高三数学（理数）总复习练习专题十四 圆锥曲线与方程 145页

1．(2015·福建，18，13 分，中)已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)过点(0， 2)，且离心率 e＝ 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 l：x＝my－1(m∈R)交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G(－9 4，0)与以线段 AB 为直径的圆的 位置关系，并说明理由． 解：(1)由已知得， {b＝ 2， c a＝ 2 2 ， a2＝b2＋c2， 解得{a＝2， b＝ 2， c＝ 2. 所以椭圆 E 的方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)方法一：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 H(x0，y0)． 由{x＝my－1， x2 4 ＋y2 2＝1， 得(m2＋2)y2－2my－3＝0， 所以 y1＋y2＝ 2m m2＋2 ，y1y2＝－ 3 m2＋2 ， 从而 y0＝ m m2＋2. 所以|GH|2＝(x0＋9 4) 2 ＋y20 ＝(my0＋5 4)2 ＋y20 ＝(m2 ＋1)y20＋5 2my0＋25 16. 因为|AB|2 4 ＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 4 ＝（1＋m2）（y1－y2）2 4 ＝（1＋m2）[（y1＋y2）2－4y1y2] 4 ＝(1＋m2)(y20－y1y2)， 故|GH|2－|AB|2 4 ＝5 2my0＋(1＋m2)y1y2＋25 16 ＝ 5m2 2（m2＋2）－3（1＋m2） m2＋2 ＋25 16 ＝ 17m2＋2 16（m2＋2）＞0， 所以|GH|＞|AB| 2 . 故点 G (－9 4，0)在以 AB 为直径的圆外． 方法二：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GA→ ＝(x1＋9 4，y1)，GB→ ＝(x2＋9 4，y2). 由{x＝my－1， x2 4 ＋y2 2＝1 得(m2＋2)y2－2my－3＝0， 所以 y1＋y2＝ 2m m2＋2 ，y1y2＝－ 3 m2＋2 ， 从而GA→ ·GB→ ＝(x1＋9 4)(x2＋9 4)＋y1y2 ＝(my1＋5 4)(my2＋5 4)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋5 4m(y1＋y2)＋25 16 ＝－3（m2＋1） m2＋2 ＋ 5 2m2 m2＋2 ＋25 16 ＝ 17m2＋2 16（m2＋2）＞0， 所以 cos〈GA→ ，GB→ 〉＞0. 又GA→ ，GB→ 不共线，所以∠AGB 为锐角， 故点 G (－9 4，0)在以 AB 为直径的圆外． 2．(2015·陕西，20，12 分，难)已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点 (c，0)，(0，b)的直线的距离为 1 2c. (1)求椭圆 E 的离心率； (2)如图，AB 是圆 M：(x＋2) 2＋(y－1)2＝5 2的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方 程． 解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为 bx＋cy－bc＝0， 则原点 O 到该直线的距离 d＝ bc b2＋c2 ＝bc a .由 d＝1 2c，得 a＝2b＝2 a2－c2， 解得离心率＝c a＝ 3 2 . (2)方法一：由(1)知，椭圆 E 的方程为 x2＋4y2＝4b2.① 依题意，圆心 M(－2，1)是线段 AB 的中点，且|AB|＝ 10. 易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 y＝k(x＋2)＋1，代入①得 (1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8k（2k＋1） 1＋4k2 ，x1x2＝4（2k＋1）2－4b2 1＋4k2 . 由 x1＋x2＝－4，得－8k（2k＋1） 1＋4k2 ＝－4， 解得 k＝1 2. 从而 x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ 1＋(1 2 )2 |x1－x2| ＝ 5 2 （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 10（b2－2）. 由|AB|＝ 10，得 10（b2－2）＝ 10，解得 b2＝3. 故椭圆 E 的方程为x2 12＋y2 3 ＝1. 方法二：由(1)知，椭圆 E 的方程为 x2＋4y2＝4b2.② 依题意，点 A，B 关于圆心 M(－2，1)对称，且|AB|＝ 10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2， 两式相减并结合 x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0. 易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1≠x2， 所以 AB 的斜率 kAB＝y1－y2 x1－x2＝1 2. 因此直线 AB 的方程为 y＝1 2(x＋2)＋1，代入②得 x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以 x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ 1＋(1 2 )2 |x1－x2| ＝ 5 2 （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 10（b2－2）. 由|AB|＝ 10，得 10（b2－2）＝ 10，解得 b2＝3. 故椭圆 E 的方程为x2 12＋y2 3 ＝1. 1．(2012·山东，10，中)已知椭圆 C： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 .双曲线 x2－y2＝1 的渐近线与 椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为(　　) A. x2 8 ＋y2 2 ＝1　　　　　　 B. x2 12＋y2 6 ＝1 C. x2 16＋y2 4 ＝1 D. x2 20＋y2 5 ＝1 【答案】　D　方法一：因为椭圆的离心率为 3 2 ，所以 e＝c a＝ 3 2 ，c2＝3 4a2＝a2－b2，所以 b2＝1 4a2， 即 a2＝4b2.双曲线的渐近线为 y＝±x，代入椭圆得x2 a2＋x2 b2＝1，即 x2 4b2＋x2 b2＝5x2 4b2＝1，所以 x2＝4 5b2，x＝± 2 5 b，所以 y＝± 2 5b，则在第一象限的交点坐标为( 2 5b， 2 5b)，所以四边形的面积为 4× 2 5b× 2 5b＝16 5 b2＝ 16，所以 b2＝5，所以椭圆方程为x2 20＋y2 5 ＝1，故选 D. 方法二：因为椭圆的离心率为 3 2 ，所以 e＝c a＝ 3 2 ，即 c2＝3 4a2＝a2－b2，所以 a2＝4b2.双曲线的渐近 线为 y＝±x，由椭圆的对称性及双曲线渐近线方程知该四边形为正方形，设第一象限交点为(x，x)，则 4x2＝ 16，所以 x＝2. 把(2，2)代入 x2 4b2＋y2 b2＝1，得 b2＝5，故椭圆方程为x2 20＋y2 5 ＝1. 2．(2013·大纲全国，8，中)椭圆 C：x2 4 ＋y2 3＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是(　　) A.[1 2， 3 4] B.[3 8， 3 4] C.[1 2，1] D.[3 4，1] 【答案】　B　设 P(x0，y0)，则有x 4＋y 3＝1， 即 4－x20＝4 3y20.① 由题意知 A1(－2，0)，A2(2，0)，设直线 PA1 的斜率为 k1，直线 PA2 的斜率为 k2，则 k1＝ y0 x0＋2 ，k2＝ y0 x0－2 ， 所以 k1·k2＝ y x－4.② 由①②得 k1·k2＝－3 4. 因为 k2∈[－2，－1]， 所以 k1 的取值范围为[3 8， 3 4]，故选 B. 3．(2014·福建，9，中)设 P，Q 分别为圆 x 2＋(y－6)2＝2 和椭圆x2 10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间 的最大距离是(　　) A．5 2 B. 46＋ 2 C．7＋ 2 D．6 2 【答案】　D　方法一：如图所示，设以(0，6)为圆心，以 r 为半径的圆的方程为 x 2＋(y－6) 2＝ r2(r>0)，与椭圆方程x2 10＋y2＝1 联立得方程组，消掉 x2 得 9y2＋12y＋r2－46＝0. 令 Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得 r2＝50，即 r＝5 2. 由题意易知 P，Q 两点间的最大距离为 r＋ 2＝6 2，故选 D. 方法二：如图所示，设 Q( 10cos θ，sin θ)，圆心为 M，由已知得 M(0，6)，则 |MQ| ＝ （ 10cos θ－0）2＋（sin θ－6）2 ＝ 10cos2θ＋sin2θ－12sin θ＋36 ＝ －9sin2θ－12sin θ＋46 ＝ －9(sin θ＋2 3)2 ＋50≤5 2， (当sin θ＝－2 3 时取等号) 故|PQ|max＝5 2＋ 2＝6 2. 4．(2012·江西，13，易)椭圆 x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A，B， 左、右焦点分别是 F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心 率为________． 【解析】　∵|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则 |F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即 4c2＝(a－c)·(a＋c)，得 a2＝5c2，∴e＝c a＝ 5 5 . 【答案】　 5 5 5．(2013·辽宁，15，中)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A， B 两点，连接 AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝4 5，则 C 的离心率 e＝________. 【解析】　设椭圆的右焦点为 F1，在△ABF 中，设|BF|＝x，则由余弦定理可得 cos∠ABF＝x2＋102－62 20x ＝4 5. 解得 x＝8，故∠AFB＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝90°，即△FAF1 是直角三角形，|FF1|＝10，故 2a＝8＋6＝14，2c＝10，e＝c a＝5 7. 【答案】　5 7 6．(2014·课标Ⅱ，20，12 分，中)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为3 4，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b. 解：(1)根据 c＝ a2－b2及题设知 M(c， b2 a )，2b2＝3ac. 将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac， 解得c a＝1 2，c a＝－2(舍去)． 故 C 的离心率为1 2. (2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1 的 中点，故b2 a ＝4，即 b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设 N(x1，y1)，由题意知 y1<0，则 {2（－c－x1）＝c， －2y1＝2， 即{x1＝－3 2c， y1＝－1. 代入 C 的方程，得9c2 4a2＋ 1 b2＝1.② 将①及 c＝ a2－b2代入②得 9（a2－4a） 4a2 ＋ 1 4a＝1. 解得 a＝7，b2＝4a＝28， 故 a＝7，b＝2 7. 7．(2013·重庆，21，12 分，难)如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率 e＝ 2 2 ，过左焦 点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程； (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P′.过 P，P′作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的 其余点均在圆 Q 外，若 PQ⊥P′Q，求圆 Q 的标准方程． 解：(1)由题意知 A(－c，2)在椭圆上，则（－c）2 a2 ＋22 b2＝1，从而 e2＋ 4 b2＝1， 由 e＝ 2 2 得 b2＝ 4 1－e2＝8， ∵e＝c a＝ 1－(b a )2，从而 a2＝ b2 1－e2＝16. 故该椭圆的标准方程为x2 16＋y2 8 ＝1. (2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0，0)，又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x－x0)2＋y2 ＝x2－2x0x＋x20＋8(1－x2 16) ＝1 2(x－2x0)2－x20＋8(x∈[－4，4])．(*) 设 P(x1，y1)，由题意知，P 是椭圆上到点 Q 的距离最小的点， 因此，当 x＝x1 时(*)式取最小值．又因为 x1∈(－4，4)，所以当 x＝2x0 时(*)式取最小值，从而 x1＝ 2x0，且|QP|2＝8－x20. 因为 PQ⊥P′Q，且 P′(x1，－y1)， 所以QP→ ·QP′→ ＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y21＝0. 由椭圆方程及 x1＝2x0 得 x 4－8(1－ x 16)＝0， 解得 x1＝± 4 6 3 ，x0＝x1 2 ＝± 2 6 3 . 从而|QP|2＝8－x20＝16 3 . 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 (x＋2 6 3 ) 2 ＋y2＝16 3 ， (x－2 6 3 )2 ＋y2＝16 3 . 考向 1　椭圆定义的应用 1．椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF 1|＋|MF2|＝2a，且 2a>|F 1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a＞c＞0，且 a，c 为常 数． 当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 2．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当 P 为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF1F2＝1 2|PF1||PF2|·sin θ＝b2· sin θ 1＋cos θ＝b2tan θ 2 ＝c|y0|，当|y0|＝b，即 P 为短轴端点时， S△PF1F2 取最大值，为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)． (1)(2015·江苏盐城一模，8)已知两圆 C 1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆 在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________． (2)(2012·四川，15)椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B.当△FAB 的周长 最大时，△FAB 的面积是________． 【解析】　(1)设动圆的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又 16>|C1C2|＝8，所以 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x2 64＋y2 48＝1. (2)如图所示，设椭圆右焦点为 F′，直线 x＝m 与 x 轴相交于点 C.由椭圆的定义， 得|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a＝4. 而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|， 所以当且仅当 AB 过点 F′时，△FAB 的周长最大． 此时，由 c＝1，得 A(1， 3 2)，B(1，－3 2)，即|AB|＝3. 所以 S△FAB＝1 2|AB||FF′|＝3. 【答案】　(1) x2 64＋y2 48＝1　(2)3 【点拨】　解题(1)的关键是将题目的条件转化为动点到两定点距离和为常数，进而利用椭圆定义解 答，注意常数 2a>|F1F2|这一条件；解题(2)的关键是利用椭圆定义将周长进行转化． 椭圆定义的应用的类型及方法 (1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆． (2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|， 再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积． (1)(2014·辽宁，15)已知椭圆 C：x2 9＋y2 4 ＝1，点 M 与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦 点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝________． (2)(2014·河南洛阳二模，12)已知 F 1，F2 是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上 的一点，且PF1→ ⊥PF2→ .若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________． 【解析】　(1)椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 中，a＝3. 如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6. ∵D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点， ∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|， ∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12. (2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→ ⊥PF2→ ， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝1 2|PF1||PF2|＝1 2×2b2＝b2＝9.∴b＝3. 【答案】　(1)12　(2)3 考向 2　求椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)． (2)当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)． 在x2 a2＋y2 b2＝1 和y2 a2＋x2 b2＝1 两个方程中都有 a>b>0 的条件，要分清焦点的位置，主要看含 x2 和 y2 的项 的分母的大小．例如，椭圆x2 m ＋y2 n ＝1(m>0，n>0，m≠n)，m>n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；m－m2，k>－n2)． (2)与椭圆x2 a2＋y2 b2 ＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为x2 a2＋y2 b2＝k1(k1>0，焦点在 x 轴上)或y2 a2＋x2 b2＝ k2(k2>0，焦点在 y 轴上)． (1)(2014·大纲全国，6)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为(　　) A. x2 3 ＋y2 2 ＝1 B. x2 3 ＋y2＝1 C. x2 12＋y2 8 ＝1 D. x2 12＋y2 4 ＝1 (2)(2014·安徽，14)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2 b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭 圆 E 于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________． 【解析】　(1)由题意及椭圆的定义知 4a＝4 3，则 a＝ 3，又c a＝ c 3＝ 3 3 ，∴c＝1，∴b2＝2，∴C 的方程为x2 3 ＋y2 2 ＝1，选 A. (2)不妨设点 A 在第一象限，如图所示． ∵AF2⊥x 轴，∴A(c，b2)(其中 c2＝1－b2，00)． 又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由AF1→ ＝3 F1B→ 得 B(－5c 3 ，－b2 3 )，代入 x2＋y2 b2＝1 得25c2 9 ＋ b4 9b2＝1，又 c2＝1－b2，∴ b2＝2 3. 故椭圆 E 的方程为 x2＋3 2y2＝1. 【答案】　(1)A　(2)x2＋3 2y2＝1 【点拨】　解题(1)的关键是△AF1B 周长的转化，利用椭圆定义得出 a；解题(2)的关键是根据线段长 度|AF1|＝3|F1B|转化为向量的坐标运算求出点 B 的坐标． 求椭圆标准方程的方法 1．定义法 根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有： (1)b2＝a2－c2； (2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； (3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a. 2．待定系数法 (1)一般步骤 ①判断：根据已知条件确定椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能； ②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意列关于 a，b，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． (2)常见问题形式 ①如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件 确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出椭圆的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能 是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． ②当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决： 一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置， 可以设椭圆的一般方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且 m≠n)． (2011·课标全国，14)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 2 2 .过 F 1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为 ________． 【解析】　由已知可设椭圆方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)， ∵AB 过 F1 且 A，B 在椭圆上，如图， ∴△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又∵离心率 e＝c a＝ 2 2 ， ∴c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴C 的方程为x2 16＋y2 8 ＝1. 【答案】　x2 16 ＋y2 8 ＝1 考向 3　椭圆几何性质的应用 椭圆的几何性质 标准方程 x2 a2＋y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋x2 b2＝1 (a>b>0) 图　形 范　围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶　点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b 焦　距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝c a∈(0，1) 性质 a，b，c 的 关系 a2＝b2＋c2 F1，F2 为椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，则 a－c≤|PF1|≤a＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c. (1)(2013·福建，14)椭圆 Γ：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若 直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． (2)(2015·山东济南质检，10)设 A1，A2 为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于 A1，A2 的点 P，使得PO→ ·PA2→ ＝0，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是(　　) A.(0， 1 2) B.(0， 2 2 ) C.(1 2，1) D.( 2 2 ，1) 【解析】　(1)由已知得直线 y＝ 3(x＋c)过 M，F1 两点，∴直线 MF1 的斜率为 3，∴∠MF1F2＝60 °，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，如图，故 MF1＝c，MF2＝ 3c，由点 M 在椭圆Γ上知：c＋ 3 c＝2a，故 e＝c a＝ 3－1. (2)A1(－a，0)，A2(a，0)，设 P(x，y)，则PO→ ＝(－x，－y)，PA2→ ＝(a－x，－y)， ∵PO→ ·PA2→ ＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，∴y2＝ax－x2>0，∴0 1 2.又 0< c a<1，∴ 2 2 < c a<1，故选 D. 【答案】　(1) 3－1　(2)D 【点拨】　解题(1)的关键是已知得到 a，c 的等量关系；解题(2)的条件是根据题意得出关于 a，c 的 不等式． 1.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求 a，b，c 的值，由 e2＝c2 a2＝a2－b2 a2 ＝1－(b a ) 2 直接求． (2)列出含有 a，b，c 的方程(或不等式)，借助于 b2＝a2－c2 消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不 等式)求解． 2．椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图 形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0b>0)的左、右焦点，P 为直线 x＝ 3a 2 上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为(　　) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 (2)(2015·山东日照模拟，10)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)， 若椭圆上存在点 P 使 a sin∠PF1F2＝ c sin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A．