线.试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数；
（1）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围.
2018年高考桂林市、贺州市联合调研考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:DBABC 6-10:ADCBC 11、12：AD
二、填空题
13．-4 14． 15． 16．②④
三、解答题
17．解：（1）设等比数列的公比为；
因为成等差数列，故
，
即，故；
因为，即.
因为，故当时，.
当时，；
综上所述.
（2）知；
故数列的前项和为
.
18．解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：
，
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
（2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0,1,2,3.
其中；
；.
的分布列为：
②，，
19．解：（1）证：连结，设与相交于点，连接，
则为中点，
∵平面，平面平面
∴，
∴为的中点.
又∵为正三角形，
∴.
（2）∵，∴.
又，
∴.
又，∴平面
设的中点为，的中点为，以为原点，
所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，
∴.
平面的一个法向量，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．解：（1）可知离心率，故有，
又有点在椭圆上，代入得，
解得，，
故椭圆的方程为.
（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为
，，，
联立得.
∴，.
∵直线与斜率之积为.
而点，∴.
∴.
化简得，
∴，
化简得，解得或，
当时，直线的方程为，过定点.
代入判别式大于零中，解得.
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意.
故直线过定点.
21．解：（1）由题意得，其中，
令，，
①当时，令，得，，
所以，在单调递增；
②当时，，在单调递增；
③当时，令，得，，且
可知当时，，
在单调递增；
当时，，
在单调递减；
当时，，
在单调递增；
综上所述，当时，在单调递增；
当，在和单调递增，
在单调递减；
（2）由（1）知，
由题意知是的两根，
∴，，
可得，
∵，∴
令，
则有
当时，，在上单调递减，
的最小值为
，即的最小值为.
22．解：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：.
曲线的直角坐标方程为：，
∴曲线的参数方程为（为参数）.
（2）设点的坐标，则点到直线的距离为：
，
∴当，时，点，
此时.
23．解：（1），
∵对任意恒成立，
∴，解得或，
∵，∴实数的取值范围是.
（2）当时，，
若关于的不等式有解，
则函数的图象与直线有两个交点，
∴，解得.
∴实数的取值范围是.