(0， 2－1) B.( 2 2 ，1) C.(0， 2 2 ) D．( 2－1，1) (1)【答案】　C　设直线 x＝3 2a 与 x 轴交于点 Q，由题意得∠PF2Q＝60°，|F2P|＝|F1F2|＝2c，|F2Q| ＝3 2a－c，所以 3 2a－c＝1 2×2c，e＝c a＝3 4，故选 C. (2)【答案】　D　由 a sin∠PF1F2＝ c sin∠PF2F1，得c a＝sin∠PF2F1 sin∠PF1F2. 又由正弦定理得sin∠PF2F1 sin∠PF1F2＝|PF1| |PF2|，所以|PF1| |PF2|＝c a， 即|PF1|＝c a|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝ 2a2 a＋c.因为|PF2|是△PF1F2 的一边，所以 有 a－c< 2a2 a＋c0，所以 e2＋2e－1>0(02，解得 0 0， 10－m > 0， m－2 > 10－m， 解得 6b>0) 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2 与圆 x2＋y2＝b2 相切于点 Q，且点 Q 为线段 PF2 的中点，则椭圆 C 的离心率为(　　) A. 3 2 B. 5 3 C. 6 3 D. 2 5 5 【答案】　B　如图，连接 OQ，PF1，∵点 Q 为线段 PF2 的中点，∴OQ∥PF1，|OQ|＝1 2|PF1|， ∴|PF1|＝2|OQ|＝2b. 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a－2b. ∵线段 PF2 与圆 x2＋y2＝b2 相切于点 Q， ∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|＝2c， ∴(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2， ∴4b2＋4a2＋4b2－8ab＝4(a2－b2)， ∴3b＝2a，∴5a2＝9c2， ∴e＝c a＝ 5 3 .故选 B. 6．(2014·广东汕头二模，14)已知 F 1，F2 是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A，B 分别是此椭 圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x 轴，|F1A|＝ 10＋ 5，则此椭圆的方程是________． 【解析】　由题意知，直线 AB 的斜率为－b a，故直线 OP 的斜率为－b a，直线 OP 的方程为 y＝－b a x，与椭圆方程x2 a2＋y2 b2＝1 联立，解得 x＝± 2 2 a.因为 PF1⊥x 轴，所以 x＝－ 2 2 a.从而－ 2 2 a＝－c，即 a＝ 2 c.又因为|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5，故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得 c＝ 5，从而 a＝ 10，b＝ 5.所以此椭圆的 方程为x2 10＋y2 5＝1. 【答案】　x2 10＋y2 5 ＝1 7．(2015·安徽黄山质检，13)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭 圆 C 与 y 轴的交点，若以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离 心率的取值范围是________． 【解析】　∵点 P 为椭圆 C 与 y 轴的交点，以 F1，F2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝 角三角形，∴∠F1PF2≤90°，∴tan∠OPF2≤1，∴c b≤1，c≤b，c2≤a2－c2，∴0b1>0)和椭圆 C2：x2 a ＋y2 b ＝1(a2>b2>0)的焦点相同 且 a1>a2.给出如下四个结论： ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点；②a1 a2> b1 b2； ③a21－a22＝b21－b22；④a1－a2a2，故 b1>b2，因此两椭圆必无公共点，即命题①为真命题； 又由于两椭圆焦点相同，a1>a2，a21b22＝a21(a22－c2)b>0)的右焦点，⊙ F：(x－c)2＋y2＝a2 与 x 轴交于 D，E 两点，其中 E 是椭圆 C 的左焦点． (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设⊙F 与 y 轴的正半轴的交点为 B，点 A 是点 D 关于 y 轴的对称点，试判断直线 AB 与⊙F 的位 置关系； (3)设直线 BF 与⊙F 交于另一点 G，若△BGD 的面积为 4 3，求椭圆 C 的标准方程． 解：(1)∵⊙F：(x－c)2＋y2＝a2 过椭圆 C 的左焦点， ∴将(－c，0)代入⊙F 的方程，得 4c2＝a2，可得 a＝2c. ∴椭圆 C 的离心率 e＝c a＝1 2. (2)在方程(x－c)2＋y2＝a2 中令 x＝0，得 y2＝a2－c2＝b2， ∴⊙F 与 y 轴的正半轴的交点为 B(0，b)，可知点 B 为椭圆的上顶点， 又∵a＝2c，∴b＝ a2－c2＝ 3c，故 B(0， 3c)， 在圆 F 的方程中令 y＝0，可得点 D 坐标为(3c，0)， ∴D 关于 y 轴的对称点是 A(－3c，0)， 由此可得直线 AB 的斜率 kAB＝ 3c 3c ＝ 3 3 ， 而直线 FB 的斜率 kFB＝ 3c －c ＝－ 3， ∵kAB·kFB＝－1，∴直线 AB 与半径 BF 相垂直， ∴直线 AB 与⊙F 相切． (3)∵DF 是△BDG 的中线， ∴S△BDG＝2S△BFD＝|FD|·|OB|＝2c· 3c＝4 3， 解之得 c2＝2，从而得出 a2＝4c2＝8，b2＝3c2＝6， ∴椭圆 C 的标准方程为x2 8 ＋y2 6 ＝1. 1．(2015·安徽，4，易)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝±2x 的是(　　) A．x2－y2 4 ＝1 B. x2 4 －y2＝1 C. y2 4 －x2＝1 D．y2－x2 4 ＝1 【答案】　C　满足焦点在 y 轴上的为 C，D 中的双曲线． 而 C 中双曲线的渐近线方程为 y＝±2x.故选 C. 2．(2015·广东，7，中)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1 的离心率 e＝5 4，且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为(　　) A. x2 4 －y2 3 ＝1 B. x2 9 －y2 16＝1 C. x2 16－y2 9 ＝1 D. x2 3 －y2 4 ＝1 【答案】　C　由 F2(5，0)知 c＝5.又 e＝c a＝5 4，得 a＝4，所以 b＝ c2－a2＝ 52－42＝3，所以双曲 线的方程为x2 16－y2 9 ＝1，故选 C. 3．(2015·湖北，8，中)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0) 个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则(　　) A．对任意的 a，b，e1>e2 B．当 a>b 时，e1>e2；当 ab 时，e1e2 【答案】　D　(特殊值法)结合选项取值． ①当 a＝1，b＝2，m＝1 时， e1＝ 5，e2＝ 13 2 ，∴e1>e2，故 B，C 错误． ②当 a＝2，b＝1，m＝1 时， e1＝ 5 2 ，e2＝ 13 3 ，∴e10)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a＝________． 【解析】　∵x2 a2－y2＝1(a>0)， ∴其渐近线为 y＝± 1 ax. 又∵双曲线的一条渐近线为 y＝－ 3x， ∴1 a ＝ 3，即 a＝ 3 3 . 【答案】　 3 3 7．(2015·江苏，12，中)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为________． 【解析】　因为直线 x－y＋1＝0 与双曲线的渐近线 y＝x 平行，且两平行线间的距离为 2 2 ，由图形 知， 双曲线右支上的动点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离的最小值无限趋近于 2 2 ，要使距离 d 大于 c 恒成立， 只需 c≤ 2 2 即可．故 c 的最大值是 2 2 . 【答案】　 2 2 8．(2015·湖南，13，中)设 F 是双曲线 C： x2 a2－y2 b2＝1 的一个焦点．若 C 上存在点 P，使线段 PF 的 中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为________． 【解析】　如图，F(－c，0)，PF 中点 Q(0，b)，则 P(c，2b)，代入双曲线得， c2 a2－4b2 b2 ＝1⇒ c2 a2＝e2＝5，∴e＝ 5. 【答案】　 5 1．(2014·课标Ⅰ，4，易)已知 F 为双曲线 C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐 近线的距离为(　　) A. 3 B．3 C. 3m D．3m 【答案】　A　由已知得双曲线 C：x2 3m－y2 3 ＝1，则 c2＝3m＋3，c＝ 3m＋3.设 F( 3m＋3，0)，一条 渐近线方程为：y＝ 3 3mx＝ 1 mx，即 x－ my＝0，∴点 F 到渐近线的距离 d＝ 3m＋3 m＋1 ＝ 3，故选 A. 2．(2013·广东，7，易)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，离心率等于3 2，则 C 的方程 是(　　) A. x2 4 －y2 5＝1 B. x2 4 －y2 5 ＝1 C. x2 2 －y2 5 ＝1 D. x2 2 －y2 5＝1 【答案】　B　∵c＝3，c a＝3 2， ∴a＝2，∴a2＝4. ∴b2＝c2－a2＝9－4＝5. ∴双曲线的标准方程为x2 4 －y2 5 ＝1.故选 B. 3．(2013·课标Ⅰ，4，易)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为 (　　) A．y＝± 1 4x B．y＝± 1 3x C．y＝± 1 2x D．y＝±x 【答案】　C　∵b a＝ e2－1＝ 5 4－1＝1 2 ， ∴C 的渐近线方程为 y＝± 1 2x.故选 C. 4．(2013·湖北，5，中)已知 0<θ< π 4 ，则双曲线 C1： x2 cos2θ－ y2 sin2θ＝1 与 C2： y2 sin2θ－ x2 sin2θtan2θ ＝1 的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】　D　θ∈(0， π 4 )时，0r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为 a1，双曲线实半 轴长为 a2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e1，e2，由(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos π 3 ，得 4c2＝r21＋r22－r2r2. 由{r1＋r2＝2a1， r1－r2＝2a2 得{r1＝a1＋a2， r2＝a1－a2， ∴ 1 e1＋ 1 e2＝a1＋a2 c ＝r1 c . 令 m＝ r c2＝ 4r r＋r－r1r2 ＝ 4 1＋(r2 r1 ) 2 －r2 r1 ＝ 4 (r2 r1－1 2)2 ＋3 4 ， 当r2 r1＝1 2时，mmax＝16 3 ， ∴(r1 c ) max＝4 3 3 ， 即 1 e1＋ 1 e2的最大值为4 3 3 . 方法二：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为 a1，双曲线实半轴长为 a2，椭圆、双 曲线的离心率分别为 e1，e2， 依题意得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos π 3 ，① 在椭圆中，①式化简得 4c2＝4a21－3r1r2， 则3r1r2 4c2 ＝1 e－1.② 在双曲线中，①式化简得 4c2＝4a22＋r1r2， 则r1r2 4c2 ＝－1 e＋1.③ 联立②③得1 e＋3 e ＝4. 由柯西不等式得 (1＋1 3)(1 e＋3 e) ≥(1 × 1 e1＋ 1 3 × 3 e2 ) 2 ， 解得1 e1＋ 1 e2≤4 3 3 ，当且仅当 e1＝ 3 3 ，e2＝ 3时等号成立． 6．(2014·北京，11，易)设双曲线 C 经过点(2，2)，且与y2 4 －x2＝1 具有相同渐近线，则 C 的方程为 ________；渐近线方程为________． 【解析】　由题意知，可设 C 的方程为 y2 4 －x2＝λ(λ≠0)， 把(2，2)代入 C 的方程得4 4－4＝λ， ∴λ＝－3， ∴C 的方程为y2 4 －x2＝－3， 即x2 3 －y2 12＝1，渐近线方程为 y＝±2x. 【答案】　x2 3 －y2 12＝1　y＝±2x 7．(2013·陕西，11，易)双曲线 x2 16－y2 m ＝1 的离心率为5 4，则 m 等于________． 【解析】　由题意知 m>0，则 e2＝c2 a2＝1＋b2 a2＝1＋ m 16＝25 16，解得 m＝9. 【答案】　9 8．(2014·浙江，16，中)设直线 x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别 交于点 A，B.若点 P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________． 【解析】　由双曲线的方程可知，其渐近线方程为 y＝b ax 与 y＝－b ax，分别与 x－3y＋m＝0 联立方 程组，解得 A(－am a－3b， －bm a－3b)，B(－am a＋3b， bm a＋3b). 设 AB 的中点为 Q， 则 Q(－am a－3b ＋ －am a＋3b 2 ， －bm a－3b ＋ bm a＋3b 2 ). 由|PA|＝|PB|得，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，由此可得 PQ 与线段 AB 垂直，代入数据化简可 得 a2＝4b2＝4(c2－a2)，即c2 a2＝5 4，故 e＝c a＝ 5 2 . 【答案】　 5 2 考向 1　双曲线定义的应用 双曲线的定义及理解 (1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定 点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距． (2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时， 曲线仅表示焦点 F1 所对应的双曲线的一支；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线； 当 2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在． 理解双曲线的定义要注意以下两点：①平面内的动点到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值为常数；② 这个常数要小于焦距|F1F2|. (1)(2014·重庆，8)设 F1，F2 分别为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上 存在一点 P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝9 4ab，则该双曲线的离心率为(　　) A. 4 3 B. 5 3 C. 9 4 D．3 (2)(2014·大纲全国，9)已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1，F2，点 A 在 C 上．若|F1A|＝2|F2A|， 则 cos∠AF2F1＝(　　) A. 1 4 B. 1 3 C. 2 4 D. 2 3 (3)(2015·湖北孝感质检，13)△ABC 的顶点 A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是________． 【解析】　(1)不妨设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得 r1－r2＝ 2a， 又 r1＋r2＝3b， 故 r1＝3b＋2a 2 ，r2＝3b－2a 2 . 又 r1·r2＝9 4ab，所以3b＋2a 2 ·3b－2a 2 ＝9 4ab， 解得b a＝4 3(负值舍去)， 故 e＝c a＝ a2＋b2 a2 ＝ 1＋(b a )2 ＝ (4 3 ) 2 ＋1＝5 3. (2)由题意得{|F1A|－|F2A|＝2a， |F1A|＝2|F2A|， 解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a， 又由已知可得c a＝2，所以 c＝2a，即|F1F2|＝4a， 所以 cos∠AF2F1＝|F2A|2＋|F1F2|2－|F1A|2 2·|F2A|·|F1F2| ＝4a2＋16a2－16a2 2 × 2a × 4a ＝1 4.故选 A. (3)如图，△ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F. |AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x2 9 －y2 16＝1(x>3)． 【答案】　(1)B　(2)A　(3) x2 9 －y2 16＝1(x>3) 【点拨】　解题(1)的关键利用双曲线的定义，将所给关系转化为 a，b 的关系，进而求得 e；解题(2) 的关键是利用定义分别求出△F1AF2 的三边，进而用余弦定理求解；解题(3)的关键是找到动点 C 与两定 点 A，B 满足的等量关系，用双曲线的定义写出方程． 双曲线定义的应用策略 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线． (2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题． (1)(2015·辽宁大连质检，6)设 F1，F2 是双曲线 x2－y2 24＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一 点，且 3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于(　　) A．4π B．8 3 C．24 D．48 (2)(2011·大纲全国，15)已知 F 1，F2 分别为双曲线 C: x2 9 －y2 27＝1 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的 坐标为(2，0)，AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|＝________． (1)【答案】　C　双曲线的实轴长为 2，c2＝1＋24＝25，c＝5，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.据题意和双 曲线的定义知，2＝|PF1|－|PF2|＝4 3|PF2|－|PF2|＝1 3|PF2|，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝1 2|PF1|·|PF2|＝1 2×6×8＝24.故选 C. (2)【解析】　如图，在双曲线x2 9 －y2 27＝1 中，a2＝9，b2＝27，c2＝a2＋b2＝36， ∴F1(－6，0)，F2(6，0)． ∵M(2，0)，∴|F1M|＝6＋2＝8，|F2M|＝6－2＝4. ∵AM 为∠F1AF2 的平分线， ∴|AF2| |AF1|＝|MF2| |MF1|＝4 8 ＝1 2. ∴|AF1|＝2|AF2|，即点 A 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝ 2a＝6. 【答案】　6 考向 2　求双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为： (1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)． (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为 y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)． ①以上方程中 a>0，b>0，且 c2＝a2＋b2； ②对于双曲线的方程x2 m ＋y2 n＝1(mn<0)，要看清焦点的位置，只要看 x2，y2 的分母的正负，焦点在分 母为正的坐标轴上(x 轴或 y 轴)．例如，曲线 x2 k＋4 － y2 k－3 ＝1(其中 k<－4 或 k>3)，当 k<－4 时，表示焦点 在 y 轴上的双曲线；当 k>3 时表示焦点在 x 轴上的双曲线． 2．双曲线方程的几种常见设法 (1)与双曲线x2 a2－y2 b2＝1 有共同渐近线的双曲线方程可设为x2 a2－y2 b2＝λ(λ≠0)． (2)若双曲线的渐近线方程为 y＝± n mx，则双曲线方程可设为x2 m2－y2 n2＝λ(λ≠0)或 n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x2 a2－y2 b2＝1 共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2－k － y2 b2＋k ＝1(－b2b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为 x2 a2－λ ＋ y2 b2－λ ＝1(b2<λ0，b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋ 10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为(　　) A. x2 5 －y2 20＝1 B. x2 20－y2 5 ＝1 C. 3x2 25 －3y2 100＝1 D. 3x2 100－3y2 25 ＝1 (2)(2015·山东菏泽质检，12)已知双曲线过点( 5，0)，且与椭圆x2 30＋y2 5 ＝1 有相同的焦点，则双曲线 的方程是________． 【解析】　(1)双曲线的渐近线方程为 y＝± b ax， 因为一条渐近线与直线 y＝2x＋10 平行， 所以b a＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线 y＝2x＋10 上， 所以－2c＋10＝0，所以 c＝5. 故由 c2＝a2＋b2，得 25＝a2＋4a2， 则 a2＝5，b2＝20， 从而双曲线方程为x2 5 －y2 20＝1. (2)∵椭圆x2 30＋y2 5 ＝1 的焦点为(±5，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±5，0)， 设双曲线方程为x2 a2－ y2 25－a2＝1， 把( 5，0)代入，得 5 a2＝1，解得 a2＝5， ∴双曲线的标准方程为x2 5－y2 20＝1. 【答案】　(1)A　(2) x2 5 －y2 20＝1 【点拨】　解题(1)的关键是求出渐近线的斜率和 c，然后解出 a，b；解题(2)的关键是正确设出双曲 线的方程，进而确定系数得解． 求双曲线标准方程的方法 (1)一般步骤 ①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意列关于 a，b，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． (2)常见问题形式 ①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 x 轴上还是 y 轴上，设出相应形式的标准方程， 然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程组，解出 a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是 一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． ②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决： 一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置， 可以设双曲线的一般方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)． (2014·辽宁沈阳一模，15)已知双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0，且焦距是 2 13，则双曲 线方程为________． 【解析】　设双曲线方程为x2 9 －y2 4 ＝λ(λ≠0)． 若 λ>0，则 a2＝9λ，b2＝4λ， c2＝a2＋b2＝13λ. 由题设知 2c＝2 13，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x2 9 －y2 4 ＝1； 若 λ<0，则 a2＝－4λ，b2＝－9λ， c2＝a2＋b2＝－13λ. 由 2c＝2 13，∴λ＝－1， 故所求双曲线方程为y2 4 －x2 9 ＝1. 综上，所求双曲线方程为x2 9 －y2 4 ＝1 或y2 4 －x2 9 ＝1 【答案】　x2 9 －y2 4 ＝1 或y2 4 －x2 9 ＝1 考向 3　双曲线几何性质及其应用 1．双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0) y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0) 图　形 范　围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≥a 或 y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶　点 顶点坐标： A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 性 质 渐近线 y＝± b ax y＝± a bx 离心率 e＝c a，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2 轴 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长 2.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y2＝ λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直． 3．点 P(x0，y0)和双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的关系 (1)P 在双曲线内(含焦点部分)⇔ x a2－ y b2>1； (2)P 在双曲线上⇔ x a2－ y b2＝1； (3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔ x a2 － y b2<1. (1)(2014·广东，4)若实数 k 满足 0b>0，椭圆 C1 的方程为x2 a2＋y2 b2＝1，双曲线 C2 的方程为x2 a2－y2 b2＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 3 2 ，则 C2 的渐近线方程为(　　) A．x± 2y＝0 B. 2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 (3)(2013·湖南，14)设 F1，F2 是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点．若|PF1| ＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的最小内角为 30°，则 C 的离心率为________． 【解析】　(1)∵00，25－k>0. ∴x2 25－ y2 9－k ＝1 与 x2 25－k －y2 9 ＝1 均表示双曲线， 又 25＋(9－k)＝34－k＝(25－k)＋9， ∴它们的焦距相等，故选 A. (2)椭圆 C1 的离心率为 e1＝c1 a ＝ a2－b2 a ，双曲线 C2 的离心率为 e2＝c2 a ＝ a2＋b2 a .由题意知 e1·e2＝ 3 2 ， 即 a2－b2 a · a2＋b2 a ＝ 3 2 ， a4－b4 a2 ＝ 3 2 . 两边平方得a4－b4 a4 ＝3 4，4a4－4b4＝3a4，a4＝4b4，∴b4 a4＝1 4，∴b a＝ 2 2 ，∴C2 的渐近线方程为 y＝± 2 2 x，即 x± 2y＝0，故选 A. (3)不妨设点 P 在双曲线 C 的右支上，由双曲线定义知 |PF1|－|PF2|＝2a，① 又因为|PF1|＋|PF2|＝6a，② 由①②得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因为 c>a， ∴在△PF1F2 中，∠PF1F2 为最小内角，∴∠PF1F2＝30°，在△PF1F2 中，由余弦定理可知，|PF2|2＝ |PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 30°，即 4a2＝16a2＋4c2－8 3ac. ∴c2－2 3ac＋3a2＝0，两边同除以 a2 得，e2－2 3e＋3＝0.解得 e＝ 3. 【答案】　(1)A　(2)A　(3) 3 【点拨】　解题(1)的关键是根据 k 的取值范围确定方程表示的曲线，进而确定其性质；题(2)依据题 意得到关于 a，b 的方程求出 a，b 之间的关系式，进而得出渐近线方程；题(3)利用定义求出|PF 1|， |PF2|，|F1F2|，然后利用余弦定理得到 a，c 的关系，进而求出双曲线的离心率． 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不 等式，利用 b2＝c2－a2 和 e＝c a转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取 值范围． (2)求渐近线时，利用 c2＝a2＋b2 转化为关于 a，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率 的关系 k＝± b a＝± c2－a2 a ＝± c2 a2－1＝± e2－1. (1)(2013·浙江，9)如图，F 1，F2 是椭圆 C1：x2 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分 别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是(　　) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 2 (2)(2014·山东日照二模，14)已知 F 1，F2 为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于点 P 和 Q.且△F1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________． (1)【答案】　D　C1 与 C2 的焦点 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，C1 的焦距|F1F2|＝2 3.在 Rt△AF1F2 中， |AF1|＋|AF2|＝4，|AF1|2＋|AF2|2＝12，∴可解得|AF2|－|AF1|＝2 2，故双曲线的离心率 e＝ 3 2＝ 6 2 ，故选 D. (2)【解析】　方法一：设 F2(c，0)(c>0)，P(c，y0)， 代入方程得 y0＝± b2 a . ∵PQ⊥x 轴，∴|PQ|＝2b2 a . 在 Rt△F1F2P 中，∠PF1F2＝30°， ∴|F1F2|＝ 3|PF2|，即 2c＝ 3·b2 a . 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2 或 2a2＝－3b2(舍去)， ∵a>0，b>0，∴b a＝ 2. 故所求双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x. 方法二：∵在 Rt△F1F2P 中，∠PF1F2＝30°， ∴|PF1|＝2|PF2|. 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a， 由已知易得|F1F2|＝ 3|PF2|， ∴2c＝2 3a，∴c2＝3a2＝a2＋b2， ∴2a2＝b2， ∵a>0，b>0，∴b a＝ 2， 故所求双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x. 【答案】　y＝± 2x 1．(2015·河北石家庄一模，5)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为 (　　) A. x2 4 －y2 12＝1 B. x2 12－y2 4 ＝1 C. x2 10－y2 6 ＝1 D. x2 6 －y2 10＝1 【答案】　A　已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则 c＝4，a＝2，b2＝12，双曲 线方程为x2 4 －y2 12＝1，故选 A. 2．(2015·广东惠州调研，5)若双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的离心率为 3，则其渐近线的斜率为(　　) A．±2 B．± 2 C．±1 2 D．± 2 2 【答案】　B　∵双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的离心率为 3，∴e＝c a＝ 1＋b2 a2＝ 3，解得b a＝ 2， ∴其渐近线的斜率为± 2.故选 B. 3．(2015·河南开封模拟，6)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 y＝1 2x＋1 平行， 则它的离心率为(　　) A. 5 B. 6 C. 6 2 D. 5 2 【答案】　D　设中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的方程为x2 a2－y2 b2＝1，渐近线方程为 y＝±b ax， 由于双曲线的一条渐近线与直线 y＝1 2x＋1 平行，则1 2＝b a.令 a＝2t，b＝t(t>0)，则 c＝ a2＋b2＝ 5t，则离 心率 e＝c a ＝ 5 2 .故选 D. 4．(2015·湖南怀化二模，6)设 F 1，F2 分别为双曲线 x2－y2＝1 的左，右焦点，P 是双曲线上在 x 轴 上方的点，∠F1PF 为直角，则 sin∠PF1F2 的所有可能取值之和为(　　) A. 8 3 B．2 C. 6 D. 6 2 【答案】　D　由题意，不妨设|F1P|>|F2P|，a＝b＝1，c＝ 2. 因为|F1P|－|F2P|＝2，① |F1P|2＋|F2P|2＝8， 故(|F1P|＋|F2P|)2＝2(|F1P|2＋|F2P|2)－(|F1P|－|F2P|)2＝2×8－4＝12， 故|F1P|＋|F2P|＝2 3.② 则由①②得|F1P|＝ 3＋1，|F2P|＝ 3－1. 故则 sin∠PF1F2 的所有可能取值之和为 3＋1 2 2 ＋ 3－1 2 2 ＝ 3 2＝ 6 2 ，故选 D. 5．(2014·河南焦作一模，7)已知点 P 是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2 分别是双曲 线的左、右焦点，I 为△PF1F2 的内心，若 S△IPF1＝S△IPF2＋1 2S△IF1F2 成立，则双曲线的离心率为(　　) A．4 B. 5 2 C．2 D. 5 3 【答案】　C　设 c＝ a2＋b2，△PF1F2 的内切圆的半径为 r，则|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， S△IPF1＝1 2|PF1|·r， S△IPF2＝1 2|PF2|·r， S△IF1F2＝1 2|F1F2|·r. ∴由 S△IPF1＝S△IPF2＋1 2S△IF1F2， 得1 2(|PF1|－|PF2|)r＝1 2×1 2|F1F2|·r，∴c＝2a. ∴双曲线的离心率为 e＝c a＝2. 6．(2015·江西南昌质检，8)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点 F 的直线与双曲 线 C 相交于 A，B 两点且AF→ ＝3BF→ ，则双曲线离心率的最小值为(　　) A. 2 B. 3 C．2 D．2 2 【答案】　C　因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于 A，B 两点且AF→ ＝3BF→ ，故直线与双曲线相交 只能如图所示的情况，即 A 点在双曲线的左支，B 点在右支，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点 F(c， 0)(c>0)，因为AF→ ＝3BF→ ，所以 c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a， 3x2≥3a，故 3x2－x1≥4a，即 2c≥4a，c a≥2，即 e≥2，故选 C. 7．(2015·山东烟台质检，8)点 P 在双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)上，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦 点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2 的三条边长之比为 3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是(　　) A．y＝±2 3x B．y＝±4x C．y＝±2 5x D．y＝±2 6x 【答案】　D　设△F1PF2 的三条边长为|PF1|＝3m，|PF2|＝4m，|F1F2|＝5m，m>0，则 2a＝|PF2|－|PF1| ＝m，2c＝|F1F2|＝5m，所以 b＝ 6m，所以b a＝ 6m 1 2m ＝2 6，所以双曲线的渐近线方程是 y＝±2 6x. 8．(2014·山东济南二模，14)过双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 x2＋y2＝a2 4 的切线，切点 为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 【解析】　设 c＝ a2＋b2，双曲线的右焦点为 F′.则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c. ∵E 为 PF 的中点，O 为 FF′的中点， ∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|. ∵OE⊥PF，|OE|＝a 2， ∴PF⊥PF′，|PF′|＝a， ∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a，|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2， ∴9a2＋a2＝4c2，∴c a＝ 10 2 . ∴双曲线的离心率为 10 2 . 【答案】　 10 2 9．(2015·陕西渭南一模，13)已知双曲线 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 2，且右焦点 与抛物线 y2＝4 3x 的焦点重合，则该双曲线的方程为________． 【解析】　由双曲线的方程得其一条渐近线方程为 y＝b ax，则b a＝ 2，b＝ 2a.又抛物线的焦点为( 3， 0)，则双曲线的右焦点为( 3，0)，即 c＝ 3，可解得 a＝1，b＝ 2，故双曲线方程为 x2－y2 2 ＝1. 【答案】　x2－y2 2 ＝1 1．(2015·浙江，5，中)如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A， B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是(　　) A. |BF|－1 |AF|－1 B. |BF|2－1 |AF|2－1 C. |BF|＋1 |AF|＋1 D. |BF|2＋1 |AF|2＋1 【答案】　A　如图，过点 A，B 分别作准线 x＝－1 的垂线，交 y 轴于点 N，M. 借助△CMB∽△CNA 和抛物线的性质得 S △ BCF S △ ACF＝ 1 2|BC|·h 1 2|AC|·h ＝|BC| |AC|＝|BM| |AN|＝|BF|－1 |AF|－1 . 2．(2015·四川，10，难)设直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切 于点 M，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4) 【答案】　D　如图， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则{y＝4x1， y＝4x2，两式相减得， (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条． 当 k 存在时，x1≠x2，则有y1＋y2 2 ·y1－y2 x1－x2＝2，又 y1＋y2＝2y0，所以 y0k＝2. 由 CM⊥AB 得 k· y0－0 x0－5 ＝－1，即 y0k＝5－x0，因此 2＝5－x0，x0＝3，即 M 必在直线 x＝3 上．将 x＝ 3 代入 y2＝4x 得 y2＝12，则有－2 3＜y0＜2 3.因为点 M 在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故 r2＝y20＋4<12 ＋4＝16.又 y20＋4＞4(为保证有 4 条，在 k 存在时，y0≠0)， 所以 4＜r2＜16，即 2＜r＜4，选 D. 3．(2015·陕西，14，易)若抛物线 y 2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线 x 2－y2＝1 的一个焦点，则 p＝ ________． 【解析】　∵双曲线的焦点坐标为(± 2，0)， ∴p 2＝ 2，即 p＝2 2. 【答案】　2 2 4．(2015·山东，15，难)平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物 线 C2：x2＝2py(p>0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为________． 【解析】　如图，双曲线的渐近线方程 y＝±b ax. 由{y＝b ax， x2＝2py， 得{x＝0， y＝0 或{x＝2pb a ， y＝2pb2 a2 ， 　 ∴A(2pb a ， 2pb2 a2 ). 同理得 B(－2pb a ， 2pb2 a2 ).∵△OAB 的垂心 F 为 C2 的焦点，∴垂心 F(0， p 2). ∴FA→ ＝(2pb a ， 2pb2 a2 －p 2)， OB→ ＝(－2pb a ， 2pb2 a2 ). ∵FA→ ⊥OB→ ，∴FA→ ·OB→ ＝0， 即－(2pb a ) 2 ＋2pb2 a2 (2pb2 a2 －p 2)＝0， 化简得 4b2＝5a2，∴4(c2－a2)＝5a2，即 4c2＝9a2.∴c2 a2＝9 4，∴e＝c a＝3 2. 【答案】　3 2 5．(2015·课标Ⅰ，20，12 分，难)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝ x2 4 与直线 l：y＝kx＋a(a>0)交 于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由． 解：(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(－2 a，a)，或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)． 又 y′＝x 2，故 y＝x2 4 在 x＝2 a处的导数值为 a，曲线 C 在点(2 a，a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－ 2 a)，即 ax－y－a＝0. y＝x2 4 在 x＝－2 a处的导数值为－ a，曲线 C 在点(－2 a，a)处的切线方程为 y－a＝－ a(x＋2 a)， 即 ax＋y＋a＝0. 故所求切线方程为 ax－y－a＝0 和 ax＋y＋a＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2. 将 y＝kx＋a 代入 C 的方程得 x2－4kx－4a＝0. 故 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 从而 k1＋k2＝y1－b x1 ＋y2－b x2 ＝2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2） x1x2 ＝k（a＋b） a . 当 b＝－a 时，有 k1＋k2＝0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN， 所以点 P(0，－a)符合题意． 1．(2013·四川，6，易)抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y2 3 ＝1 的渐近线的距离是(　　) A. 1 2 B. 3 2 C．1 D. 3 【答案】　B　由抛物线 y2＝4x，得 2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为(1，0)，双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，不妨取其中一条 3x－y＝0，由点到直线的距离公式，得 d＝| 3 × 1－0| 3＋1 ＝ 3 2 .故选 B. 2．(2014·课标Ⅰ，10，易)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点．若FP→ ＝4FQ→ ，则|QF|＝(　　) A. 7 2 B．3 C. 5 2 D．2 【答案】　B　方法一：如图，过点 Q 作 QM⊥PN 于点 M. ∵FP→ ＝4FQ→ ， ∴|PQ| |PF|＝3 4＝|MQ| |NF|.又∵|NF|＝4， ∴|MQ|＝|QF|＝3，故选 B. 方法二：如图，过点 Q 作 QM 垂直于 x 轴，垂足为 M，则|FM| |NF|＝|FQ| |FP|＝1 4. ∵|NF|＝4， ∴xM＝xQ＝1，∴|QF|＝xQ＋p 2＝3. 3．(2012·安徽，9，中)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点， 若|AF |＝3，则△AOB 的面积为(　　) A. 2 2 B. 2 C. 3 2 2 D．2 2 【答案】　C　由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1 ＝2 2. 直线 AB 过 F(1，0)，设 AB 的方程为 x－1＝ty，由{y2＝4x， x－1＝ty 消去 x 得 y2－4ty－4＝0. ∴y1y2＝－4，∴y2＝－ 2，x2＝1 2， ∴S△AOB＝1 2 ×1×|y1－y2|＝3 2 2 . 4．(2013·江西，14，易)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲线x2 3 －y2 3 ＝1 相交于 A，B 两 点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝________． 【解析】　如图，在等边三角形 ABF 中， |DF|＝p，|BD|＝ 3 3 p， ∴B 点坐标为( 3 3 p，－p 2). 又点 B 在双曲线上，故 1 3p2 3 － p2 4 3 ＝1，解得 p＝6. 【答案】　6 5．(2014·湖南，15，中)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则b a＝__________． 【解析】　由条件知 C 点坐标为(a 2，－a)，F 点坐标为(a 2＋b，b). ∵C，F 两点都在抛物线 y2＝2px 上， ∴{a2＝2p × a 2， b2＝2p(a 2 ＋b)， 即 a2－b2＋2ab＝0. 即 1－(b a ) 2 ＋2(b a )＝0， 解得b a＝1＋ 2或b a＝1－ 2，∵a0，所以 a≥1. 【答案】　[1，＋∞) 7．(2012·北京，12，中)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交 于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积为________． 【解析】　抛物线的焦点坐标为 F(1，0)，准线方程为 x＝－1. 设|AF|＝2m，A(xA，yA)，如图， ∵l 的倾斜角为 60°，∴点 A 的横坐标为 xA＝1＋2m·cos60°＝1＋m， 点 A 的纵坐标为 yA＝2m·sin60°＝ 3m. 把点 A 的坐标代入抛物线的方程得 3m2＝4(1＋m)， 即 3m2－4m－4＝0， ∴m＝2 或 m＝－2 3(舍去)． ∴S△OAF＝1 2·|OF|·yA ＝1 2×1×2 3＝ 3. 【答案】　 3 8．(2012·重庆，14，中)过抛物线 y 2＝2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|＝ 25 12， |AF|<|BF|，则|AF|＝________． 【解析】　如图，F(1 2，0)， 设过 F 的直线 l：y－0＝k(x－1 2)， 即 y＝k(x－1 2)，与 y2＝2x 联立消元得 k2x2－(k2＋2)x＋k2 4 ＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1·x2＝1 4，① 由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p 2＋x2＋p 2 ＝x1＋x2＋p， 即25 12＝x1＋x2＋1，∴x1＋x2＝13 12.　② 联立①②得 12x21－13x1＋3＝0， ∵|AF|<|BF|，∴x1＝1 3. ∴|AF|＝x1＋p 2＝1 3＋1 2＝5 6. 【答案】　5 6 考向 1　抛物线定义的应用 1．抛物线的定义 平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点 F 叫作抛物线的 焦点，直线 l 叫作抛物线的准线． 2．抛物线定义的理解 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的 点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛 物线定义就能解决问题． (1)(2011·辽宁，3)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF| ＝3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为(　　) A. 3 4 B．1 C. 5 4 D. 7 4 (2)(2015·河南郑州质检，8)已知 P 为抛物线 y＝1 2x2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐 标是(6， 17 2 )，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A．8 B. 19 2 C．10 D. 21 2 【解析】　(1)设 A，B 的横坐标分别是 m，n，由抛物线定义，得|AF|＋|BF|＝3＝m＋1 4＋n＋1 4，即 m ＋n＋1 2＝3，故 m＋n＝5 2，m＋n 2 ＝5 4，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为5 4. (2)依题意可知焦点 F(0， 1 2)，准线为 y＝－1 2，延长 PM 交准线于点 H，则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－1 2 ＝|PF|－1 2，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－1 2， 即求|PF|＋|PA|的最小值． 因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝ 62＋(17 2 －1 2)2 ＝10， 所以|PM|＋|PA|≥10－1 2＝19 2 ，故选 B. 【答案】　(1)C　(2)B 【点拨】　解题的关键是利用抛物线的定义将有关距离转化，数形结合求解． 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题 得解； (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段 最短”原理解决． (1)(2012·四川，8)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2， y0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|＝(　　) A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 5 (2)(2014·北京西城区质检，8)已知直线 l 1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动 点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(　　) A. 3 5 5 B．2 C. 11 5 D．3 (1)【答案】　B　由题意可设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)． 由|MF|＝p 2＋2＝3 得 p＝2， ∴抛物线方程为 y2＝4x. ∴点 M 的坐标为(2，±2 2)，∴|OM|＝ 4＋8＝2 3，故选 B. (2)【答案】　B　如图，因为抛物线的方程为 y2＝4x，所以焦点坐标 F(1，0)，准线方程为 l2：x＝－ 1，所以设 P 到准线的距离为|PB|，则|PB|＝|PF|，P 到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离为|PA|，所以|PA|＋|PB| ＝|PA|＋|PF|≥|FD|，其中|FD|为焦点到直线 l1 的距离，所以|FD|＝|4－0＋6| 32＋42 ＝10 5 ＝2，所以距离之和的最 小值是 2，故选 B. 考向 2　抛物线的标准方程与几何性质 1．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 顶点 (0，0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F(p 2，0) F(－p 2，0) F(0， p 2) F(0，－p 2) 准线 x＝－p 2 x＝p 2 y＝－p 2 y＝p 2 对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正 半轴上；若系数为负，则落在负半轴上． 2．抛物线焦点弦的性质 焦点弦：线段 AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p2 4 ； (2)y1y2＝－p2； (3)焦半径|AF|＝x1＋p 2； (4)弦长 l＝x1＋x2＋p.当弦 AB⊥x 轴时，弦长最短为 2p，此时的弦又叫通径； (5)弦长 l＝ 2p sin2θ(θ 为 AB 的倾斜角)． (1)(2013·课标Ⅱ，11)设抛物线 C：y 2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5. 若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为(　　) A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x (2)(2012·陕西，13)如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米．水位下降 1 米后，水面宽______米． 【解析】　(1)∵以 MF 为直径的圆过点(0，2)， ∴点 M 在第一象限．由|MF|＝xM＋p 2＝5 得 M(5－p 2， 2p(5－p 2))，从而以 MF 为直径的圆的圆心 N 的坐标为(5 2， 1 2 2p(5－p 2)).∵点 N 的横坐标恰 好等于圆的半径，∴圆与 y 轴切于点(0，2)， 从而 2＝1 2 2p(5－p 2)，即 p2－10p＋16＝0，解得 p＝2 或 p＝8，∴抛物线方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故 选 C. (2)建立坐标系如图所示． 则抛物线方程为 x2＝－2py. ∵点 A(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为 x2＝－2y.当 y＝－3 时，x＝± 6. ∴水位下降 1 米后，水面宽为 2 6米． 【答案】　(1)C　(2)2 6 【点拨】　解题(1)的关键是由已知条件建立关于 p 的方程；解题(2)的关键是建立适当的平面直角坐 标系，求出抛物线的标准方程． 1.求抛物线标准方程的方法及注意点 (1)方法：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有 未知数 p)，那么只需求出 p 即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程 可统一设为 y2＝ax(a≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2＝ay(a≠0)， 这样就减少了不必要的讨论． (2)注意点： ①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； ②要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； ③要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．用抛物线几何性质的技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开 口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 3．抛物线焦点弦问题求解策略 求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结 合思想求解． (1)(2014·浙江杭州模拟，10)已知抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，直线 y＝k(x－2)与此抛物线相 交于 P，Q 两点，则 1 |FP|＋ 1 |FQ|＝(　　) A. 1 2 B．1 C．2 D．4 (2)(2015·四川成都模拟，14)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交 其准线于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________． (1)【答案】　A　设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|FP|＝x1＋2，|FQ|＝x2＋2， 则 1 |FP|＋ 1 |FQ|＝ 1 x1＋2 ＋ 1 x2＋2 ＝ x1＋x2＋4 x1x2＋2（x1＋x2）＋4 ，联立直线与抛物线方程消去 y，得 k2x2－(4k2＋ 8)x＋4k2＝0，可知 x1x2＝4，故 1 |FP|＋ 1 |FQ|＝ x1＋x2＋4 x1x2＋2（x1＋x2）＋4 ＝ x1＋x2＋4 2（x1＋x2）＋8 ＝1 2，故选 A. (2)【解析】　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，作 AM，BN 垂直准线于点 M，N，图略，则|BN|＝|BF|，|AM| ＝|AF|， 又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|， ∴∠NCB＝30°，有|AC|＝2|AM|＝6. 设|BF|＝x，则 2x＋x＋3＝6，∴x＝1， 而 x1＋p 2＝3，x2＋p 2＝1，且 x1x2＝p2 4 ， ∴(3－p 2)(1－p 2)＝p2 4 ，∴p＝3 2. ∴抛物线的方程为 y2＝3x. 【答案】　y2＝3x 考向 3　抛物线与其他曲线的综合 (1)(2012·山东，11)已知双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝ 2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为(　　) A．x2＝8 3 3 y B．x2＝16 3 3 y C．x2＝8y D．x2＝16y (2)(2013·天津，5)已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线 y2＝2px(p>0)的准线分别交 于 A，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3，则 p＝(　　) A．1 B. 3 2 C．2 D．3 【解析】　(1)由题意知双曲线 C1 的离心率为 a2＋b2 a ＝2⇒b＝ 3a，因此双曲线 C1 的渐近线方程为 y ＝± b ax＝± 3x，取其中一条渐近线 3x－y＝0，抛物线 C2 的焦点坐标为(0， p 2)，该点到双曲线的渐近线 y ＝ 3x 的距离 d＝ | 3 × 0－p 2| （ 3）2＋（－1）2 ＝p 4＝2，解得 p＝8，因此抛物线 C2 的方程为 x2＝16y. (2)由已知得双曲线离心率 e＝c a＝2，得 c2＝4a2，所以 b2＝c2－a2＝3a2，即 b＝ 3a.又双曲线的渐近 线方程为 y＝± b ax，抛物线的准线方程为 x＝－p 2， 所以 A(－p 2， bp 2a)，B(－p 2，－bp 2a)， 于是|AB|＝bp a .由△AOB 的面积为 3可得1 2·bp a ·p 2＝ 3，所以 p2＝4 3·a b＝4 3· a 3a ＝4，解得 p＝2 或 p＝－2(舍去)． 【答案】　(1)D　(2)C 【点拨】　题(1)利用双曲线的离心率推出 a，b 的关系，求出抛物线的焦点坐标，然后通过点到直 线的距离求出 p；解题(2)的关键是利用双曲线的渐近线及抛物线的准线，解出 A，B 两点的坐标，再由 三角形的面积求解． 求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题的思路 根据涉及到抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，数形 结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，逐步求解． (2015·山东日照模拟，8)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 与双曲线x2 4 －y2 5 ＝1 的右焦点重 合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上，且|AK|＝ 2|AF|，则 A 点的横坐标为(　　) A．2 2 B．3 C．2 3 D．4 【答案】　B　抛物线的焦点为(p 2，0)，准线为 x＝－p 2，双曲线的右焦点为(3，0)，所以p 2＝3，所以 p＝6，所以 y2＝12x，过 A 作准线的垂线，垂足为 M，图略，则|AK|＝ 2|AF|＝ 2|AM|，所以在 Rt△AMK 中，|KM|＝|AM|，设 A(x，y)，则 y＝x＋3，将其代入 y2＝12x，解得 x＝3.故选 B. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2015·陕西西安质检，4)过抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两 点，若 x1＋x2＝2，|PQ|＝4，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝6x 【答案】　A　由抛物线的定义知|PQ|＝x1＋x2＋p＝4，又 x1＋x2＝2，所以 p＝2，所以抛物线的方 程是 y2＝4x.故选 A. 2．(2014·湖南长沙二模，5)探照灯反射镜的轴截面是抛物线 y 2＝2px(p>0)的一部分，光源位于抛物 线的焦点处，已知灯口圆的直径为 60 cm，灯深 40 cm，则抛物线的焦点坐标是(　　) A.(45 2 ，0) B.(45 4 ，0) C.(45 8 ，0) D.(45 16，0) 【答案】　C　根据题意，点(40，30)位于抛物线 y2＝2px 上，于是有 302＝2p×40，p＝45 4 ，所以焦 点坐标是(45 8 ，0)，故选 C. 3．(2015·湖北武汉质检，5)已知抛物线 y2＝4x 的准线与双曲线x2 a2－y2＝1(a>0)交于 A，B 两点，F 为 抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是(　　) A. 3 B. 6 C．2 D．3 【答案】　B　依题意可知抛物线的准线为 x＝－1，焦点为 F(1，0)，由题意得(－1，2)在双曲线上， 1 a2－4＝1，解得 a2＝1 5，所以 e＝ 6 5 1 5 ＝ 6.故选 B. 4．(2015·广东广州质检，7)如图，从点 M(x0，4)发出的光线，沿平行于抛物线 y2＝8x 的对称轴方向 射向此抛物线上的点 P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 Q，再经抛物线反射后射向直线 l：x－y－10＝0 上的点 N，经直线反射后又回到点 M，则 x0＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】　B　由题意可知，p＝4，F(2，0)，P(2，4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线 QN，MN 关 于 l：x－y－10＝0 对称，即直线 l 平分直线 QN，MN 的夹角，∴直线 MN 垂直于 x 轴．解{y＝－4， x－y－10＝0 得 N(6，－4)，故 x0＝6，选 B. 5．(2014·河北保定质检，11)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，M 是 抛物线 C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 9π，则 p＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】　B　依题意得，△OFM 的外接圆半径为 3，△OFM 的外接圆圆心应位于线段 OF 的垂直 平分线 x＝p 4上，圆心到准线 x＝－p 2的距离等于 3，即有p 4＋p 2＝3，由此解得 p＝4，故选 B. 6．(2015·吉林长春二模，15)已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0，在抛物线上有 一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为________． 【解析】　由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)．点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，所以 d1＋d2＝d2＋ |PF|－1.易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2＋|PF|的最小值为 |1＋5| 12＋（－1）2 ＝3 2，所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1. 【答案】　3 2－1 7．(2015·福建厦门质检，13)已知抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 M(1，m)到其焦点的距离为 5，双曲线 x2 －y2 a ＝1 的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a＝________． 【解析】　根据抛物线的焦半径公式得 1＋p 2 ＝5，∴p＝8.焦点坐标为(4，0)，则 （4－1）2＋m2＝ 5，则 m＝±4，取 M(1，4)，由题意知 A(－1，0)，则 AM 的斜率为 2，由已知得－ a×2＝－1，解得 a＝ 1 4.同理 m＝－4 时，a＝1 4. 【答案】　1 4 8．(2015·湖南岳阳模拟，13)已知 P(0，2)，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 Q，若∠PQF＝90°，则 p＝________. 【解析】　由题意得点 F(p 2，0)，根据抛物线的定义(抛物线上的任意一点到准线的距离与到焦点的 距离的比值为 1，即相等)得|QM|＝|MF|.又因为△PQF 为直角三角形且 PF 为斜边(直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半)，所以|PM|＝|MF|，即点 M 为线段 PF 的中点．由 F(p 2，0)，P(0，2)知 M 点的坐标为 (p 4，1)，又因为点 M 在抛物线上，所以 12＝2p×p 4，所以 p＝ 2或 p＝－ 2(舍去)． 【答案】　 2 9．(2015·山东泰安模拟，19，12 分)如图所示，斜率为 1 的直线过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，与抛 物线交于两点 A，B.M 为抛物线上弧 AB 上的动点． (1)若|AB|＝8，求抛物线的方程； (2)求 S△ABM 的最大值． 解：(1)由条件知 lAB：y＝x－p 2与 y2＝2px 联立消去 y 得 x2－3px＋1 4p2＝0，则 x1＋x2＝3p，由抛物线 定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.又因为|AB|＝8，所以 p＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4x. (2)由(1)知|AB|＝4p，且 lAB：y＝x－p 2，{y＝x－p 2， y2＝2px， 消去 x 得 y2－2py－p2＝0，可得 y＝(1± 2)p，设 M ( y 2p，y0)，则(1－ 2)pb>0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为(　　) A. x2 45＋y2 36＝1 B. x2 36＋y2 27＝1 C. x2 27＋y2 18＝1 D. x2 18＋y2 9 ＝1 【答案】　D　直线 AB 的斜率 k＝0＋1 3－1 ＝1 2， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则{ x a2＋ y b2＝1，　　　　① x a2＋ y b2＝1，　　　　② ①－②得y1－y2 x1－x2＝－b2 a2·x1＋x2 y1＋y2， 即 k＝－b2 a2× 2 －2 ＝b2 a2， 所以b2 a2＝1 2.③ 又 a2－b2＝c2＝9，④ 由③④得 a2＝18，b2＝9. 所以椭圆方程为x2 18＋y2 9 ＝1，故选 D. 4．(2013·浙江，15，中)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过点 P(－1，0)的直线 l 交抛物线 C 于 A， B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点．若|FQ|＝2，则直线 l 的斜率等于________． 【解析】　设直线 AB 方程为 x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整 理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得 y 1＋y2＝4m，y 1y2＝4.故 Q(2m 2－1，2m)．由|FQ|＝2 知 （2m）2＋（2m2－1－1）2＝2，解得 m2＝1 或 m2＝0(舍去)，故直线 l 的斜率等于±1(此时直线 AB 与抛 物线相切，为满足题意的极限情况)． 【答案】　±1 5．(2014·江苏，17，14 分，中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0) 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C，连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为(4 3， 1 3)，且 BF2＝ 2，求椭圆的方程； (2)若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值． 解：(1)设椭圆的焦距为 2c，则 F1(－c，0)，F2(c，0)． 因为 B(0，b)，所以 BF2＝ b2＋c2＝a. 又 BF2＝ 2，故 a＝ 2. 因为点 C (4 3， 1 3)在椭圆上， 所以 16 9 a2＋ 1 9 b2＝1，解得 b2＝1. 故所求椭圆的方程为x2 2 ＋y2＝1. (2)因为 B(0，b)，F2(c，0)在直线 AB 上， 所以直线 AB 的方程为x c＋y b＝1. 解方程组{x c＋y b ＝1， x2 a2＋y2 b2＝1， 得{x1＝ 2a2c a2＋c2， y1＝b（c2－a2） a2＋c2 ， {x2＝0， y2＝b. 所以点 A 的坐标为( 2a2c a2＋c2， b（c2－a2） a2＋c2 ). 又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为( 2a2c a2＋c2， b（a2－c2） a2＋c2 ). 因为直线 F1C 的斜率为 b（a2－c2） a2＋c2 －0 2a2c a2＋c2－（－c） ＝b（a2－c2） 3a2c＋c3 ，直线 AB 的斜率为－b c，且 F1C⊥AB，所以 b（a2－c2） 3a2c＋c3 ·(－b c )＝－1. 又 b2＝a2－c2，整理得 a2＝5c2. 故 e2＝1 5，因此 e＝ 5 5 . 6．(2014·安徽，19，13 分，难)如图，已知两条抛物线 E1：y2＝2p1x(p1＞0)，E2：y2＝2p2x(p2＞0)， 过原点 O 的两条直线 l1 和 l2，l1 与 E1，E2 分别交于 A1，A2 两点，l2 与 E1，E2 分别交于 B1，B2 两点． (1)证明：A1B1∥A2B2； (2)过 O 作直线 l(异于 l1，l2)与 E1，E2 分别交于 C1，C2 两点．记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2，求S1 S2的值． 解：(1)证明：设直线 l1，l2 的方程分别为 y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，则 由{y＝k1x， y2＝2p1x，得 A1(2p1 k ， 2p1 k1 )， 由{y＝k1x， y2＝2p2x，得 A2(2p2 k ， 2p2 k1 ). 同理可得 B1(2p1 k ， 2p1 k2 )，B2(2p2 k ， 2p2 k2 ). 所以A1B1→ ＝(2p1 k －2p1 k ， 2p1 k2 －2p1 k1 ) ＝2p1(1 k－1 k， 1 k2－1 k1)， A2B2→ ＝(2p2 k －2p2 k ， 2p2 k2 －2p2 k1 ) ＝2p2(1 k－1 k， 1 k2－1 k1). 故A1B1→ ＝p1 p2A2B2→ ，所以 A1B1∥A2B2. (2)由(1)知 A1B1∥A2B2， 同理可得 B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. 因此S1 S2＝(|A1B1→ | |A2B2→ |) 2 . 又由(1)中的A1B1→ ＝p1 p2A2B2→ 知 |A1B1→ | |A2B2→ | ＝p1 p2，故S1 S2＝p p. 7．(2013·广东，20，14 分，难)已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F(0，c)(c>0)到直线 l：x－y－2 ＝0 的距离为3 2 2 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切 点． (1)求抛物线 C 的方程； (2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 解：(1)依题意，设抛物线 C 的方程为 x2＝4cy，由|0－c－2| 2 ＝3 2 2 ， 结合 c>0，解得 c＝1. 所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y. (2)抛物线 C 的方程为 x2＝4y， 即 y＝1 4x2，求导得 y′＝1 2x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中 y1＝x 4，y2＝x 4)，则切线 PA，PB 的斜率分别为 1 2x1，1 2x2， 所以切线 PA 的方程为 y－y1＝x1 2 (x－x1)， 即 y＝x1 2 x－x 2＋y1， 即 x1x－2y－2y1＝0， 同理可得切线 PB 的方程为 x2x－2y－2y2＝0. 因为切线 PA，PB 均过点 P(x0，y0)，所以 x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0， 所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0x－2y0－2y＝0 的两组解． 所以直线 AB 的方程为 x0x－2y－2y0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1) ＝y1y2＋(y1＋y2)＋1， 联立方程{x0x－2y－2y0＝0， x2＝4y， 消去 x 整理得 y2＋(2y0－x20)y＋y20＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20， 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1 ＝y20＋x20－2y0＋1. 又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0＝y0＋2， 所以 y20＋x20－2y0＋1＝2y20＋2y0＋5 ＝2(y0＋1 2) 2 ＋9 2， 所以当 y0＝－1 2时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为9 2. 思路点拨：本题切点 A，B 所在直线方程的求法是求切点弦所在直线方程的常用方法；求|AF|·|BF| 的最小值，可通过构造函数转化为求函数最值的问题． 8．(2014·辽宁，20，12 分，难)圆 x2＋y2＝4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当 该三角形面积最小时，切点为 P(如图)．双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1 过点 P 且离心率为 3. (1)求 C1 的方程； (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程． 解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 则切线斜率为－x0 y0， 切线方程为 y－y0＝－x0 y0(x－x0)， 即 x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S＝1 2· 4 x0· 4 y0＝ 8 x0y0. 由 x20＋y20＝4≥2x0y0 知当且仅当 x0＝y0＝ 2时，x0y0 有最大值，即 S 有最小值，此时点 P 的坐标为 ( 2， 2)． 由题意知{ 2 a2－ 2 b2＝1， a2＋b2＝3a2， 解得{a2＝1， b2＝2， 故 C1 的方程为 x2－y2 2 ＝1. (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)，由此设 C2 的方程为 x2 3＋b ＋y2 b ＝1，其中 b1>0. 由 P( 2， 2)在 C2 上，得 2 3＋b ＋2 b＝1， 解得 b21＝3，因此 C2 的方程为x2 6 ＋y2 3 ＝1. 显然，l 不是直线 y＝0. 设 l 的方程为 x＝my＋ 3，点 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由{x＝my＋ 3， x2 6 ＋y2 3＝1， 得(m2＋2)y2＋2 3my－3＝0， 又 y1，y2 是方程的根，因此 {y1＋y2＝－2 3m m2＋2，① y1y2＝－ 3 m2＋2.② 由 x1＝my1＋ 3，x2＝my2＋ 3，得 {x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2 3＝ 4 3 m2＋2，③ x1x2＝m2y1y2＋ 3m（y1＋y2）＋3 ＝6－6m2 m2＋2 .　　　　　　　　④ 因为AP→ ＝( 2－x1， 2－y1)，BP→ ＝( 2－x2， 2－y2)， 由题意知AP→ ·BP→ ＝0， 所以 x1x2－ 2(x1＋x2)＋y1y2－ 2(y1＋y2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤，整理得 2m2－2 6m＋4 6－11＝0， 解得 m＝3 6 2 －1 或 m＝－ 6 2 ＋1. 因此直线 l 的方程为 x－(3 6 2 －1)y－ 3＝0 或 x＋( 6 2 －1)y－ 3＝0. 9．(2013·福建，18，13 分，难)如图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(10，0)， 点 C 的坐标为(0，10)．分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A1，A2，…，A9 和 B1，B2，…， B9.连接 OBi，过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈N*，1≤i≤9)． (1)求证：点 Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线 E 的方程； (2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M，N，若△OCM 与△OCN 的面积比为 4∶1，求直 线 l 的方程． 解：(1)方法一：依题意，过 Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x＝i，B i 的坐标为(10，i)， 所以直线 OBi 的方程为 y＝ i 10x. 设 Pi 的坐标为(x，y)，由{x＝i， y＝ i 10x， 得 y＝ 1 10x2，即 x2＝10y. 所以点 Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x2＝10y. 方法二：点 Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在抛物线 E：x2＝10y 上． 证明如下：过 Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x＝i， Bi 的坐标为(10，i)，所以直线 OBi 的方程为 y＝ i 10x. 由{x＝i， y＝ i 10x，解得 Pi 的坐标为(i， i2 10). 因为点 Pi 的坐标都满足方程 x2＝10y， 所以点 Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x2＝10y. (2)依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋10. 由{y＝kx＋10， x2＝10y， 得 x2－10kx－100＝0， 此时 Δ＝100k2＋400>0，直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M，N. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则{x1＋x2＝10k， x1·x2＝－100.Error! 因为 S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|. 又 x1·x2<0，所以 x1＝－4x2， 分别代入①和②，得{－3x2＝10k， －4x＝－100， 解得 k＝± 3 2. 所以直线 l 的方程为 y＝± 3 2x＋10，即 3x－2y＋20＝0 或 3x＋2y－20＝0. 考向 1　与弦长、面积有关的问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入 圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(或 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元二次方程． 即{Ax＋By＋C＝0， F（x，y）＝0， 消去 y 得 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C 相离． (2)当 a＝0，b≠0 时，得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此 时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线 的对称轴的位置关系是平行或重合． 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一 个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件． 2．直线与圆锥曲线的相交弦的弦长 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(或 ay2＋by＋c＝0)． (2)当 Δ>0 时，直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出 x1＋x2＝－ b a， x1x2 ＝ c a， 则 弦 长 为 |AB| ＝ 1＋k2|x1 － x2| ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋1 k2|y1 － y2| ＝ 1＋1 k2· （y1＋y2）2－4y1y2(k 为直线的斜率且 k≠0)，当 A，B 两点坐标易求时也可直接用|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2求出． (2013·课标Ⅰ，20，12 分)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与 圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P、圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 |AB|. 【解析】　(1)由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1，圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r2＝3. 设动圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点 除外)，其方程为 x2 4 ＋y2 3 ＝1(x≠－2)． (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)． 由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以 R≤2， 当且仅当圆 P 的圆心为(2，0)时，R＝2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 当 l 的倾斜角为 90°时，l 与 y 轴重合，可得|AB|＝2 3. 当 l 的倾斜角不是 90°时，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则|QP| |QM|＝ R r1， 可求得 Q(－4，0)，所以设 l：y＝k(x＋4)． 由直线 l 与圆 M 相切得 |3k| 1＋k2 ＝1，解得 k＝± 2 4 . 当 k＝ 2 4 时，将 y＝ 2 4 x＋ 2代入x2 4 ＋y2 3 ＝1(x≠－2)，并整理得 7x2＋8x－8＝0， 解得 x1，2＝－4 ± 6 2 7 ， 所以|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝18 7 . 当 k＝－ 2 4 时，由图形的对称性可知|AB|＝18 7 . 综上，|AB|＝18 7 或|AB|＝2 3. 【点拨】　(1)对于直线与椭圆相交的弦长问题，若直线的斜率未知，首先需要分斜率存在、斜率不 存在两种情况讨论；(2)椭圆是对称图形，解题过程中可充分利用对称性简化解题过程． (2014·课标Ⅰ，20，12 分)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3 3 ，O 为坐标原点． (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程． 【解析】　(1)设 F(c，0)，由条件知，2 c＝2 3 3 ，得 c＝ 3. 又c a＝ 3 2 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意， 故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x2 4 ＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2> 3 4时，x1，2＝8k ± 2 4k2－3 4k2＋1 . 从而|PQ|＝ k2＋1|x1－x2|＝4 k2＋1· 4k2－3 4k2＋1 . 又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ 2 k2＋1 ， 所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝1 2d|PQ|＝4 4k2－3 4k2＋1 . 设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝ 4t t2＋4 ＝ 4 t＋4 t . 因为 t＋4 t≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝± 7 2 时等号成立，且满足 Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y＝ 7 2 x－2 或 y＝－ 7 2 x－2. 【点拨】　解答本题的关键是设出直线 l 的方程，用含参量表示△OPQ 的面积，将问题转化为函数 求最值问题． 有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往 利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． (2)面积问题常采用 S△＝1 2×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很 重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多 边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解． (3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程 思想的应用． (2015·辽宁锦州质检，20，12 分)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点， 过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求 E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a. 因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，所以 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝4 3a. l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ a2－b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组{y＝x＋c， x2 a2＋y2 b2＝1，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2 －b2)＝0， 则 x1＋x2＝－2a2c a2＋b2，x1x2＝a2（c2－b2） a2＋b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以|AB|＝ 2|x2－x1| ＝ 2[（x1＋x2）2－4x1x2]， 得 4 3a＝ 4ab2 a2＋b2，故 a2＝2b2， 所以 E 的离心率 e＝c a＝ a2－b2 a ＝ 2 2 . (2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知 x0＝x1＋x2 2 ＝ －a2c a2＋b2＝－2 3c， y0＝x0＋c＝c 3. 由|PA|＝|PB|得 kPN＝－1，即y0＋1 x0 ＝－1，得 c＝3，从而 a＝3 2，b＝3. 故椭圆 E 的方程为x2 18＋y2 9 ＝1. 考向 2　弦中点问题 圆锥曲线以 P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：x2 a2＋y2 b2＝1(a>0，b>0) k＝－b2x0 a2y0 双曲线：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0) k＝b2x0 a2y0 抛物线：y2＝2px(p>0) k＝ p y0 其中 k＝y1－y2 x1－x2(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标． (2013·课标Ⅱ，20，12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)右焦 点的直线 x＋y－ 3＝0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为1 2. (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值． 【解析】　(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 x a2＋ y b2＝1， x a2＋ y b2＝1，y2－y1 x2－x1＝－1. 由此可得b2（x2＋x1） a2（y2＋y1）＝－y2－y1 x2－x1＝1. 因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0 x0＝1 2，所以 a2＝2b2. 又由题意知，M 的右焦点为( 3，0)，故 a2－b2＝3. 因此 a2＝6，b2＝3. 所以 M 的方程为x2 6 ＋y2 3 ＝1. (2)由{x＋y－ 3＝0， x2 6＋y2 3＝1 解得{x＝4 3 3 ， y＝－ 3 3 或{x＝0， y＝ 3. 因此|AB|＝4 6 3 . 由题意可设直线 CD 的方程为 y＝x＋n(－5 3 3 < n < 3)， 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由{y＝x＋n， x2 6 ＋y2 3＝1，得 3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 于是 x3，4＝－2n ± 2（9－n2） 3 . 因为直线 CD 的斜率为 1， 所以|CD|＝ 2|x4－x3|＝4 3 9－n2. 由已知，四边形 ACBD 的面积 S＝1 2|CD|·|AB|＝8 6 9 （9－n2）. 当 n＝0 时，S 取得最大值，最大值为8 6 3 . 所以四边形 ACBD 面积的最大值为8 6 3 . 【点拨】　本题第(1)问主要考查直线与圆锥曲线相交的中点弦问题，解题关键是用点差法和设而不 求法求解；第(2)问关键是设出直线 CD 的方程与 M 的方程联立利用弦长公式求出|CD|，转化为关于参数 的函数问题． 弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 设点——设出弦的两端点坐标 　↓ 代入——代入圆锥曲线方程 　↓ 作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开 　↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意 使用条件 Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (2014·江西，15)过点 M(1，1)作斜率为－1 2的直线与椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________． 【解析】　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则{ x a2＋ y b2＝1， x a2＋ y b2＝1， ∴（x1－x2）（x1＋x2） a2 ＋（y1－y2）（y1＋y2） b2 ＝0， ∴y1－y2 x1－x2＝－b2 a2·x1＋x2 y1＋y2. ∵y1－y2 x1－x2＝－1 2，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－b2 a2＝－1 2， ∴a2＝2b2. 又∵b2＝a2－c2， ∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴c a＝ 2 2 . 【答案】　 2 2 考向 3　与弦端点有关的向量问题 (1)(2014·山东烟台检测，8)过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)右焦点 F，斜率为 1 的直线交椭圆于 A，B 两点，向量OA→ ＋OB→ 与向量 α＝(－3，1)共线，则该椭圆的离心率为(　　) A. 3 3 B. 6 3 C. 3 4 D. 2 3 (2)(2014·陕西，20，13 分)如图，曲线 C 由上半椭圆 C1：y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0，y≥0) 和部分抛物线 C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的 离心率为 3 2 . ①求 a，b 的值； ②过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 AP⊥AQ， 求直线 l 的方程． 【解析】　(1)由题意，直线 AB 的方程为 y＝x－c，代入椭圆方程， 化简得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0. 令 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ 2a2c a2＋b2 ，x1x2＝a2c2－a2b2 a2＋b2 ， ∵OA→ ＋OB→ ＝(x1＋x2，y1＋y2)，与 α＝(－3，1)共线， ∴3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0.又 y1＝x1－c，y2＝x2－c， ∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0， ∴x1＋x2＝3 2c，∴ 2a2c a2＋b2＝3 2c， ∴a2＝3b2. ∴c＝ a2－b2＝ 6 3 a， ∴离心率 e＝c a＝ 6 3 .故选 B. (2)①在 C1，C2 的方程中，令 y＝0，可得 b＝1，且 A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆 C 1 的左右顶 点． 设 C1 的半焦距为 c，由c a＝ 3 2 及 a2－c2＝b2＝1 得 a＝2. ∴a＝2，b＝1. ②由①知，上半椭圆 C1 的方程为y2 4 ＋x2＝1(y≥0)．易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程 为 y＝k(x－1)(k≠0)，代入 C1 的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点 P 的坐标为(xp，yp)， ∵直线 l 过点 B，∴x＝1 是方程(*)的一个根． 由求根公式，得 xp＝k2－4 k2＋4 ，从而 yp＝ －8k k2＋4 ， ∴点 P 的坐标为(k2－4 k2＋4， －8k k2＋4). 同理，由{y＝k（x－1）（k ≠ 0）， y＝－x2＋1（y ≤ 0） 得点 Q 的坐标为(－k－1，－k2－2k)． ∴AP→ ＝ 2k k2＋4(k，－4)，AQ→ ＝－k(1，k＋2)． ∵AP⊥AQ，∴AP→ ·AQ→ ＝0， 即－2k2 k2＋4[k－4(k＋2)]＝0. ∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得 k＝－8 3. 经检验，k＝－8 3符合题意． 故直线 l 的方程为 y＝－8 3(x－1)． 【点拨】　解题(1)将向量关系转化为弦端点横坐标间的关系，进而构建方程求解；解题(2)②的关键 将位置关系 AP⊥AQ 转化为弦的端点坐标满足的关系，构建方程求解． 与弦端点有关向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系 转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进 而求解． (2014·天津，18，13 分)设椭圆 x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知|AB|＝ 3 2 |F1F2|. (1)求椭圆的离心率； (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆 相切．求直线 l 的斜率． 解：(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c，0)．由|AB|＝ 3 2 ·|F1F2|，可得 a2＋b2＝3c2，又 b2＝a2－c2，则c2 a2 ＝1 2. 所以椭圆的离心率 e＝ 2 2 . (2)由(1)知 a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为 x2 2c2＋y2 c2＝1. 设 P(x0，y0)．由 F1(－c，0)，B(0，c)， 有F1P→ ＝(x0＋c，y0)，F1B→ ＝(c，c)． 由已知，有F1P→ ·F1B→ ＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又 c≠0，故有 x0＋y0＋c＝0.① 又因为点 P 在椭圆上， 故 x 2c2＋ y c2＝1.② 由①和②可得 3x20＋4cx0＝0，而点 P 不是椭圆的顶点， 故 x0＝－4 3c，代入①得 y0＝c 3， 即点 P 的坐标为(－4c 3 ， c 3). 设 圆 的 圆 心 为 T(x1 ， y1) ， 则 x1 ＝ －4 3c＋0 2 ＝ － 2 3c ， y1 ＝ c 3＋c 2 ＝ 2 3c ， 进 而 圆 的 半 径 r ＝ （x1－0）2＋（y1－c）2＝ 5 3 c. 设直线 l 的斜率为 k ，依题意，直线 l 的方程为 y ＝kx. 由 l 与圆相切，可得 |kx1－y1| k2＋1 ＝r ，即 |k(－2c 3 )－2c 3 | k2＋1 ＝ 5 3 c， 整理得 k2－8k＋1＝0，解得 k＝4± 15. 所以直线 l 的斜率为 4＋ 15或 4－ 15. 1．(2015·浙江温州质检，6)椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中 点的直线的斜率为 3 2 ，则a b的值为(　　) A. 3 2 B. 2 3 3 C. 9 3 2 D. 2 3 27 【答案】　A　联立椭圆方程与直线方程，得 ax2＋b(1－x)2＝1，即(a＋b)x 2－2bx＋b－1＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 2b a＋b ，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－ 2b a＋b ＝ 2a a＋b ， AB 中点坐标为( b a＋b， a a＋b)，AB 中点与原点连线的斜率 k＝ a a＋b b a＋b ＝a b＝ 3 2 .故选 A. 2．(2014·河北石家庄二模，11)直线 3x－4y＋4＝0 与抛物线 x 2＝4y 和圆 x2＋(y－1)2＝1 从左到右的 交点依次为 A，B，C，D，则|AB| |CD|的值为(　　) A．16 B. 1 16 C．4 D. 1 4 【答案】　B　由{3x－4y＋4＝0， x2＝4y 得 x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，yA＝1 4，xD＝4，yD＝4，直线 3x－4y ＋4＝0 恰过抛物线的焦点 F(0，1)，且该圆圆心为 F(0，1)，∴|AF|＝yA＋1＝5 4，|DF|＝yD＋1＝5， ∴|AB| |CD|＝|AF|－1 |DF|－1 ＝ 1 16.故选 B. 3．(2015·江西宜春质检，13)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线 l，过 M(1，0)且斜率为 3的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若AM→ ＝MB→ ，则 p＝________． 【解析】　设直线 AB 的方程为 y＝ 3x－ 3，代入 y2＝2px 得 3x2＋(－6－2p)x＋3＝0， 又∵AM→ ＝MB→ ，即 M 为 A，B 的中点， ∴xB－1＝1＋p 2，即 xB＝2＋p 2，则 yB＝ 3xB－ 3＝ 3 2 p＋ 3，将(xB，yB)代入 C：y2＝2px， 得 p2＋4p－12＝0， 解得 p＝2，p＝－6(舍去)． 【答案】　2 4．(2014·河南焦作一模，13)椭圆 x2 2 ＋y2＝1 的弦被点(1 2， 1 2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ____________． 【解析】　设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. ∵A，B 在椭圆上， ∴x 2＋y21＝1，x 2＋y22＝1，两式相减得， （x1＋x2）（x1－x2） 2 ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 即y1－y2 x1－x2＝－ x1＋x2 2（y1＋y2）＝－1 2 ， 即直线 AB 的斜率为－1 2. ∴直线 AB 的方程为 y－1 2＝－1 2(x－1 2)， 即 2x＋4y－3＝0. 【答案】　2x＋4y－3＝0 5．(2015·山东莱芜一模，14)已知圆 G：x2＋y2－2 2x－2y＝0 经过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点及 上顶点．过椭圆外一点 M(m，0)(m>a)，倾斜角为2π 3 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，若点 N(3，0)在以线 段 CD 为直径的圆 E 的外部，则 m 的取值范围是________． 【解析】　∵圆 G：x2＋y2－2 2x－2y＝0 与 x 轴，y 轴交点为(2 2，0)和(0，2)， ∴c＝2 2，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝12， ∴椭圆方程为x2 12＋y2 4 ＝1， 设直线 l 的方程为 y＝－ 3(x－m)(m>2 3)， 由{y＝－ 3（x－m）， x2 12＋y2 4＝1 得 10x2－18mx＋9m2－12＝0. 由 Δ＝324m2－40(9m2－12)>0， 可得－2 30 3 0. 化简得 2m2－9m＋7>0，解得 m> 7 2. ∴m 的取值范围是(7 2， 2 30 3 ). 【答案】　(7 2， 2 30 3 ) 6．(2015·河南洛阳一模，19，12 分)已知过点 M (p 2，0)的直线 l 与抛物线 y2＝2px(p>0)交于 A，B 两 点，且OA→ ·OB→ ＝－3，其中 O 为坐标原点． (1)求 p 的值； (2)若圆 x2＋y2－2x＝0 与直线 l 相交于以 C，D(A，C 两点均在第一象限)，且线段 AC，CD，DB 的 长构成等差数列，求直线 l 的方程． 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：x＝my＋p 2，代入抛物线方程，消去 x，得 y2－2pmy－p2＝0， y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 由于OA→ ·OB→ ＝－3，即 x1x2＋y1y2＝－3，x1x2＝ y 2p· y 2p＝p2 4 ， 即有p2 4 －p2＝－3，解得 p＝2. (2)由(1)得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 则(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16(1＋m2)， |AB|2＝(y1－y2)2＋(x1－x2)2 ＝(y1－y2)2＋(y－y 4 ) 2 ＝(y1－y2)2[1＋(y1＋y2 4 ) 2 ] ＝16(1＋m2)2，即有|AB|＝4(1＋m)2， 如图，由于线段 AC，CD，DB 的长构成等差数列，则 2|CD|＝|AC|＋|DB|＝|AC|＋|BC|－|CD|＝|AB|－ |CD|， 又 CD 为圆 x2＋y2－2x＝0 的直径，即有|CD|＝2， 则 4(1＋m2)＝6，解得 m＝± 2 2 ， 则直线 l 的方程是 2x＋y－ 2＝0 或 2x－y－ 2＝0. 7．(2015·湖南怀化一模，20，13 分)设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直 线 y＝kx(k>0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点． (1)若ED→ ＝6DF→ ，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值． 解：(1)依题可得椭圆的方程为x2 4＋y2＝1， 直线 AB，EF 的方程分别为 x＋2y＝2，y＝kx(k>0)． 如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x10，由 E 与 F 关于原点对称可知 y2＝－y1>0， 故四边形 AEBF 的面积为 S＝S△OBE＋S△OBF＋S△OAE＋S△OAF＝1 2|OB|·(－x1)＋1 2|OB|·x2＋1 2|OA|·y2 ＋1 2|OA|·(－y1) ＝1 2|OB|(x2－x1)＋1 2|OA|(y2－y1) ＝x2＋2y2 ＝ （x2＋2y2）2 ＝ x＋4y＋4x2y2 ≤ 2（x＋4y）＝2 2. 当 x2＝2y2 时，等号成立．所以 S 的最大值为 2 2. 8．(2015·陕西西安模拟，20，13 分)已知直线 6x－2y－2 6＝0 经过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个顶 点 E 和一个焦点 F. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过焦点 F 作直线 l，交椭圆于 A，B 两点，且椭圆上有一点 C，使四边形 AOBC 恰好为平行四 边形，求直线的斜率 k. 解：(1)依题意，E(0，－ 6)，F(2，0)， 所以 b＝ 6，c＝2，所以 a2＝10， 所以椭圆的标准方程为x2 10＋y2 6 ＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝k(x－2)代入椭圆方程，整理得(3＋5k2)x2 －20k2x＋20k2－30＝0， 所以 x1＋x2＝ 20k2 3＋5k2， 所以 y1＋y2＝－ 12k 3＋5k2. 因为四边形 AOBC 为平行四边形，所以OA→ ＋OB→ ＝OC→ ， 所以点 C 的坐标为( 20k2 3＋5k2，－ 12k 3＋5k2)， 代入椭圆方程，解得 k2＝1，所以 k＝±1. 思路点拨：解题(2)的关键由四边形 AOBC 为平行四边形，得OA→ ＋OB→ ＝OC→ ，根据根与系数的关系可得 点 C 的坐标，代入椭圆方程求得 k 值． 9．(2015·山东青岛模拟，20，13 分)已知椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 16＝1. (1)求椭圆 C 的长轴长及离心率； (2)已知 M 为椭圆 C 的左顶点，直线 l 过(1，0)且与椭圆 C 交于 A，B 两点(不与 M 重合)．求证： ∠AMB>90°(或者证明△AMB 是钝角三角形)． 解：(1)椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 16＝1，a＝4，b＝2，c＝2 3， ∴椭圆 C 的长轴长为 8，离心率 e＝c a＝ 3 2 . (2)证明：由(1)知 M(－2，0)． ①当直线 l 的斜率不存在时，A(1，2 3)，B(1，－2 3)，MA→ ＝(3，2 3)，MB→ ＝(3，－2 3)，MA→ ·MB→ ＝－ 3<0，∴∠AMB>90°. ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，MA→ ＝(x1＋2，k(x1－1))，MB→ ＝(x2＋2，k(x2－1))， 联立直线 l 与椭圆的方程，消去 y 得(4＋k2)x2－2k2x＋k2－16＝0. 则 x1＋x2＝ 2k2 4＋k2，x1x2＝k2－16 4＋k2 ， ∴MA→ ·MB→ ＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1－1)·k(x2－1)＝－3k2 4＋k2<0. 综上，MA→ ·MB→ <0 恒成立，∠AMB>90°. 方法点拨：与角度有关的问题的求解策略 (1)不共线三点 A，B，C ①AB⊥AC(以 BC 为直径的圆过点 A 或|AB|2＋|AC|2＝|BC|2 等)转化为AB→ ·AC→ ＝0，然后利用数量积坐 标公式坐标化； ②∠BAC 为钝角(点 A 在以 BC 为直径的圆内，|AB|2＋|AC|2<|BC|2)可转化为AB→ ·AC→ <0，然后坐标化； ③∠BAC 为锐角(点 A 在以 BC 为直径的圆外，|AB|2＋|AC|2>|BC|2)，可转化为AB→ ·AC→ >0，然后坐标 化． (2)证明角相等或求角的范围可转化为直线的倾斜角，利用斜率解之；若角所在的三角形边角关系明 显，如焦点三角形，则转化为余弦定理，也可以用向量的数量积解决． 10．(2014·山西太原二模，21，12 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为1 2，以原点为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋ 6＝0 相切． (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(4，0)，A，B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连接 PB 交椭圆 C 于另一 点 E，直线 AE 与 x 轴相交于点 Q，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，求OM→ ·ON→ 的取值范围． 解：(1)∵e＝c a＝1 2，a2＝b2＋c2，∴b a＝ 1－(1 2 )2＝ 3 2 .据另一个题设条件得：b＝r＝ 6 12＋（－1）2 ＝ 3. ∴a＝2，∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，据题意 A(x1，－y1)，且 y1≠0. 设直线 PB 的方程为 x＝my＋4，把它代入x2 4 ＋y2 3 ＝1 并整理得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，∴y1，y2 是 该方程的两根， ∴y1＋y2＝－ 24m 3m2＋4 ，y1y2＝ 36 3m2＋4.(*) 直线 AE 的方程为 y＋y1＝－y1－y2 x1－x2 (x－x1)，令 y＝0 得点 Q 的横坐标 xQ＝x1y2＋x2y1 y1＋y2 . ∵x1＝my1＋4，x2＝my2＋4， ∴xQ＝（my1＋4）y2＋（my2＋4）y1 y1＋y2 ＝2my1y2＋4（y1＋y2） y1＋y2 . 将(*)式代入得 xQ＝1. ①当直线 MN 与 x 轴不重合时，设直线 MN 的方程为 x＝ny＋1，并设 M(x3，y3)，N(x4，y4)． 把 x＝ny＋1 代入 3x2＋4y2＝12 整理得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0，y3，y4 是该方程的两根， ∴y3＋y4＝－ 6n 3n2＋4 ，y3y4＝－ 9 3n2＋4.(**) OM→ ·ON→ ＝x3x4＋y3y4＝(ny3＋1)(ny4＋1)＋y3y4＝(1＋n2)y3y4＋n(y3＋y4)＋1， 把(**)代入并整理得 OM→ ·ON→ ＝－12n2＋5 3n2＋4 . ∵12n2＋5 3n2＋4 ＝4－ 11 3n2＋4 ∈[5 4，4)， ∴OM→ ·ON→ ∈(－4，－5 4]. ②当直线 MN 与 x 轴重合时， OM→ ·ON→ ＝2×2×cos 180°＝－4. 综上所述， OM→ ·ON→ 的取值范围是[－4，－5 4]. 1．(2015·课标Ⅰ，5，中)已知 M(x 0，y0)是双曲线 C：x2 2 －y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦 点．若MF1→ ·MF2→ <0，则 y0 的取值范围是(　　) A.(－ 3 3 ， 3 3 ) B.(－ 3 6 ， 3 6 ) C.(－2 2 3 ， 2 2 3 ) D.(－2 3 3 ， 2 3 3 ) 【答案】　A　由于点 M 在双曲线上，∴x 2－y20＝1，即 x20＝2y20＋2.又∵F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，MF→ 1＝(－ 3－x0，－y0)，MF→ 2＝( 3－x0，－y0)，∴MF→ 1·MF→ 2＝x20＋y20－3＝3y20－1＜0，解得－ 3 3 ＜y0＜ 3 3 . 2．(2015·课标Ⅱ，20，12 分，中)已知椭圆 C：9x 2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于 坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点(m 3，m)，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由． 解：(1)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代 入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM＝x1＋x2 2 ＝ －kb k2＋9 ，yM＝kxM＋b＝ 9b k2＋9. 于是直线 OM 的斜率 kOM＝yM xM＝－9 k，即 kOM·k＝－9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形 OAPB 能为平行四边形． 因为直线 l 过点(m 3，m)，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k＞0，k≠3. 由(1)得 OM 的方程为 y＝－9 kx. 设点 P 的横坐标为 xP. 由{y＝－9 kx， 9x2＋y2＝m2 得 x2p＝ k2m2 9k2＋81 ， 即 xP＝ ± km 3 k2＋9 . 将点(m 3，m)的坐标代入 l 的方程得 b＝m（3－k） 3 ，因此 xM＝k（k－3）m 3（k2＋9） . 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP＝2xM. 于是 ± km 3 k2＋9 ＝2×k（k－3）m 3（k2＋9） ，解得 k1＝4－ 7，k2＝4＋ 7. 因为 ki＞0，ki≠3，i＝1，2，所以当 l 的斜率为 4－ 7或 4＋ 7时，四边形 OAPB 为平行四边形． 3．(2015·山东，20，13 分，中)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，左、右焦点分别是 F1，F2.以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点 在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E： x2 4a2＋ y2 4b2＝1，P 为椭圆 C 上任意一点．过点 P 的直线 y＝kx＋m 交椭圆 E 于 A，B 两 点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. ①求|OQ| |OP|的值； ②求△ABQ 面积的最大值． 解：(1)由题意知 2a＝4，则 a＝2. 又c a＝ 3 2 ，a2－c2＝b2， 可得 b＝1， 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)由(1)知椭圆 E 的方程为x2 16＋y2 4 ＝1. ①设 P(x0，y0)，|OQ| |OP|＝λ，由题意知 Q(－λx0，－λy0)． 因为x 4＋y20＝1， 又（－λx0）2 16 ＋（－λy0）2 4 ＝1， 即λ2 4 (x 4＋y)＝1， 所以 λ＝2，即|OQ OP |＝2. ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由 Δ>0，可得 m2<4＋16k2，①′ 则有 x1＋x2＝－ 8km 1＋4k2，x1x2＝4m2－16 1＋4k2 . 所以|x1－x2|＝4 16k2＋4－m2 1＋4k2 . 因为直线 y＝kx＋m 与 y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以△OAB 的面积 S＝1 2|m||x1－x2| ＝2 16k2＋4－m2|m| 1＋4k2 ＝2 （16k2＋4－m2）m2 1＋4k2 ＝2 (4－ m2 1＋4k2) m2 1＋4k2. 设 m2 1＋4k2＝t. 将 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由 Δ≥0，可得 m2≤1＋4k2.②′ 由①′②′可知 0 1 4时，S△OPQ＝8(4k2＋1 4k2－1) ＝8(1＋ 2 4k2－1)>8； 当 0≤k2< 1 4时，S△OPQ＝8(4k2＋1 1－4k2) ＝8(－1＋ 2 1－4k2). 因为 0≤k2< 1 4，则 0<1－4k2≤1， 2 1－4k2≥2，所以 S△OPQ＝8(－1＋ 2 1－4k2)≥8. 当且仅当 k＝0 时取等号． 所以当 k＝0 时，S△OPQ 的最小值为 8. 综上可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值 8. 1．(2011·北京，14，难)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(－1，0)和 F2(1，0)的距离的积等于常数 a2(a>1) 的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线 C 过坐标原点； ②曲线 C 关于坐标原点对称； ③若点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2 的面积不大于 1 2a2. 其中，所有正确结论的序号是________． 【 解 析 】 　 设 动 点 M(x ， y) 到 两 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 积 等 于 a2 ， 得 曲 线 C 的 方 程 为 （x＋1）2＋y2· （x－1）2＋y2＝a2. ∵a>1，故原点坐标不满足曲线 C 的方程，故①错误；以－x，－y 分别代替曲线 C 的方程中的 x， y，其方程不变，故曲线 C 关于原点对称，即②正确； S△F1PF2＝1 2|PF1||PF2|sin∠F1PF2 ＝1 2a2·sin∠F1PF2≤1 2a2，故③正确． 【答案】　②③ 2．(2011·湖北，14，难)如图，直角坐标系 xOy 所在的平面为 α，直角坐标系 x′Oy′ (其中 y′轴与 y 轴重合)所在的平面为 β，∠xOx′＝45°. (1)已知平面 β 内有一点 P′ (2 2，2)，则点 P′在平面 α 内的射影 P 的坐标为 __________； (2)已知平面 β 内的曲线 C′的方程是 (x′－ 2)2＋2y′2－2＝0，则曲线 C′在平面 α 内的 射影 C 的方程是____________． 【解析】　(1)设点 P′在平面 α 内的射影 P 的坐标为(x，y)，则点 P 的纵坐标和 P′(2 2，2)的纵坐 标相同，∴y＝2. 过点 P′作 P′H⊥Oy，垂足为 H，连接 PH，图略，则∠P′HP＝45°， P 的横坐标 x＝PH＝P′Hcos45°＝x′cos45°＝2 2× 2 2 ＝2， ∴点 P′在平面 α 内的射影 P 的坐标为(2，2)． (2)由(1)得 x＝x′cos45°＝x′× 2 2 ，y′＝y. 把{x′＝ 2x， y′＝y， 代入曲线 C′的方程(x′－ 2)2＋2y′2－2＝0 得( 2x－ 2)2＋2y2－2＝0，化简得(x－1)2＋ y2＝1， ∴射影 C 的方程为(x－1)2＋y2＝1. 【答案】　(1)(2，2)　(2)(x－1)2＋y2＝1 3．(2011·陕西，17，12 分，中)如图，设 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|＝4 5|PD|. (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为4 5的直线被 C 所截线段的长度． 解：(1)设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x′，y′)， 由已知得{x′＝x， y′＝5 4y， ∵P 在圆上，∴x′2＋y′2＝25， 即 x2＋(5 4y ) 2 ＝25，整理得x2 25＋y2 16＝1， 即 C 的方程为x2 25＋y2 16＝1. (2)过点(3，0)且斜率为4 5的直线方程为 y＝4 5(x－3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y＝4 5(x－3)代入 C 的方程， 得x2 25＋（x－3）2 25 ＝1，即 x2－3x－8＝0. ∴x1＝3－ 41 2 ，x2＝3＋ 41 2 . ∴线段 AB 的长度为 |AB|＝ （1＋k2）（x1－x2）2 ＝ (1＋16 25)（x1－x2）2 ＝ 41 25 × 41＝41 5 . ∴直线被 C 所截线段的长度为41 5 . 方法点拨：用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知 曲线．求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题． 4．(2014·山东，21，14 分，难)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意 一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA|＝|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时，△ADF 为正三角形． (1)求 C 的方程； (2)若直线 l1∥l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E， ①证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； ②△ABE 的面积是否存在最小值；若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意知 F(p 2，0)， 设 D(t，0)(t>0)，则 FD 的中点为(p＋2t 4 ，0). 因为|FA|＝|FD|， 由抛物线的定义知 3＋p 2＝|t－p 2|， 解得 t＝3＋p 或 t＝－3(舍去)． 由p＋2t 4 ＝3，解得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)①由(1)知 F(1，0)． 设 A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)， 因为|FA|＝|FD|，则 x0＋1＝|xD－1|， 由 xD>0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)． 故直线 l 的斜率 kl＝－y0 2 . 因为直线 l1 和直线 l 平行， 设直线 l1 的方程为 y＝－y0 2 x＋b， 代入抛物线方程得 y2＋ 8 y0y－8b y0＝0， 由题意 Δ＝64 y ＋32b y0 ＝0，得 b＝－ 2 y0. 设 E(xE，yE)，则 yE＝－ 4 y0，xE＝4 y. 当 y20≠4 时， kAE＝yE－y0 xE－x0＝－ 4 y0＋y0 4 y－y 4 ＝ 4y0 y－4 ， 可得直线 AE 的方程为 y－y0＝ 4y0 y－4(x－x0)， 由 y20＝4x0， 整理可得 y＝ 4y0 y－4(x－1)， 直线 AE 恒过点 F(1，0)． 当 y20＝4 时，直线 AE 的方程为 x＝1，过点 F(1，0)． 所以直线 AE 过定点 F(1，0)． ②由①知直线 AE 过焦点 F(1，0)， 所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋( 1 x0＋1)＝x0＋ 1 x0＋2. 设直线 AE 的方程为 x＝my＋1， 因为点 A(x0，y0)在直线 AE 上， 故 m＝x0－1 y0 . 设 B(x1，y1)，直线 l 的方程为 y－y0＝－y0 2 (x－x0)， 由于 y0≠0， 可得 x＝－ 2 y0y＋2＋x0， 代入抛物线方程得 y2＋ 8 y0y－8－4x0＝0. 所以 y0＋y1＝－ 8 y0， 可求得 y1＝－y0－ 8 y0，x1＝ 4 x0＋x0＋4. 所以点 B 到直线 AE 的距离为 d＝ | 4 x0＋x0＋4＋m(y0＋8 y0)－1| 1＋m2 ＝4（x0＋1） x0 ＝4( x0＋ 1 x0). 则△ABE 的面积 S＝1 2×4( x0＋ 1 x0)(x0＋1 x0＋2)≥16， 当且仅当 1 x0＝x0，即 x0＝1 时等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为 16. 5．(2014·湖南，21，13 分，难)如图，O 为坐标原点，椭圆 C1：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：x2 a2－y2 b2 ＝1 的左、右焦点分别为 F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2＝ 3 2 ，且|F2F4|＝ 3－1. (1)求 C1，C2 的方程； (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM 与 C2 交于 P，Q 两点时，求四 边形 APBQ 面积的最小值． 解：(1)因为 e1e2＝ 3 2 ， 所以 a2－b2 a · a2＋b2 a ＝ 3 2 ， 即 a4－b4＝3 4a4，因此 a2＝2b2， 从而 F2(b，0)，F4( 3b，0)， 于是 3b－b＝|F2F4|＝ 3－1， 所以 b＝1，所以 a2＝2.故 C1，C2 的方程分别为x2 2 ＋y2＝1，x2 2 －y2＝1. (2)因 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(－1，0)，故可设直线 AB 的方程为 x＝my－1. 由{x＝my－1， x2 2 ＋y2＝1 得 (m2＋2)y2－2my－1＝0. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是上述方程的两个实根，所以 y1＋y2＝ 2m m2＋2 ，y1y2＝ －1 m2＋2 ， 因此 x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－ 4 m2＋2 ， 于是 AB 的中点为 M(－ 2 m2＋2， m m2＋2)， 故直线 PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为 y＝－m 2x，即 mx＋2y＝0. 由{y＝－m 2x， x2 2 －y2＝1 得(2－m2)x2＝4， 所以 2－m2>0，且 x2＝ 4 2－m2，y2＝ m2 2－m2， 从而|PQ|＝2 x2＋y2＝2 m2＋4 2－m2. 如图，设点 A 到直线 PQ 的距离为 d，则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d，所以 2d＝|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| m2＋4 . 因为点 A，B 在直线 mx＋2y＝0 的异侧，所以(mx1＋2y1)·(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝ |mx1＋2y1－mx2－2y2|， 从而 2d＝（m2＋2）|y1－y2| m2＋4 . 又因为|y1－y2|＝ （y1＋y2）2－4y1y2＝2 2· 1＋m2 m2＋2 ，所以 2d＝2 2· 1＋m2 m2＋4 . 故四边形 APBQ 的面积 S＝1 2|PQ|·2d＝2 2· 1＋m2 2－m2 ＝2 2· －1＋ 3 2－m2. 而 0<2－m2≤2， 故当 m＝0 时，S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 6．(2013·四川，20，13 分，难)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(－1，0)，F2(1， 0)，且椭圆 C 经过点 P(4 3， 1 3). (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设过点 A(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且2 |AQ|2＝ 1 |AM|2＋ 1 |AN|2， 求点 Q 的轨迹方程． 解：(1)由椭圆定义知， 2a＝|PF1|＋|PF2| ＝ (4 3＋1)2 ＋(1 3 )2 ＋ (4 3－1)2 ＋(1 3 )2 ＝2 2， 所以 a＝ 2. 又由已知，得 c ＝1， 所以椭圆 C 的离心率 e＝c a＝ 1 2＝ 2 2 . (2)由(1)知，椭圆 C 的方程为x2 2＋y2＝1. 设点 Q 的坐标为(x，y)． ①当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0 ，1) ，(0 ，－1) 两点，此时点 Q 的坐标为 . ②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2. 因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则 |AM|2＝(1＋k2)x21，|AN|2＝(1＋k2)x22. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由 2 |AQ|2＝ 1 |AM|2＋ 1 |AN|2，得 2 （1＋k2）x2＝ 1 （1＋k2）x ＋ 1 （1＋k2）x ， 即 2 x2＝1 x＋1 x＝（x1＋x2）2－2x1x2 xx .① 将 y＝kx＋2 代入x2 2 ＋y2＝1 中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 由 Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0， 得 k2> 3 2. 由②可知，x1＋x2＝ －8k 2k2＋1 ，x1x2＝ 6 2k2＋1 ， 代入①中并化简，得 x2＝ 18 10k2－3.③ 因为点 Q 在直线 y＝kx＋2 上，所以 k＝y－2 x ，代入③中并化简， 得 10(y－2)2－3x2＝18. 由③及 k2> 3 2，可知 0 1 2. 即当 k∈(－∞，－1)∪(1 2，＋∞)时，直线 l 与 C1 没有公共点，与 C2 有一个公共点，故此直线 l 与轨 迹 C 恰好有一个公共点． (ⅱ)若{Δ＝0， x0 < 0，或{Δ > 0， x0 ≥ 0，由(*2)(*3)解得 k∈{－1， 1 2}，或－1 2≤k<0. 即当 k∈{－1， 1 2}时，直线 l 与 C1 只有一个公共点，与 C2 有一个公共点． 当 k∈[－1 2，0)时，直线 l 与 C1 有两个公共点，与 C2 没有公共点． 故当 k∈[－1 2，0)∪{－1， 1 2}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． (ⅲ)若{Δ > 0， x0 < 0， ，由②③解得－1b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程． 【解析】　(1)由题意知 c＝ 5，e＝c a＝ 5 3 ， ∴a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故椭圆 C 的标准方程为x2 9 ＋y2 4 ＝1. (2)设两切线为 l1，l2， ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时，l2∥x 轴或 l2⊥x 轴， 可知 P(±3，±2)． ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设 l1 的斜率为 k，且 k≠0，则 l2 的斜率为－1 k，l1 的方程 为 y－y0＝k(x－x0)，与x2 9 ＋y2 4 ＝1 联立， 整理得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0， ∵直线 l1 与椭圆相切，∴Δ＝0， 即 9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)·[(y0－kx0)2－4]＝0， ∴(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0， ∴k 是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y20－4＝0(x0≠±3)的一个根， 同理，－1 k是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y20－4＝0(x0≠±3)的另一个根， ∴k·(－1 k )＝y－4 x－9 ，整理得 x20＋y20＝13，其中 x0≠±3， ∴点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝13(x≠±3)． 检验 P(±3，±2)满足上式． 综上，点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝13. 【点拨】　解答本题(2)的关键是用好两切线垂直，找到动点 P(x0，y0)满足的等量关系． 1.直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立恰当的直角坐标系； (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程； (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程． 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通 常将步骤简记为：“建系、设点、列式、化简”． 2．相关点法求轨迹方程的步骤 (1)动点 M(x，y)相关的点 P(x0，y0)在已知曲线上运动； (2)寻求关系式 x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)； (3)将 x0，y0 代入已知曲线方程； (4)整理关于 x，y 的关系式得 M 的轨迹方程． 3．定义法求轨迹方程的步骤 (1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义； (2)设标准方程，求方程中的基本量； (3)求轨迹方程． 4．参数法求轨迹方程的步骤 (1)选取参数 k，用 k 表示动点 M 的坐标； (2)得动点 M 的轨迹的参数方程{x＝f（k）， y＝g（k）； (3)消参数 k，得 M 的轨迹方程； (4)由 k 的范围确定 x，y 的范围，确保完备性与纯粹性． 求出动点的轨迹方程后，要检验一些特殊点，通常是轨迹与已知曲线的交点，这些点往往是满足轨 迹方程的，但不是所求轨迹上的点． (2013·辽宁，20，12 分)如图，抛物线 C 1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在 抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切 线 MA 的斜率为－1 2. (1)求 p 的值； (2)当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)． 解：(1)因为抛物线 C1：x2＝4y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y′＝x 2，且切线 MA 的斜率为－1 2， 所以 A 点坐标为(－1， 1 4). 故切线 MA 的方程为 y＝－1 2(x＋1)＋1 4. 因为点 M(1－ 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上， 于是 y0＝－1 2(2－ 2)＋1 4 ＝－3－2 2 4 .① y0＝－（1－ 2）2 2p ＝－3－2 2 2p .② 由①②得 p＝2. (2)设 N(x，y)，A(x1， x 4)，B(x2， x 4)，x1≠x2，由 N 为线段 AB 中点知 x＝x1＋x2 2 .③ y＝x＋x 8 .④ 切线 MA，MB 的方程为 y＝x1 2 (x－x1)＋x 4，⑤ y＝x2 2 (x－x2)＋x 4.⑥ 由⑤⑥得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0＝x1＋x2 2 ，y0＝x1x2 4 . 因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x20＝－4y0， 所以 x1x2＝－x＋x 6 .⑦ 由③④⑦得 x2＝4 3y，x≠0. 当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2＝4 3y. 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2＝4 3y. 考向 2　定点、定值、定线问题 (2013·陕西，20，13 分)已知动圆过定点 A(4，0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)已知点 B(－1，0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是∠PBQ 的 角平分线，证明直线 l 过定点． 【解析】　(1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1H⊥ MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点， ∴|O1M|＝ x2＋42. 又|O1A|＝ （x－4）2＋y2， ∴ （x－4）2＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)． 又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0，0)也满足方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x. (2)由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中， 得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中 Δ＝－32kb＋64＞0. 由根与系数的关系得，x1＋x2＝8－2bk k2 ，① x1x2＝b2 k2，② 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以 y1 x1＋1 ＝－ y2 x2＋1 ， 即 y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 将①②代入③得 2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此时 Δ＞0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 即直线 l 过定点(1，0)． 【点拨】　本题(2)设出直线方程 y＝kx＋b(斜率存在)，根据条件找出 k 与 b 的关系，从而得出直线 所过的定点． (2014·江西，20，13 分)如图，已知双曲线 C：x2 a2－y2＝1(a>0)的 右焦点为 F.点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB⊥OB，BF∥OA(O 为坐标原点)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y0≠0)的直线 l：x0x a2 －y0y＝1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x＝3 2 相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|MF| |NF|恒为定值，并求此定值． 【解析】　(1)设 F(c，0)，因为 b＝1，所以 c＝ a2＋1， 直线 OB 的方程为 y＝－1 ax，直线 BF 的方程为 y＝1 a(x－c)，解得 B(c 2，－ c 2a). 又直线 OA 的方程为 y＝1 ax， 则 A(c， c a)，kAB＝ c a－(－ c 2a) c－c 2 ＝3 a. 又因为 AB⊥OB，所以3 a·(－1 a )＝－1，解得 a2＝3， 故双曲线 C 的方程为x2 3 －y2＝1. (2)由(1)知 a＝ 3，则直线 l 的方程为x0x 3 －y0y＝1(y0≠0)， 即 y＝x0x－3 3y0 . 因为直线 AF 的方程为 x＝2，所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2， 2x0－3 3y0 )； 直线 l 与直线 x＝3 2的交点为 N(3 2， 3 2x0－3 3y0 )， 则|MF|2 |NF|2＝ （2x0－3）2 （3y0）2 1 4＋ (3 2x0－3)2 （3y0）2 ＝ （2x0－3）2 9y 4 ＋9 4 （x0－2）2 ＝4 3· （2x0－3）2 3y＋3（x0－2）2. 因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则x 3－y20＝1，代入上式得 |MF|2 |NF|2＝4 3· （2x0－3）2 x－3＋3（x0－2）2＝4 3·（2x0－3）2 4x－12x0＋9 ＝4 3， 所求定值为|MF| |NF|＝ 2 3＝2 3 3 . 【点拨】　解题(2)的关键是准确用点 P(x0，y0)的坐标表示出点 M，N 的坐标． 1.求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得 到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． (2013·安徽，18，12 分)设椭圆 E：x2 a2＋ y2 1－a2＝1 的焦点在 x 轴上． (1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； (2)设 F1，F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q， 并且 F1P⊥F1Q.证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上． 解：(1)因为焦距为 1，所以 a2－(1－a2)＝1 4，解得 a2＝5 8. 故椭圆 E 的方程为8x2 5 ＋8y2 3 ＝1. (2)证明：设 P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)， 其中 c＝ 2a2－1. 由题设知 x0≠c，则直线 F1P 的斜率 kF1P＝ y0 x0＋c ， 直线 F2P 的斜率 kF2P＝ y0 x0－c. 故直线 F2P 的方程为 y＝ y0 x0－c(x－c)． 当 x＝0 时，y＝ cy0 c－x0，即点 Q 的坐标为(0， cy0 c－x0). 因此，直线 F1Q 的斜率为 kF1Q＝ y0 c－x0. 由于 F1P⊥F1Q，所以 kF1P·kF1Q＝ y0 x0＋c · y0 c－x0＝－1. 化简得 y20＝x20－(2a2－1)．① 将①代入椭圆 E 的方程，由于点 P(x0，y0)在第一象限， 解得 x0＝a2，y0＝1－a2，即点 P 在定直线 x＋y＝1 上． 考向 3　最值与范围问题 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长)； ②双曲线上不同支的两点间最小距离为 2a(实轴长)； ③椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c 与 a＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离 与最大距离； ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最 值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与 第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方 程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处 理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所 求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． (6)实际应用问题，解这类题目时，首先要解决以下两个问题：①选择适当的坐标系；②将实际问题 中的条件借助坐标系用数学语言表达出来．其次，根据需要将最值问题化为一个函数的最值问题． (2014·四川，20，13 分)已知椭圆 C： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦距为 4，其短轴的两个端点 与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x＝－3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. ①证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)； ②当|TF| |PQ|最小时，求点 T 的坐标． 【解析】　(1)由已知可得{ a2＋b2＝2b， 2c＝2 a2－b2＝4， 解得 a2＝6，b2＝2， 所以椭圆 C 的标准方程是x2 6 ＋y2 2 ＝1. (2)①由(1)可得 F 点的坐标是(－2，0)， 设 T 点的坐标为(－3，m)， 则直线 TF 的斜率 kTF＝ m－0 －3－（－2）＝－m. 当 m≠0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ＝1 m， 直线 PQ 的方程是 x＝my－2. 当 m＝0 时，直线 PQ 的方程是 x＝－2，也符合 x＝my－2 的形式． 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得{x＝my－2， x2 6 ＋y2 2＝1. 消去 x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判别式 Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0， 所以 y1＋y2＝ 4m m2＋3 ，y1y2＝ －2 m2＋3 ， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝ －12 m2＋3. 所以 PQ 的中点 M 的坐标为( －6 m2＋3， 2m m2＋3). 所以直线 OM 的斜率 kO M＝－m 3. 又直线 OT 的斜率 kOT＝－m 3， 所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得|TF|＝ m2＋1， |PQ|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝ （m2＋1）[（y1＋y2）2－4y1y2] ＝ （m2＋1）[( 4m m2＋3)2 －4· －2 m2＋3] ＝ 24（m2＋1） m2＋3 . 所以|TF| |PQ|＝ 1 24· （m2＋3）2 m2＋1 ＝ 1 24·(m2＋1＋ 4 m2＋1 ＋4) ≥ 1 24 × （4＋4）＝ 3 3 . 当且仅当 m2＋1＝ 4 m2＋1 ，即 m＝±1 时，等号成立，此时|TF| |PQ|取得最小值． 所以当|TF| |PQ|最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． 【点拨】　求|TF| |PQ|最小值的关键是将|TF|，|PQ|分别用变量 m 表示出来，进而选用恰当的求最值的 方法求解． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个 函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． (2014·浙江，21，15 分)如图，设椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个 公共点 P，且点 P 在第一象限． (1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b. 解：(1)设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k<0)，由{y＝kx＋m， x2 a2＋y2 b2＝1 消去 y 得， (b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 由 于 l 与 C 只 有 一 个 公 共 点 ， 故 Δ ＝ 0 ， 即 b2 － m2 ＋ a2k2 ＝ 0 ， 解 得 点 P 的 坐 标 为 ( －a2km b2＋a2k2， b2m b2＋a2k2). 又点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为 P( －a2k b2＋a2k2， b2 b2＋a2k2). (2)证明：由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直，故直线 l1 的方程为 x＋ky＝0， 所以点 P 到直线 l1 的距离 d＝ | －a2k b2＋a2k2＋ b2k b2＋a2k2| 1＋k2 ， 整理得 d＝ a2－b2 b2＋a2＋a2k2＋b2 k2 . 因为 a2k2＋b2 k2≥2ab， 所以 a2－b2 b2＋a2＋a2k2＋b2 k2 ≤ a2－b2 b2＋a2＋2ab ＝a－b， 当且仅当 k2＝b a时等号成立． 所以，点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b. 考向 4　存在性问题 (2014·福建，19，13 分)已知双曲线 E：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为 l1：y＝ 2x，l2：y＝－2x. (1)求双曲线 E 的离心率； (2)如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2 于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的 方程；若不存在，说明理由． 【思路导引】　本题(2)方法一：设出双曲线的方程，求出满足条件的双曲线方程，再严格证明；方 法二、三：利用待定系数设出直线 l 的方程，再与双曲线方程联立运用判别式探求． 【解析】　(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y＝2x，y＝－2x，所以b a＝2， 所以 c2－a2 a ＝2，故 c＝ 5a， 从而双曲线 E 的离心率 e＝c a＝ 5. (2)方法一：由(1)知，双曲线 E 的方程为x2 a2－ y2 4a2＝1. 如图，设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 若 l⊥x 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点， 则|OC|＝a，|AB|＝4a. 又因为△OAB 的面积为 8， 所以1 2|OC|·|AB|＝8， 因此 1 2a·4a＝8，解得 a＝2， 此时双曲线 E 的方程为x2 4 －y2 16 ＝1. 若存在满足条件的双曲线 E， 则 E 的方程只能为x2 4 －y2 16＝1. 以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E：x2 4 －y2 16＝1 也满足条件． 设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，依题意，得 k>2 或 k<－2， 则 C(－m k，0).记 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由{y＝kx＋m， y＝2x， 得 y1＝ 2m 2－k ，同理，得 y2＝ 2m 2＋k. 由 S△OAB＝1 2|OC|·|y1－y2|，得 1 2|－m k |·| 2m 2－k － 2m 2＋k|＝8， 即 m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)． 由{y＝kx＋m， x2 4 －y2 16＝1， 得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0. 因为 4－k2<0， 所以 Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为 m2＝4(k2－4)， 所以Δ＝0，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为x2 4 －y2 16＝1. 方法二：由(1)知，双曲线 E 的方程为x2 a2－ y2 4a2＝1. 设直线 l 的方程为 x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 依题意得－1 22 或 k<－2. 由{y＝kx＋m， 4x2－y2＝0，得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0. 因为 4－k2<0，Δ>0，所以 x1x2＝－m2 4－k2. 又因为△OAB 的面积为 8， 所以1 2|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8， 又易知 sin∠AOB＝4 5， 所以2 5 x＋y· x＋y＝8，化简得 x1x2＝4. 所以－m2 4－k2＝4，即 m2＝4(k2－4)． 由(1)得双曲线 E 的方程为x2 a2－ y2 4a2＝1， 由{y＝kx＋m， x2 a2－ y2 4a2＝1，得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0. 因为 4－k2<0，直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0， 即(k2－4)(a2－4)＝0，所以 a2＝4， 所以双曲线 E 的方程为x2 4 －y2 16＝1. 当 l⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于 8 可得 l：x＝2，又易知 l：x＝2 与双曲线 E：x2 4 －y2 16＝1 有且只 有一个公共点． 综上所述，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为x2 4 －y2 16＝1. 存在性问题的求解方法 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、 直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 (点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． (2012·江西，20，13 分)已知三点 O(0，0)，A(－2，1)，B(2，1)，曲线 C 上任意一点 M(x， y)满足|MA→ ＋MB→ |＝OM→ ·(OA→ ＋OB→ )＋2. (1)求曲线 C 的方程； (2)动点 Q(x0，y0)(－2 x0 2 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定相交． 分别联立得方程组 {y＝t－1 2 x＋t， y＝x0 2x－x 4， {y＝1－t 2 x＋t， y＝x0 2x－x 4， 解得 D，E 的横坐标分别是 xD＝ x＋4t 2（x0＋1－t），xE＝ x＋4t 2（x0＋t－1）， 则 xE－xD＝(1－t) x＋4t x－（t－1）2， 又|FP|＝－x 4－t，则 S△PDE＝1 2·|FP|·|xE－xD|＝1－t 8 · （x＋4t）2 （t－1）2－x ， S△QAB＝1 2×4·(1－x 4)＝4－x 2 ， 于是S △ QAB S △ PDE＝ 4 1－t ·（x－4）[x－（t－1）2] （x＋4t）2 ＝ 4 1－t ·x－[4＋（t－1）2]x＋4（t－1）2 x＋8tx＋16t2 . 对于任意 x0∈(－2，2)，要使S △ QAB S △ PDE为常数，即只需 t 满足{－4－（t－1）2＝8t， 4（t－1）2＝16t2， 解得 t＝－1，此时S △ QAB S △ PDE＝2， 故存在 t＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2. 1．(2015·河北石家庄一模，8)已知点 Q 在椭圆 C：x2 16＋y2 10＝1 上，点 P 满足OQ→ ＝1 2(OF1→ ＋OP→ )(其中 O 为坐标原点，F1 为椭圆 C 的左焦点)，则点 P 的轨迹为(　　) A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 【答案】　D　因为点 P 满足OQ→ ＝1 2(OF1→ ＋OP→ )， 所以 Q 是线段 PF1 的中点． 设 P(a，b)， 由于 F1 为椭圆 C：x2 16＋y2 10＝1 的左焦点，则 F1(－ 6，0)， 故 Q(a－ 6 2 ， b 2)， 由点 Q 在椭圆 C：x2 16＋y2 10＝1 上， 则点 P 的轨迹方程为（a－ 6）2 64 ＋b2 40＝1， 故点 P 的轨迹为椭圆． 2．(2014·山东东营模拟，7) 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射 f 将 xOy 平面上的点 P(x， y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v 上的点 P′(2xy，x2－y2)，则当点 P 沿着折线 A­B­C 运动时，在映射 f 的作用下，动点 P′的轨迹是(　　) 【答案】　D　当 P 沿 AB 运动时，x＝1， 设 P′(x′，y′)，则{x′＝2y， y′＝1－y2(0≤y≤1)， ∴y′＝1－x′2 4 (0≤x′≤2，0≤y′≤1)． 当 P 沿 BC 运动时，y＝1， 则{x′＝2x， y′＝x2－1(0≤x≤1)， ∴y′＝x′2 4 －1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)， 由此可知 P′的轨迹如选项 D 所示，故选 D. 3．(2015·四川成都质检，8)在棱长为 1 的正方体 ABCD­A′B′C′D′中，若点 P 是棱上一点，则 满足|PA|＋|PC′|＝2 的点 P 的个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】　B　∵正方体的棱长为 1. ∴AC′＝ 3. ∵|PA|＋|PC′|＝2， ∴点 P 是以 2c＝ 3为焦距，以 a＝1 为长半轴，以1 2为短半轴的椭球上． ∵P 在正方体的棱上， ∴P 应是椭球与正方体的棱的交点． 结合正方体的性质可知，在棱 B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD 上各有一点满足条件． 故选 B. 4．(2015·浙江宁波质检，16)与圆(x－2)2＋y2＝1 外切，且与直线 x＋1＝0 相切的动圆圆心的轨迹方 程是__________． 【解析】　设动圆圆心为 P(x，y)，则 （x－2）2＋y2＝|x＋1|＋1，依据抛物线的定义结合题意可知 动圆圆心 P(x，y)的轨迹是以(2，0)为焦点，x＝－2 为准线的抛物线，故方程为 y2＝8x. 【答案】　y2＝8x 5．(2014·山东济宁一模，16) x2 4 ＋y2 3 ＝1 上有一动点 P，圆 E：(x－1)2＋y2＝1，过圆心 E 任意作一条 直线与圆 E 交于 A，B 两点，圆 F：(x＋1)2＋y2＝1，过圆心 F 任意作一条直线交圆 F 于 C，D 两点，则 PA→ ·PB→ ＋PC→ ·PD→ 的最小值为________． 【解析】　PA→ ·PB→ ＝(PE→ ＋EA→ )·(PE→ ＋EB→ )＝(PE→ ＋EA→ )·(PE→ －EA→ )＝PE→ 2－1，同理，PC→ ·PD→ ＝PF→ 2－1， 所以PA→ ·PB→ ＋PC→ ·PD→ ＝PE→ 2＋PF→ 2－2 ≥ （|PE→ |＋|PF→ |）2 2 －2＝6. 【答案】　6 6．(2015·湖南岳阳质检，20，13 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的短轴长为 2，离心率为 2 2 ，直 线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 A，B 两点． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若线段 AB 的垂直平分线通过点(0，－1 2)，证明：2k2＋1＝2m； (3)在(2)的前提下，求△AOB(O 为原点)面积的最大值． 解：(1)由已知可得{e＝c a ＝ 2 2 ， 2b＝2， a2＝b2＋c2， 解得 a2＝2，b2＝1. 故椭圆 C 的标准方程为x2 2＋y2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程{y＝kx＋m， x2 2 ＋y2＝1， 消去 y 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 当 Δ＝8(2k2－m2＋1)>0， 即 2k2＋1>m2 时， x1＋x2＝－4km 1＋2k2，x1·x2＝2m2－2 1＋2k2. 所以x1＋x2 2 ＝－2km 1＋2k2，y1＋y2 2 ＝ m 1＋2k2. 因为线段 AB 的垂直平分线过点(0，－1 2)， 所以 y1＋y2 2 －(－1 2 ) x1＋x2 2 －0 ＝－1 k， 化简整理得 2k2＋1＝2m. (3)由{2k2＋1＝2m， 2k2＋1 > m2，得 0 （x1＋x2）2 2 (x1≠x2)， 即 8p>8， ∴p>1，即 p 的取值范围为(1，＋∞)． (2)存在． 方法一：当 p＝2 时， 由(1)求得 A，B 的坐标分别为(0，0)，(4，4)． 假设抛物线 Γ 上存在点 C(t， t2 4 )(t≠0 且 t≠4)， 使得经过 A，B，C 三点的圆和抛物线 Γ 在点 C 处有相同的切线． 设经过 A，B，C 三点的圆 N 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则{F＝0， 4D＋4E＋F＝－32， 16tD＋4t2E＋16F＝－t4－16t2. 整理得 t3＋4(E＋4)t－16(E＋8)＝0.① ∵函数 y＝x2 4 的导数为 y′＝x 2， ∴抛物线 Γ 在点 C (t， t2 4 )处的切线的斜率为t 2， ∴经过 A，B，C 三点的圆 N 在点 C (t， t2 4 )处的切线斜率为t 2，且该切线与直线 NC 垂直． ∵t≠0，∴直线 NC 的斜率存在． ∵圆心 N 的坐标为(－D 2，－E 2)， ∴ t2 4 ＋E 2 t＋D 2 ＝－2 t， 即 t3＋2(E＋4)t－4(E＋8)＝0.　② ∵t≠0，由①②消去 E，得 t3－6t2＋32＝0， 即(t－4)2(t＋2)＝0， ∵t≠4，∴t＝－2. 故满足题设的点 C 存在，其坐标为(－2，1)． 方法二：设 A，B 两点的坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，短轴两 个端点为 A，B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形． (1)求椭圆的方程； (2)若 C，D 分别是椭圆的左、右端点，动点 M 满足 MD⊥CD，连接 CM，交椭圆于点 P.证明： OM→ ·OP→ 为定值． (3)在(2)的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP，MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)a＝2，b＝c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝2， ∴椭圆方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)证明：C(－2，0)，D(2，0)，设 M(2，y0)，P(x1，y1)， 则OP→ ＝(x1，y1)，OM→ ＝(2，y0)． 直线 CM：y＝y0 4 (x＋2)， 即 y＝y0 4 x＋1 2y0， 代入椭圆方程 x2＋2y2＝4， 得 (1＋y 8)x2＋1 2y20x＋1 2y20－4＝0. ∴x1＝－1 2·4（y－8） y＋8 ＝－2（y－8） y＋8 ， ∴y1＝ 8y0 y＋8 ， ∴OP→ ＝(－2（y－8） y＋8 ， 8y0 y＋8)， ∴OP→ ·OM→ ＝－4（y－8） y＋8 ＋ 8y y＋8 ＝4y＋32 y＋8 ＝4， 即OM→ ·OP→ 为定值． (3)设存在 Q(m，0)满足条件，则 MQ⊥DP， MQ→ ＝(m－2，－y0)， DP→ ＝(－ 4y y＋8， 8y0 y＋8)， 则由MQ→ ·DP→ ＝0 得－ 4y y＋8(m－2)－ 8y y＋8 ＝0，从而得 m＝0. ∴存在 Q(0，0)满足条件． (时间：120 分钟__分数：150 分) 一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．(2015·河北承德质检，5)椭圆x2 12＋y2 3 ＝1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　) A．7 倍 B．5 倍 C．4 倍 D．3 倍 【答案】　A　由题设知 F1(－3，0)，F2(3，0)，如图， ∵线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上， ∴可设 P(3，b)， 把 P(3，b)代入椭圆x2 12＋y2 3 ＝1，得 b2＝3 4. ∴|PF1|＝ 36＋3 4 ＝7 3 2 ， |PF2|＝ 0＋3 4 ＝ 3 2 . ∴|PF1| |PF2|＝ 7 3 2 3 2 ＝7.故选 A. 2．(2015·河南南阳一模，6)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠F1PF2 ＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】　B　由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1||PF2| ⇒cos60°＝（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ⇒|PF1|·|PF2|＝4. 3．(2015·山东青岛质检，6)设 F 1，F2 分别是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1 的左、右焦点，点 P ( 6 2 ， 2 2 )在 此双曲线上，且 PF1⊥PF2，则双曲线 C 的离心率等于(　　) A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 6 2 【答案】　B　根据已知条件得： { 3 2a2－ 1 2b2＝1， ( 6 2 ＋c)2 ＋1 2 ＋( 6 2 －c)2 ＋1 2 ＝4c2， 即{ 3 a2－ 1 c2－a2＝2， c2＝2， ∴解得 a＝1，c＝ 2. ∴双曲线 C 的离心率 e＝c a＝ 2.故选 B. 4．(2012·福建，8)已知双曲线x2 4 －y2 b2＝1 的右焦点与抛物线 y2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点 到其渐近线的距离等于(　　) A. 5 B．4 2 C．3 D．5 【答案】　A　∵抛物线 y2＝12x 的焦点为 F(3，0)，∴c＝3， 又 a＝2，∴b＝ 5， ∴双曲线的渐近线为 y＝± 5 2 x， ∴F 到渐近线的距离 d＝ | ± 5 2 × 3－0| 12＋( 5 2 )2 ＝ 5.故选 A. 5．(2015·河南郑州模拟，10)已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　) A．2 3 B．2 5 C．4 3 D．4 5 【答案】　B　由题意得{a＋p 2 ＝4， －p 2 ＝－2， －1＝（－2）· b a ⇒{p＝4， a＝2， b＝1 ⇒c＝ a2＋b2＝ 5. ∴双曲线的焦距 2c＝2 5.故选 B. 6．(2015·江西宜春质检，6)设定点 M 1(0，－3)，M2(0，3)，动点 P 满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋9 a(其 中 a 是正常数)，则点 P 的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 【答案】　C　∵a 是正常数，∴a＋9 a≥2 9＝6.当|PM1|＋|PM2|＝6 时，点 P 的轨迹是线段 M1M2； 当 a＋9 a>6 时，点 P 的轨迹是椭圆．故选 C. 7．(2014·四川雅安二模，10)抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物 线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AK⊥l，垂足为 K，则△AKF 的面积是(　　) A．4 B．3 3 C．4 3 D．8 【答案】　C　∵y2＝4x，∴F(1，0)，l：x＝－1，过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1：y＝ 3(x－1)，与 y2＝4x 联立，解得 x＝3 或 x＝1 3(舍)，故 A(3，2 3)， ∴AK＝4，∴S△AKF＝1 2×4×2 3＝4 3.故选 C. 8．(2015·安徽铜陵质检，7)设椭圆的方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，右焦点为 F(c，0)(c>0)，方程 ax2＋bx －c＝0 的两实根分别为 x1，x2，则 P(x1，x2)(　　) A．必在圆 x2＋y2＝2 内 B．必在圆 x2＋y2＝2 外 C．必在圆 x2＋y2＝1 外 D．必在圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2＝2 形成的圆环之间 【答案】　D　椭圆的方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，右焦点为 F(c，0)(c>0)，方程 ax2＋bx－c＝0 的两实 根分别为 x1 和 x2， 则 x1＋x2＝－b a，x1·x2＝－c a， x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝b2 a2＋2ac a2 > a2＋c2 a2 ＝1＋e2， 因为 01， 又b2 a2＋2ac a2 < b2＋a2＋c2 a2 ＝2， 所以 10)与抛物线 C：y2＝4x 相交于 A，B 两点，F 为抛 物线 C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则 k＝(　　) A. 1 3 B. 2 2 3 C. 2 3 D. 2 3 【答案】　B　设 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2， 由|FA |＝2 |FB |得 y1＝2y2(如图)． 由 y＝k(x＋1)得，x＝y k－1，代入 C：y2＝4x 并整理得 ky2－4y＋4k＝0， 又 y1，y2 是该方程的两根， ∴{3y2＝y1＋y2＝4 k，　　　① 2y＝y1y2＝4k k ＝4，　　② ∴由①②得，2＝y22＝( 4 3k ) 2 . ∵k>0，∴k＝2 2 3 .故选 B. 10．(2015·浙江衢州模拟，7)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正 (主)视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为(　　) A. 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 4 【答案】　C　设正(主)视图正方形的边长为 m，根据正(主)视图与俯视图的长相等，得到俯视图中 椭圆的短轴长 2b＝m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径 2m，得到俯视图中椭圆的长轴长 2a＝ 2m， 则椭圆的焦距 c＝ a2－b2＝1 2m， 根据离心率公式得 e＝c a＝ 2 2 . 故选 C. 11．(2015·广东广州模拟，8)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，抛物线 y2＝15 8 (a ＋c)x 与椭圆交于 B，C 两点，若四边形 ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于(　　) A. 15 8 B. 4 15 C. 2 3 D. 1 2 【答案】　D　∵椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A.∴A(a，0)，F(－c，0)． ∵抛物线 y2＝15 8 (a＋c)x 与椭圆交于 B，C 两点， ∴B，C 两点关于 x 轴对称，可设 B(m，n)，C(m，－n)． ∵四边形 ABFC 是菱形， ∴m＝1 2(a－c)． 将 B(m，n)代入抛物线方程，得 n2＝15 8 (a＋c)· 1 2(a－c)＝15 16b2， ∴B(1 2 （a－c）， 15 4 b)，再代入椭圆方程，得 [1 2（a－c）]2 a2 ＋ ( 15 4 b) 2 b2 ＝1， 即1 4·（a－c）2 a2 ＝ 1 16， 化简整理，得 4e2－8e＋3＝0，解得 e＝1 2(e＝3 2>1 不符合题意，舍去)． 故选 D. 12．(2014·湖北武汉二模，7)已知 F1，F2 分别是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外， 则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1， 2) B．( 2， 3) C．( 3，2) D．(2，＋∞) 【答案】　D　如图所示，过点 F2(c，0)且与渐近线 y＝b ax 平行的直线为 y＝b a(x－c)，与另一条渐近 线 y＝－b ax 联立得{y＝b a （x－c）， y＝－b ax， 解得{x＝c 2， y＝－bc 2a， 即点 M(c 2，－bc 2a). ∴|OM|＝ (c 2 ) 2 ＋(－bc 2a)2 ＝c 2 1＋(b a )2 . ∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外， ∴|OM|>c， 即c 2 1＋(b a )2 >c， 得 1＋(b a )2 >2. ∴双曲线离心率 e＝c a＝ 1＋(b a )2 >2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)． 故选 D. 二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 13．(2015·湖南长沙质检，13)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1 与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 有相同的焦点，且双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2x，则双曲线 C 的方程为____________． 【解析】　由题意得椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的焦点为(± 5，0)，所以 c＝ 5.又双曲线的渐近线方程为 y＝ ±2x，则由{a2＋b2＝5， b a＝2 ⇒{a2＝1， b2＝4，所以双曲线 C 的方程为 x2－y2 4 ＝1. 【答案】　x2－y2 4 ＝1 14．(2015·陕西西安质检，12)若抛物线 C：y 2＝2px(p>0)与双曲线 C′：x2 3 －y2＝1 的一个焦点相同， 则抛物线 C 的方程为________． 【解析】　双曲线 C′：x2 3 －y2＝1 中， ∵a2＝3，b2＝1， ∴c＝ 3＋1＝2， ∴双曲线的焦点 F1(－2，0)，F2(2，0)． ∵抛物线 C：y2＝2px(p>0)与双曲线 C′：x2 3 －y2＝1 的一个焦点相同， 且抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标 F(p 2，0)， ∴p 2＝2，解得 p＝4， ∴抛物线 C 的方程是 y2＝8x. 【答案】　y2＝8x 15．(2012·浙江，16)定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离．已 知曲线 C1：y＝x2＋a 到直线 l：y＝x 的距离等于曲线 C2：x2＋(y＋4)2＝2 到直线 l：y＝x 的距离，则实数 a＝________． 【解析】　曲线 C2 到 l 的距离 d 等于圆心到直线的距离减去半径，即 d＝|4| 2 － 2＝ 2，所以曲线 C1 到 l 的距离为 2.而 C1 到 l 的距离为与 l 平行的直线 l′与 C1 相切时两直线间的距离．设 l′：x－y＋m＝0， 则|m| 2 ＝ 2，得 m＝±2.当 m＝－2 时，曲线 C1 与直线 l 相交，不合题意舍去；当 m＝2 时，由{y＝x2＋a， x－y＋2＝0， 消去 y，得 x2－x＋a－2＝0，Δ＝1－4(a－2)＝9－4a＝0， ∴a＝9 4. 【答案】　9 4 16．(2015·吉林长春模拟，15)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在椭圆 x2 25＋y2 9 ＝1 上，点 P 满 足AP→ ＝(λ－1)OA→ (λ∈R)，且OA→ ·OP→ ＝72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为________． 【解析】　∵AP→ ＝(λ－1)OA→ ， ∴OP→ ＝λOA→ ，则 O，P，A 三点共线． ∵OA→ ·OP→ ＝72，∴|OA→ ||OP→ |＝72， 设线段 OP 与 x 轴的夹角为 θ，设 A(x，y)，B 为点 A 在 x 轴的投影， 则 线 段 OP 在 x 轴 上 的 投 影 长 度 为 |OP→ |cos θ ＝ 72|OB→ | |OA→ |2 ＝ 72× |x| x2＋y2＝ 72× 1 16 25|x|＋ 9 |x| ≤ 72 × 1 2 16 × 9 25 ＝15. 当且仅当|x|＝15 4 时等号成立． 则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15. 【答案】　15 三、解答题(共 6 小题，共 74 分) 17．(12 分)(2012·辽宁，20)如图，椭圆 C0：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0，a，b 为常数)，动圆 C1：x2＋y2＝t21， b0，y≠0. 当∠MBA＝90°时， 点 M 的坐标为(2，±3)． 当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB， 有 tan ∠MBA＝ 2tan ∠MAB 1－tan2∠MAB， 即－ |y| x－2 ＝ 2 |y| x＋1 1－( |y| x＋1)2 . 化简可得 3x2－y2－3＝0. 而点(2，±3)在曲线 3x2－y2－3＝0 上， 综上可知，轨迹 C 的方程为 3x2－y2－3＝0(x>1)． (2)由{y＝－2x＋m， 3x2－y2－3＝0消去 y， 可得 x2－4mx＋m2＋3＝0.(*) 由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内， 设 f(x)＝x2－4mx＋m2＋3， 所以{－ －4m 2 > 1， f（1）＝12－4m＋m2＋3 > 0， Δ＝（－4m）2－4（m2＋3） > 0. 解得 m>1 且 m≠2. 设 Q，R 的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)， 由|PQ|<|PR|有 xR＝2m＋ 3（m2－1）， x0＝2m－ 3（m2－1）， 所以|PR| |PQ|＝xR xQ＝2m＋ 3（m2－1） 2m－ 3（m2－1） ＝ 2＋ 3(1－ 1 m2) 2－ 3(1－ 1 m2) ＝－1＋ 4 2－ 3(1－ 1 m2) . 由 m>1 且 m≠2，有 1<－1＋ 4 2－ 3(1－ 1 m2) <7＋4 3， 且－1＋ 4 2－ 3(1－ 1 m2) ≠7. 所以|PR| |PQ|的取值范围是(1，7)∪(7，7＋4 3)． 19．(12 分)(2012·山东，21)在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点，M 是抛 物线 C 上位于第一象限内的任意点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离 为3 4. (1)求抛物线 C 的方程； (2)是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由； (3)若点 M 的横坐标为 2，直线 l：y＝kx＋1 4与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，l 与圆 Q 有两个不 同的交点 D，E，求当1 2≤k≤2 时，|AB|2＋|DE|2 的最小值． 解：(1)依题意知 F(0， p 2)，圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 y＝p 4上． 因为抛物线 C 的准线方程为 y＝－p 2， 所以3p 4 ＝3 4，即 p＝1. 因此抛物线 C 的方程为 x2＝2y， (2)假设存在点 M(x0， x 2)(x0>0)满足条件，抛物线 C 在点 M 处的切线斜率为 y′|x＝x0＝(x2 2 )′| x＝x0＝x0， 所以直线 MQ 的方程为 y－x 2＝x0(x－x0)， 令 y＝1 4得 xQ＝x0 2 ＋ 1 4x0， 所以 Q(x0 2 ＋ 1 4x0， 1 4). 又|QM|＝|OQ|， 故( 1 4x0－x0 2) 2 ＋(1 4－x 2) 2 ＝(x0 2 ＋ 1 4x0) 2 ＋ 1 16， 因此(1 4 －x 2) 2 ＝ 9 16.又 x0>0， 所以 x0＝ 2，此时 M( 2，1)， 故存在点 M( 2，1)，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M. (3)当 x0＝ 2时，由(2)得 Q(5 2 8 ， 1 4)， ⊙Q 的半径为 r＝ (5 2 8 ) 2 ＋(1 4 )2 ＝3 6 8 ， 所以⊙Q 的方程为(x－5 2 8 ) 2 ＋(y－1 4) 2 ＝27 32. 由{x2＝2y， y＝kx＋1 4， 整理得 2x2－4kx－1＝0， 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由于 Δ1＝16k2＋8>0，x1＋x2＝2k，x1x2＝－1 2， 所以|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋k2)(4k2＋2)． 由{(x－5 2 8 )2 ＋(y－1 4)2 ＝27 32， y＝kx＋1 4， 整理得(1＋k2)x2－5 2 4 x－ 1 16 ＝0. 设 D，E 两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)， 由于 Δ2＝k2 4 ＋27 8 >0， x3＋x4＝ 5 2 4（1＋k2）， x3x4＝－ 1 16（1＋k2）， 所以|DE|2＝(1＋k2)[(x3＋x4)2－4x3x4]＝ 25 8（1＋k2）＋1 4. 因此|AB|2＋|DE|2＝(1＋k2)(4k2＋2)＋ 25 8（1＋k2）＋1 4. 令 1＋k2＝t，由于1 2≤k≤2，则5 4≤t≤5. 所以|AB|2＋|DE|2＝t(4t－2)＋25 8t＋1 4 ＝4t2－2t＋25 8t＋1 4， 设 g(t)＝4t2－2t＋25 8t ＋1 4，t∈[5 4，5]， 因为 g′(t)＝8t－2－ 25 8t2， 所以当 t∈[5 4，5]时， g′(t)≥g′(5 4 )＝6， 即函数 g(t)在 t∈[5 4，5]上是增函数， 所以当 t＝5 4时，g(t)取得最小值13 2 ， 因此，当 k＝1 2时，|AB|2＋|DE|2 取得最小值13 2 . 20．(12 分)(2015·四川绵阳一模，20)已知椭圆 C： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为( 2，0)，离心率为 6 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆经过原点 O，求证：点 O 到直线 AB 的 距离为定值； (3)在(2)的条件下，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)∵椭圆的右焦点为( 2，0)，离心率为 6 3 ， ∴{c＝ 2， e＝c a ＝ 6 3 ， ∴a＝ 3，b＝1， ∴椭圆 C 的方程为x2 3＋y2＝1. (2)证明：直线 AB 斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，代入椭圆方 程， 消去 y 可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0 ∴x1＋x2＝－ 6km 1＋3k2，x1x2＝3m2－3 1＋3k2 . ∵以 AB 为直径的圆 D 经过坐标原点， ∴OA→ ·OB→ ＝0， ∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0， ∴(1＋k2) 3m2－3 1＋3k2－km· 6km 1＋3k2＋m2＝0， ∴4m2＝3(k2＋1)， ∴原点 O 到直线的距离为 d＝ |m| k2＋1 ＝ 3 2 . 当直线 AB 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知 x1＝x2，y1＝－y2， ∵以 AB 为直径的圆 D 经过坐标原点， ∴OA→ ·OB→ ＝0， ∴x1x2＋y1y2＝0，∴x21－y21＝0， 又∵x21＋3y21＝3，∴|x1|＝|y1|＝ 3 2 . ∴原点 O 到直线的距离为 d＝|x1|＝ 3 2 . 综上，点 O 到直线 AB 的距离为定值． (3)直线 AB 斜率存在时，由弦长公式可得 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ （1＋k2）（36k2－12m2＋12） （1＋3k2）2 ＝ 3＋ 12 9k2＋1 k2＋6 ≤ 3＋ 12 6＋2 9k2· 1 k2 ＝2， 当且仅当 k＝± 3 3 时，等号成立， ∴|AB|≤2. 直线 AB 斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝ 3<2， ∴S△OAB＝1 2|AB|d≤1 2×2× 3 2 ＝ 3 2 ， ∴△OAB 面积的最大值为 3 2 . 21．(12 分)(2015·黑龙江哈尔滨二模，21)已知椭圆 x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 上顶点为 A，过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且 2F1F2→ ＋F2Q→ ＝0，过 A，Q，F2 三点的圆 的半径为 2，过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G，H 两点(G 在 M，H 之间)． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线 l 的斜率 k>0，在 x 轴上是否存在点 P(m，0)，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱 形？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 解：(1)∵2F1F2→ ＋F2Q→ ＝0， ∴F1 是 F2Q 的中点，Q(－3c，0)． ∵AQ⊥AF2， ∴b2＝3c2，∴a2＝4c2，过 A，Q，F2 三点的圆的圆心为 F1(－c，0)，半径为 2c， ∴c＝1，∴椭圆的标准方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)直线 l 的方程为 y＝kx＋2(k>0)． 设 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则 y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2. 联立{y＝kx＋2， x2 4 ＋y2 3＝1， 消去 y 整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0. 由 Δ>0，解得 k> 1 2，且 x1＋x2＝ －16k 4k2＋3. 又PG→ ＋PH→ ＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，GH→ ＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))． 由菱形的对角线垂直，得(PG→ ＋PH→ )·GH→ ＝0， ∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0. 解得 m＝－ 2k 4k2＋3 ，即 m＝－ 2 4k＋3 k . ∵k> 1 2， ∴－ 3 6 ≤m<0，当且仅当3 k＝4k 时等号成立． 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是[－ 3 6 ，0). 22．(14 分)(2014·山东济宁三模，22)如图，已知抛物线 C：y 2＝4x，过点 A(1，2)作抛物线 C 的弦 AP，AQ. (1)若 AP⊥AQ，证明：直线 PQ 过定点，并求出定点的坐标； (2)假设直线 PQ 过点 T(5，－2)，请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由． 解：(1)设直线 PQ 的方程为 x＝my＋n，点 P，Q 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 由{x＝my＋n， y2＝4x 得 y2－4my－4n＝0. 由 Δ>0，得 m2＋n>0， y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n. ∵AP⊥AQ，∴AP→ ·AQ→ ＝0， ∴(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0. 又 x1＝y 4，x2＝y 4， ∴(y1－2)(y2－2)[(y1＋2)(y2＋2)＋16]＝0， ∴(y1－2)(y2－2)＝0 或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0. ∴n＝－2m＋1 或 n＝2m＋5. ∵Δ>0 恒成立，∴n＝2m＋5. ∴直线 PQ 的方程为 x－5＝m(y＋2)， ∴直线 PQ 过定点(5，－2)． (2)假设存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ. 设直线 PQ 的方程为 x＝my＋n. ∵直线 PQ 过点 T(5，－2)， ∴5＝m·(－2)＋n， ∴n＝2m＋5. ∴直线 PQ 的方程为 x＝my＋2m＋5. 设点 P，Q 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)． 由{x＝my＋2m＋5， y2＝4x 得 y2－4my－8m－20＝0. ∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－8m－20. ∵PQ 的中点坐标为 M(x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 )， 即 M(y＋y 8 ， y1＋y2 2 )， 且y＋y 8 ＝（y1＋y2）2－2y1y2 8 ＝2m2＋2m＋5， ∴PQ 的中点坐标为 M(2m2＋2m＋5，2m)． 由已知得 2m－2 2m2＋2m＋5－1 ＝－m， 即 m3＋m2＋3m－1＝0. 设 g(m)＝m3＋m2＋3m－1， 则 g′(m)＝3m2＋2m＋3>0， ∴g(m)在 R 上是增函数． 又 g(0)＝－1<0，g(1)＝4>0， ∴g(m)在(0，1)内有一个零点． ∴函数 g(m)在 R 上有且只有一个零点，即方程 m3＋m2＋3m－1＝0 在 R 上有唯一实根， ∴满足条件的等腰三角形有且只有一个． 思路点拨：第(2)采用“肯定顺推法”，假设存在等腰△APQ，借助 AM⊥PQ(M 为弦 PQ 中点)得出一 个等式，从而能化为方程根的个数问题，可用导数求解．